Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

FTT-stud / view4

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
262.9 Кб
Скачать

РОЗДІЛ 4. СТАТИСТИКА ВІЛЬНИХ НОСІЇВ ЗАРЯДУ У КРИСТАЛАХ

4.1. Розподіл носіїв за енергією

Нескладно

переконатися

в

,томущо

у

стані

термодинамічної

рівноваги

одноелектронні стани, аналогічно до фононних, нерівномірно розподілені за значеннями

їх енергії. Дійсно, у наближенні

ефективної

 

маси енергія електрона у

зоні

r

 

 

 

 

 

 

 

e(k ) = h2 k 2 / 2m* внаслідок квантування компонент хвильового вектора

 

k

x

=

2p

n , k

y

=

2p

n

2

, k

z

=

2p

n

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lx

1

 

 

 

Ly

 

 

 

 

 

Lz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(тут LxLyLz∙= Ω – об’єм кристалу, а n1, n2, n3 – цілі числа) визначається формулою

 

 

e

n

=

 

 

h2

 

 

(n2

+ n

2

+ n

2 ) ,

 

 

 

(4.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m* L2

1

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де для простоти покладеноLx =

Ly = Lz = L,

а

 

номер рівня

у зоніn

визначається

комбінацією значень квантових

 

 

чисел(n1,

n2,

n3).

Значення

енергії ε1

= h2/2m*L2

досягається при шести комбінаціях квантових чисел : (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1),

наступне значення, ε2 = h2/m*L2, – при дванадцяти: (±1, ±1, 0), (±1, 0, ±1), (0, ±1, ±1), а ε3 = 3h2/2m*L2 – при дев’яти і т.д. Отже, рівні ε1, ε2 і ε3 – шести-, дванадцятита дев’ятикратно вироджені, тоді як основний, ε0, - невироджений. Цей факт дозволяє говорити про нерівномірність розподілу одноелектронних станів за енергією.

Для характеристики розподілу одноелектронних станів за енергією зручно, як і у випадку фононів, використати поняття щільності розподілу станів за енергією – функції g(ε), добуток якої на величинувизначає кількість станів, значення енергії яких містяться у інтервалі (ε, ε + ). Крім того, слід взяти до уваги, що електрони належать до групи ферміонів – частинок, які підпорядковуються принципу Паулі. Ймовірність знаходження такої частинки у стані з енергієюε визначається функцією розподілу Фермі-

Дірака

f (e) =

1

 

(4.1)

exp(

e - m

) +1

 

 

 

 

 

k BT

(тут μ – параметр закону розподілу, відомий у статистичній фізиці під назвоюхімічний потенціал). За означенням, кількість заселених станів, енергія яких належить інтервалу (ε, ε + ), становить величину g(ε)f(ε).

Знання функцій g(ε) і f(ε) дозволяє знайти ряд характеристик електронної системи кристалу, наприклад середню енергію електрона в ньому. Дійсно, загальна кількість станів, заселених електронами

¥

 

N = ò g(e) f (e)de ,

(4.2)

 

середня енергія системи електронів у кристалі

 

¥

 

Ee = òeg(e) f (e)de ,

(4.3)

 

а середня енергія одноелектронного стану –

¥

òeg(e) f (e)de

e

=

.

(4.4)

 

 

¥

 

 

ò g(e) f (e)de

Явний вигляд функції g(ε) залежить від структури енергетичної зони і тому різний у різних кристалах, а в окремо взятому кристалі – у різних зонах. Найпростіший вигляд вона має у випадку параболічних зон, закон дисперсії яких має вигляд (3.47). У цьому випадку енергія електрона залежить від модуля хвильового вектора, так що усі стани з енергієюε знаходяться на поверхні сфери k-простору, радіус якої

k = 2m*e

(4.5)

h

 

(тут для простоти відлік енергії ведеться від дна зони ). Стани, енергія яких належить інтервалу (ε, ε + ), знаходяться всередині шару між двома концентричним сферами з радіусами k та k + dk (див рис. 2.7), а їх кількість, згідно (2.26), становить величину Ωk2dk/π2 (тут враховано також можливість знаходження на одному рівні двох електронів з протилежно напрямленими спіновими моментами). Переходячи від змінноїk до ε, з означення щільності розподілу станів за енергією знаходимо

 

 

 

 

 

g(e ) =

W 2m*3e

.

