Kn-14

ez

ez / z 2 3

.

z 2 3 z 3i

z 3i

Функція

f z

ez

аналітична

всередині

контура

z 2 3

z 1 2i

2.

Використаємо формулу Коші (2.6):

ez

ez

/ z 2 3

ez

e3i

dz

dz

2 i

2 i

3

3

3

L

z 2 z 3i

L

z 3i

z 2

z 3i

3i 2

2 i

e3i

2 i 46 9i

e3i

1

18 92 i e3i .

46 9i

2197

2197

б) Всередині контура L знаменник підінтегральної функції

перетворюється в нуль в точках

z1 2

та z2

3i. Тоді розглянемо

багатозв’язну область, що обмежена контуром L та двома внутрішніми

контурами 1 :

z 3i

1 та 2

:

z 2

1.

Всередині

цієї

області підінтегральна

функція

аналітична , тому

L

ez

dz

z 2 3 z 3i

ez

dz

ez

dz.

3

3

1

z 2 z 3i

2

z 2 z 3i

Тоді за формулою Коші:

ez

dz

ez / z 2 3

dz 2 i

ez

3

z 3i

3

1

z 2 z 3i

1

z

2

z 3i

1

18 92 i e3i .

2197

ez

dz

ez / z 3i

2 i

ez "

dz

3

3

2

z 2 z 3i

2

z 2

2! z

3i z 2

i

e 2

7 2z 6i

z 2

z 3i 3

i

e 2 7 6i

i

e 2 7 6i

ie 2

268 339i .

2 3i 3

46 9i

2197

Тоді

ez

e3i

e 2

L

dz

18 92i

339 268i .

z 2 3 z 3i

2197

2197

Теорема1.

Функція

f z ,

аналітична в крузі

z z0

R,

розкладається в збіжний степеневий ряд

f z cn z z0 n ,

(2.7)

n 0

який має радіус збіжності R.

Члени cn обчислюються за формулою

c

f n z0

1

f z

dz

n 0,1,2,... ,

(2.8)

2 i L z z0 n 1

n

n!

Теорема2. Всяка аналітична в кільці 0 r

z z0

R

f z cn z z0 n ,

(2.9)

n

де коефіцієнти cn

обчислюються за формулами

1

f

n 0, 1, 2,... ,

cn

d

2 i

z0 n 1

(2.10)

а довільне коло

z0

,

r R, орієнтоване проти

годинникової стрілки.

2.

Розкласти в

ряд

Тейлора

за

степенями

z

функцію

f z sin2 z

та визначити

область

збіжності визначеного ряду.

n 1 22n 1

2n

(Відповідь:

z

1

2n !

).

n 1

1

3.

Розкласти в ряд Лорана функцію

f z

в околі

3z 4

точки z = 0 та в околі точки z .

3zn

4n

n 1 ;

n 1

( Відповідь:

).

n 0 4

n 0 3z

1

4. Розкласти в ряд Лорана функцію

f z

в

z 2 z 3

областях її аналітичності.

zn

zn

(

n 1

при

0

z

2;

Відповідь:

2

n 1

n 0

n 0 3

n

n

z

2

при

2

z

3;

n 1

n 1

n 03

n 0 z

n

n

3

2

,

z

3

).

n 0 z

n 1

n 0 z

n 1

СР-2.2

1.

Розкласти

в

ряд

Тейлора функцію

f z e3z 1

за

степенями z 1.

степенями z 2

2.

Розкласти

в

ряд

Лорана

за

функцію f z

1

.

z2 z 6

n z 2 n 1

1

( Відповідь:

5

n 1

).

n 0

1.1.

а)

f z z4

2z 3, z0

i;

б)

f z ez2 .

1.2.

а)

f z z5

3z2 z, z

0

3i;

б)

f z cos2 z.

1.21. а)

f z z6

2z2 3, z0 2i;

б)

f z z 2 sin4z.

1.22. а)

f z z5

z3 z, z0

3i;

б)

f z zcos2 z.

1.23. а)

f z z4

2z2 3z,

z0

3 i;

б)

f z zez2 1.

f z z3

f z 5

.

1.24. а)

z2 5z 2,

z0 2 i;

б)

1 z2

1.25. а)

f z z5

z 4, z0 i;

б)

1.26. а)

f z z6

z4 2z,

z0 5i;

б)

f z z cos z2.

1.27. а)

f z z3

z2 5z 1,

z0 1 2i;

б)

f z

ez

.

z

1.28. а)

f z z4

3z3 z,

z

1 2i;

б)

f z

sin3z

.

0

z

1.29. а)

f z z5

z4 2z,

z0 2i;

б)

f z

1

.

2 z 3

1.30. а)

f z z6

z 3,

z0

i;

б)

f z

cos5z

.

z

2. Розкласти функцію

f z в ряд Лорана в областях її

аналітичності.

2.1.

f z

1

;

2.2.

f z

1

;

z z 2

z 1 z 3

2.3.

f z

1

;

2.4.

f z

1

;

z 2 z i

z 2 z 3

2.5.

f z

1

;

2.6.

f z

1

;

z 4 z 5

z z 3

5z 3 2

5z 3 4

n 5z 3 2n

cos 5z 3 1

4!

... 1

...

2!

2n !

2. Розкласти функцію