Kn-14

w G,то говорять, що

на

площині D задана однозначна

функція

комплексної змінної,

що

відображає

множину

D

в множину

G.Символічно це позначають так :w f z .

Множину

D називають областю визначення функції f z .

Якщо кожна точка множини G є значенням функції, то G область

значень цієї функції,

або образ множини D за допомогою функції

f G f D . В цьому разі говорять,

що функція f

відображає

D на G.

z D відповідає декілька

w, то

Якщо

кожному

різних

значень

функція w f z називається багатозначною.

Функцію

f z можна записати у вигляді

f z u x,y iv x,y , x,y D,

(2.1)

u x,y Re f z ,

v x,y Im f z ,

x,y D

де

дійсні

функції від змінних x, y.

Похідною від функції f z у точці z

називається границя

w

f z z f z

dw

lim

lim

,

(2.2)

z 0 z

z 0

z

dz

якщо z прямує до нуля будь-яким чином.

Якщо функція

f z

має неперервну похідну в кожній точці

.

f z dz u iv dx idy f z t z t dt

L

L

(2.5)

Якщо функція f z аналітична

в однозв’язній замкненій

області

з кусково-гладкою границею

L, то має місце формула

D

Коші

1

f z

f z0

dz,

2 i

z z

0

(2.6)

L

контура L, а

де z0 будь-яка точка всередині

інтегрування

б)

z

dz;

в)

2z ez

dz.

2

z

2

z 3i

z 1

3

z

( z 3)

8

20

2

4 e

3

).

( Відповіді: а)

i ;

б) 0;

в)

i

3

3

9

dz

z2

4

L

а) L - коло

z 3

2;

б) L - коло

z i

2;

z 1

3.

в) L - коло

ІДЗ - 2.1

1. Дослідити на диференційованість та аналітичність функцію

та знайти її похідну, якщо вона існує.

f z 2z2 3iz.

1.1.

f z z z2.

1.2.

1.3.

f z z 1 cos z.

1.4.

f z z3.

1.5.

f z 2 3z z2.

1.6.

f z z e z .

1.7.

f z z2

iz.

1.8.

f z iz2.

1.9.

f z z2

z 4.

1.10.

f z z iz3.

1.11.

f z 4z 3iz2.

1.12.

f z 3z2 iz 5.

2. Знайти аналітичну функцію f z u x,y iv x,y ,

якщо відома її дійсна або уявна частина.

2.1.

v 2xy 3y.

2.2.

u x3 3xy2.

2.3.

u x2 y2 x.

2.4. v 2xy x.

2.5.

v 4xy 3x.

2.6.

u x y3

3x2y.

2.7.

u x3 3xy2 x.

2.8.

v y 2xy.

2.9.

v 4y 3x2 3y2.

2.10. u x2 y2 3x 2.

2.11. u x2 y2 y.

2.12. v 3x2y y3 y.

2.13. v 3x2y y3.

2.14. u 2x2 2y2 3y.

2.15.

u 4x 6xy.

2.16. v y x3

3xy2.

2.17. v 3x2y y3

x2 y2.

2.18. u x2 y2

x 4.

2.19. u x3 3xy2 2x.

2.20. v 6xy x.

2.21.

v 2xy y.

2.22.

u x3 3xy2 2xy 6.

2.23.

u 2x2 2y2 x 3.

2.24.

v 2xy y 2.

2.25. v 2x2y y3.

2.26.

u x2 y2 x.

2.27.

u 3x2 3y2

y 5.

2.28.

v 4xy y.

2.29.

v 3x2y y3

2y.

2.30.

u x3

3xy2 4y.

3. Обчислити інтеграли:

3.1.

dz

,

а)

L :

z i

2;

z

2

L

2z

б)

L :

z i

5.

3.2.

ez

,

а) L :

z i

3;

z

2

L

z 3

б)

L :

z i

4.

3.12.

zez

dz,

а)

L :

z 1 2i

3;

z 1 z i

L

3.13.

z4dz

,

б) L :

z 1 2i

4.

а)

L :

z 4

4;

z

3

L

1 z 1

б)

L :

z 6

6.

3.14.

zdz

,

а)

L :

z 1

2;

z

2

4

L

б)

L :

z 1

4.

3.15.

ezdz

,

а)

L :

z 3i

2,5;

z 2i z i

L

б)

L :

z i

4.

3.16.

ez

dz,

а)

L :

z 1

2;

2

L z 2 z 3i

б)

L :

z 1

5.

3.17.

z2dz

,

а)

L :

z 3 2i

3;

z 3 z 2i

L

z 3 2i

dz

б) L :

7.

3.18.

,

а)

L :

z

3;

z 4i z

2

L

б)

L :

z

5.

3.19.

zdz

,

а)

L :

z 2i

2;

z i z i

L

3.20.

ez zd

,

а)

L :

z 2i

3;

z

2

L

2i z 1

3.21.

sin z

dz,

б) L :

z 2i

6.

а)

L :

z

4;

z 5i z 1

L

б)

L :

z

6.

3.22.

z3

dz,

а)

L :

z 5

3;

z 3i z 4

L

б)

L :

z 5

8.

3.23.

z2dz

,

а)

L :

z 2i

2;

z i z 3

L

zez

б) L :

z 2i

4.

3.24.

z 1 i

dz,

а)

L :

2;

z i z i

L

z 1 i

zsin z

б) L :

3.

3.25.

dz,

а)

L :

z 2 i

3;

z

2

L

i z 2i

z 2 i

3.26.

zdz

,

б) L :

5.

а)

L :

z 3i

2;

z

2

4

L

ezdz

б) L :

z 3i

6.

3.27.

,

а)

L :

z 2 i

3;

z

2

9