 

(4.6)

 

 

 

 

 

p 2h

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зокрема,

якщо відлік енергії здійснювати від дна зони

провідності(Ec =

0), то

щільність розподілу для електронів провідності у напівпровіднику

 

 

 

 

 

 

 

ge (e) =

W 2me*3e

,

 

(4.7)

 

 

 

 

 

p 2h

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а дірок –

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gh (e) =

W 2mh*3 (Ev

- e)

 

(4.8)

 

 

 

 

 

 

p 2h3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графіки залежності g(ε) наведені на рис. 4.1.

 

 

 

 

 

Функція розподілу Фермі-

 

 

 

 

 

 

Дірака

у

якості

параметрів

 

 

 

 

 

 

містить

дві

величини

 

 

 

 

 

 

абсолютну

 

температуру

 

 

 

 

 

 

системи

Т

та

її

хімічний

 

 

 

 

 

 

потенціал μ. В області низьких

 

 

 

 

 

 

температур

(таких,

 

що

 

 

 

 

 

 

kBT < |ε – μ|) її

значення мало

 

 

 

 

 

 

відрізняються

від

одиниці

при

 

 

 

 

 

 

ε < μ та від нуля при ε > μ і ці

 

 

 

 

 

 

відмінності тим менші, чим

 

 

 

 

 

 

нижча

 

 

 

температура).

 

 

 

 

розподілу за

енер

 

 

 

 

 

Рис. 4.1. Залежність щільності

Апроксимуючи

 

поведінкуелектронів провідності ge(ε) та дірок gh(ε) у напівпровіднику

залежності f(ε) до абсолютного

 

 

 

 

 

 

нуля температур, можна стверджувати, що при Т = 0 К

 

 

 

 

 

 

 

ì1,

якщо e

< m;

 

(4.9)

 

 

 

 

 

f (e ) = í

якщо e

> m.

 

 

 

 

 

 

î0,

 

 

З цього факту випливає, що при Т = 0 одноелектронні стани, енергія яких більша ніж значення хімічного потенціалу, незаселені.

Значення енергії, що відділяє заселені при температурі абсолютного нуля рівні від

незаселених, у

фізиці твердого тіла називаєтьсяенергією або рівнем Фермі. Очевидно,

положення

 

рівня

 

ФерміEF

 

 

визначається

значенням

хімічного

 

потенціалу μ, а саме – EF = μ при Т = 0

 

 

К.

 

 

 

 

 

 

При Т > 0 частинки знаходяться

 

 

у тепловому русі, енергія якого тим

 

 

більша, чим вища температура. Отже,

 

 

зростання

 

температури

означає

 

можливість заселення рівнів, вищих

 

 

рівня Фермі на величину порівняну з

 

енергією

теплового

рухуkT, що

Рис. 4.2. Рівноважний

розподіл електронів

приводить

до

зміни

розподілу(рис.

енергією при Т = 0 (а) та Т > 0 (б)

4.2).

 

 

 

 

 

 

4.2. Відмінність законів розподілу у металах і напівпровідниках

 

 

r

 

 

поверхню k-простору, яка

 

Рівняння

e(k ) = EF визначає

відокремлює повністю

зайняті (при Т = 0) одноелектронні стани від незаповнених. У наближенні квадратичного

закону дисперсії це – сфера, радіуса kF = 2me*EF

і об’єму

4

pkF3 (сфера Фермі).

 

h

3

 

На кожний одноелектронний стан припадає елементарний об’єм(2π)3/Ω, так що їх

4p kF3 W

кількість під сферою Фермі 3(2p )3 . Ці стани заповнені електронами (по два на кожному рівні), концентрація яких у кристалі-провіднику визначається енергією Фермі

n = kF3

= ( 2me*EF )3

(4.10)

3p 2

3p 2h3

 

іне залежить від температури. У металах ця величина набуває значень 1025 ... 1026 м-3.

З(4.10) одержується формула для оцінки величини енергії Фермі у провідниках

 

h2

 

EF =

 

(3p 2n)2 / 3 .

(4.11)

2m*

 

e

 

Вважаючи n = 5∙1025 м-3, а me* рівною масі спокою вільного електрона, отримуємо EF ≈ 5 еВ. Тоді середня енергія електрона провідності у металах

 

EF

EF

3

e

= òe g(e)de : ò g(e)de =

 

EF ≈ 3 еВ,

5

0

0

 

а середня швидкість руху вільних електронів у металах u = 2e / me* ≈ 106 м/c.

Одержані значення енергій є надзвичайно великим для мікрочастинки. Для того, щоби молекули ідеального газу володіли такою енергією, його необхідно нагріти до температури близько 25000 К. Це означає, що в області нормальних температур у металах рівність (4.9) виконується з ймовірністю, практично рівною одиниці (закон розподілу у такому випадку називають виродженим). З цієї причини електронний газ у металах також називають виродженим.

Підвищення температури провідника приводить до зміни розподілу електронів за енергією – відбувається їх перехід на незаповнені рівні вище рівня Фермі, хоча й з малою ймовірністю (f(ε) << 1 при ε > EF). Це приводить до того, що хімічний потенціал системи електронів у провіднику стає залежним від температури. З умови незмінності кількості електронів провідності можна отримати наближений вираз, що описує температурну залежність хімічного потенціалу

m(T ) = EF [1 -

1

(

pk BT

)

2

] ,

(4.12)

3

2EF

 

 

 

 

 

 

 

де EF визначається виразом (4.11). Як видно з (4.12), зростання температури приводить до зменшення хімічного потенціалу провідника, проте, внаслідок великих значеньEF такі зменшення несуттєві – навіть при кімнатних температурах μ(Т)/μ(0) ≈ 0,9999.

У напівпровіднику функція розподілу електронів провідностіf (e) » exp( m -e ) kBT

експоненціально спадає при збільшенні енергії стануε (якщо відлік енергії проводиться від дна зони провідності, то μ < 0), так що практично для усіх рівнів зони провідності за звичайних умов виконується умова невиродженості

 

 

f (e) <<1 .

 

 

 

(4.13)

З цієї причини електронний газ у напівпровіднику,

іноді і

сам кристал, називають

невиродженим.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Повна функція розподілу невиродженого електронного газу

 

 

 

 

 

 

W 2m*3

 

m

 

-

e

 

 

 

 

 

f (e )ge (e) =

 

 

 

k BT

(4.14)

e

e kBT e e

 

 

p 2h3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

має немонотонну залежність відε: в області дна

 

зони

провідності вона

зростає

пропорційно до e , а при великих значеннях енергії – спадає пропорційно до exp(-

e

 

)

 

 

(рис. 4.3). Це дозволяє обчислити концентрацію електронів як

 

kBT

 

 

 

 

 

1

¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n =

 

ò f (e)ge (e)de ,

 

 

 

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

що після інтегрування набуває вигляду

 

m*k

 

T

 

 

m

 

m

 

 

 

B

)3/ 2

×e kBT

= Nc e kBT ,

 

n = 2(

e

 

(4.15)

2p h2

 

 

 

 

 

 

 

 

де Nc – величина, яку називають ефективною кількістю станів зони провідності.

З (4.15) видно, що концентрація електронів провідності у напівпровіднику залежить від сорту кристалу (ним визначається значення хімічного потенціалу) та його температури – зростає при її збільшенні.

Ймовірність

того, що

 

одноелектронний

стан

 

енергією

ε

незаселений,

 

визначається функцією

Рис. 4.3. Характер енергетичної залежності функції f(ε)ge(ε)

 

 

 

fh (e) =1- f (e ) =

1

 

,

(4.16)

exp(

m -e

) +1

 

 

 

 

 

 

 

kBT

яку слід вважати функцією розподілу дірок. Очевидно, для глибоких рівнів валентної зони також виконується умова невиродженості закону розподілу дірок(fh(ε) << 1), а їх концентрація

 

mh* k BT

 

 

-

m+Eg

-

m+Eg

 

 

p = 2(

)

3/ 2

k T

k T

,

(4.17)

 

 

×e

B

= N ve

B

 

2p h2

 

 

 

 

 

 

 

 

де Nv – величина, яку називають ефективною кількістю станів валентної зони. Як і у випадку електронів, концентрація дірок визначається характеристиками напівпровідника (μ, Eg) та його температурою T.

Формули (4.15, 17) дозволяють встановити значення ширини забороненої зони та енергії Фермі електронного газу у досконалому напівпровіднику, також залежність концентрації вільних носіїв заряду від Eg. Дійсно, вільні носії заряду (електрони і дірки) з’являються в ньому парами, а тому ni = pi (індекс і означає, що розглядається властива провідність напівпровідника). Тоді розглядаючи (4.15) і (4.17) як систему рівнянь відносно концентрацій, одержимо

 

 

 

 

 

 

 

-

Eg

 

kBT

 

3 / 2

 

3 / 4

-

Eg

 

 

n

= p

=

N

c

N

v

× e 2kBT

= 2(

)

(m*m* )

×e 2kBT

(4.18)

 

 

 

i

i

 

 

 

 

 

 

2p h2

 

e h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

концентрація вільних носіїв у досконалому напівпровіднику визначається його типом (через характеристики кристалу – ширину забороненої зони, ефективні маси електрона і дірки) та температурою. Зазначимо, що формула (4.18) одержана з використанням закону розподілу Фермі-Дірака, який виконується за умови термодинамічної рівноваги в системі електронів. З цієї причини вільні носії заряду, що з’являються завдяки тепловому збудженню системи електронів у напівпровіднику, та їх концентрації, визначені формулою (4.18), називаються рівноважними. Оскільки при малих температурах множник перед експонентою в (4.18) залежить від Т слабше, ніж експонента, то можна вважати, що рівноважна концентрація електронів і дірок у досконалому напівпровіднику залежить від температури за законом

E g

-

n (T ) = p

(T ) = A ×e 2k BT ,

(4.19)

i

i

 

 

де А – постійна величина.

Прирівнявши праві частини(4.15) і (4.17), одержуємо рівняння для знаходження хімічного потенціалу, звідки

 

Eg

 

3

 

m*

 

 

m(T ) = -

 

+

 

kBT ln

h

,

(4.20)

 

 

me*

2

 

4

 

 

 

а EF = μ(0) = – Eg/2 (рівень Фермі електронів у досконалому напівпровіднику відповідає середині забороненої зони).

З (4.20) видно також, що у випадку me* < mh*, що має місце у більшості випадків , хімічний потенціал електронної системи досконалого напівпровідника зростає при його нагріванні пропорційно до абсолютної температури, а при me* > mh* – зменшується.

4.3. Статистика вільних носіїв у домішкових напівпровідниках

У випадку напівпровідників з домішками або дефектами кристалічної ґратки (наприклад, вакансіями) вільні носії заряду можуть з’являтися також внаслідок переходів

з локальних рівнів(донорних або акцепторних) у стани валентної зони або зони провідності. Кількість вільних носіїв заряду, викликаних переходами за участю певного локального рівня у забороненій зоні, пропорційна до кількості домішкових центрів або дефектів, що спричинили появу даного рівня. Крім того, як і у випадку зонних станів, заселеність рівнів електронами у стані термодинамічної рівноваги визначається функцією розподілу. Закон розподілу описується функцією, подібною до функції розподілу ФерміДірака

¢

1

 

,

(4.21)

 

 

 

f (e ) =

g ×exp(

e¢ - m

) +1

 

 

 

 

kBT

де ε΄ – енергія рівня, а g фактор виродження, – множник, значення якого залежить від природи локального рівня. Зокрема, у випадку мілких рівнів донорного типуg = 1/2, акцепторних – g = 2. Очевидно, рівноважна концентрація електронів, локалізованих на енергетичному рівні донорного або акцепторного типу, дорівнює добутку концентрації відповідних домішкових центрів на функцію розподілу (4.21).

Розглянемо мілкий донорний рівень з глибиною заляганняEd, створений домішковими атомами, концентрація яких Nd. За умови настільки малих температур, що появою властивої провідності можна знехтувати, кількість електронів у зоні провідності напівпровідника практично повністю визначається кількістю звільнених в результаті переходу до неї місць на домішковому рівні, тобто Nd[1 – f(-Ed)]. З іншого боку, вважаючи,

що електрони в зоні провідності

утворюють невироджений електронний(це газ

справедливо при малих концентраціях домішкових

 

атомів), їх концентрацію можна

знайти, подібно до випадку

досконалого

напівпровідника, за

формулою (4.15).

Прирівнюючи названі величини, отримуємо

рівняння

для

знаходження хімічного

потенціалу напівпровідника n-типу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m*k

B

T

)3/ 2 exp(

m

 

 

N

d

 

 

2(

e

 

 

) =

 

 

.

(4.22)

2p h2

kBT

 

Ed

 

 

 

 

 

 

+ m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 exp(

 

 

 

) +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k BT

Знайти розвозок рівняння(4.22) можливо тільки чисельними методами, проте у ряді граничних випадків це можна зробити й аналітично. Розглянемо їх детальніше.

При Т → 0 донорні центри слабко іонізовані, концентрація електронів, що з’явилися

у зоні провідності внаслідок переходу з рівня одновалентної домішки,

 

 

nd =

 

 

 

 

 

N d

 

 

 

 

<< N d .

 

 

 

 

 

 

 

Ed + m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 exp(

) +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k BT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виконання цієї нерівності

можливе

за умови2 exp(

Ed

 

+ m

) +1 >> 1 . Тоді (4.22)

можна

 

 

 

подати у вигляді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k BT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp(

m

) =

N d

(

2p h2

)3/ 2 exp(-

 

Ed

) ,

(4.23)

kBT

 

 

 

me*kBT

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

k BT

 

звідки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m(T ) = -

Ed

+

k BT

ln[

N d

(

2p h2

 

)3/ 2 ].

(4.24)

 

 

 

me*k BT

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

 

Другим доданком у (4.24) при Т → 0 можна знехтувати, так що m(0) º EF = -

Ed

– рівень

2

 

 

Фермі у напівпровіднику n-типу знаходиться посередині між донорним рівнем і дном зони провідності.

Згідно (4.24), зростання температури приводить до зсуву хімічного потенціалу на шкалі енергій за рахунок зростання величини другого доданку. Його зміни із збільшенням температури немонотонні – він нелінійно зростає до тих пір, поки me*kBT < 2πħ2, досягає максимуму у точці Tm = 2πħ2/(me*kB), а потім – зменшується. Відповідно змінюються і значення хімічного потенціалу (рис. 4.4), який у точці Ts досягає значення μ = − Ed, так що подальші переходи з донорного рівня неможливі . З цієї причини Ts називається

температурою виснаження домішкового рівня.

Для оцінки величини Ts використаємо (4.22) вважаючи множник перед експонентою у лівій частині слабко залежним від температури(це можливо, оскільки ми працюємо у припущенні низьких температур). Тоді для температури виснаження домішкового рівня одержується вираз

Ts =

Ed

,

(4.25)

k B ln

3Nc

 

 

 

 

N d

 

 

 

 

 

 

з якого видно, що величина Ts залежить від характеристик кристалу, типу і кількості домішкових атомів у ньому – me*, Ed, Nd. Зокрема, впровадження атомів As у кристал Ge приводить до утворення донорних рівнів з глибиною залягання0,01 еВ. Ефективна маса електрона у зоні провідності такого напівпровідника становить 0,23m0 при концентрації Nd = 4,7∙1021 м-3. Розрахована за формулою (4.25) температура виснаження домішкового рівня цієї системи становить 28 K.

Відповідно до (4.24), за умови T < Ts рівноважна концентрація електронів у зоні провідності, які перейшли з донорного рівня, визначається температурою кристалу і глибиною залягання рівня:

nd (T ) = 2(

me*kBT

)

3/ 2

exp(

m

) = (

me*kBT

)

3/ 4

N d exp(-

Ed

) ,

2p h

2

 

k BT

2p h2

 

2k BT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

або, аналогічно до (4.19),

Рис. 4.4. Температурний зсув хімічного потенціалу електронів у напівпровіднику n-типу

 

 

 

 

 

 

-

Ed

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nd (T ) = Bd e 2kBT ,

 

 

 

 

(4.26)

де Вd

– практично

 

незалежна

від

температури

величина,

значення

 

якої

залежить від типу кристалу, домішки та її

концентрації,

а Еd

глибина

 

залягання

донорного рівня.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

 

температурах,

вищих

 

Ts,

донорний рівень практично іонізований,

усі електрони здійснили перехід з

нього

до зони провідності, а тому

 

можна

вважати,

що

nd = Nd,

звідки

 

 

визначаємо

температурну

 

 

залежність

 

 

хімічного

потенціалу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m(T ) = kBT ln[

N d

(

2p h2

)

3/ 2

].

(4.27)

2

me*kBT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналіз

формули (4.27)

 

показує,

що

зростання температури від значенняTs приводить до майже лінійного зменшення хімічного потенціалу. У околі температури збудження властивої провідностіTі (рис. 4.4) швидкість зміни хімічного потенціалу зменшується, а його значення наближаються до величини, характерної для досконалого напівпровідника.

Температура збудження властивої провідності визначає граничні умови теплового режиму роботи напівпровідникових пристроїв. Величину Tі можна оцінити припустивши, що при її досягненні у зоні провідності зрівнюються концентрації електронів, збуджених переходами з валентної зони і з домішкового рівня, тобто ni(Ti) = nd(Ti). Звідси

Ti

=

Eg

 

.

(4.28)

 

 

 

 

k B ln( Nc Nv / N d2 )

 

Підставляючи у одержану формулу значення

величин, характерних

для германію і

кремнію при концентраціях домішкових атомів близько1022 м-3, одержуємо Tі ≈ 500 K (Ge)

і Tі ≈ 680 K (Si).

Зауваження. 1. У випадку домішки-акцептора усі висновки, описані вище, також залишаються справедливими з тією різницею, що хімічний потенціал системи електронів має протилежний напрямок температурного зсуву (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Температурний зсув хімічного потенціалу у напівпровіднику p-типу

Концентрація дірок у валентній при T < Ts залежить від температури законом, подібним до (4.26):

зоніРис. 4.6. Заселеність рівнів компенсованого

за

напівпровідника при Т = 0

 

- Ea

 

pa (T ) = Ba e 2kBT ,

(4.29)

де Ва – практично незалежна від температури величина, значення якої залежить від типу кристалу, домішки та її концентрації, а Еа – глибина залягання акцепторного рівня.

2. Часто у напівпровідниках присутні як донорні, так і акцепторні домішкові центри. Їх присутність зменшує домішкову провідність одного типу (електронну або діркову) кристалу. З цієї причини такі напівпровідники називаютьсякомпенсованими. За умови рівної кількості валентних електронів атомів-донорів і місць на акцепторних рівнях приT = 0 домішки обох типів іонізуються, електрони заселять найнижчі дозволені енергетичні

рівні у забороненій зоні(рис. 4.6), а кристал буде поводити себе як досконалий з властивим типом провідності.

4.4. Рівноважний розподіл вільних носіїв заряду за швидкостями

 

 

 

Робота

твердотільних

електронних

 

пристроїв

ґрунтується

 

на

я

електропровідності, надпровідності та інших, пов’язаних з особливостями руху вільних

 

носіїв заряду у зовнішніх полях. Метою даного розділу є ознайомлення з сучасними

 

уявленнями про природу названих явищ. Це можна зробити на основі викладеної у

 

попередніх розділах інформації про будову енергетичного спектра фононів і електронів, а

 

також статистичних закономірностях, яким підпорядковується рух цих квазічастинок.

 

Досягнення поставленої мети можливе за умови формування уявлення про особливості

 

руху і взаємодії квазічастинок у кристалах, зокрема розподіл електронів по швидкостях.

 

 

Для

знаходження

закону

розподілу

 

 

вільних

носіїв

заряду

по

швидкос

використаємо знайдений вище їх розподіл за енергією у досконалому напівпровіднику.

 

Відповідно до означення функції розподілу за енергією та (4.14), кількість електронів, що

 

володіють енергією в інтервалі (ε, ε + dε) у зоні провідності, становить величину

 

 

 

 

 

 

W 2me*3

 

m

-

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

k

T

k

T

de .

 

(4.30)

 

 

f (e )ge (e)de =

2h3

B

 

e e

B

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вважаючи, що повна енергія електрона провідностіε = me*υ2/2, з (4.30) отримується концентрація електронів, швидкість руху яких належить інтервалу (υ, υ + dυ):

 

 

 

m*u2

 

 

m*

-

e

 

 

 

2kBT 4pu 2du .

 

dn =n(

e

)3/ 2 e

(4.31)

 

u

2p kBT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут n – їх рівноважна

концентрація, що визначається

формулою(4.15).

Співвідношення (4.31) являє собою розподіл електронів провідності у напівпровіднику за значеннями їх швидкостей з щільністю розподілу Максвелла

 

 

 

 

 

m*u2

 

 

 

 

 

me*

 

 

-

e

 

 

 

 

f (u) =(

 

3/ 2

2k T

 

2

 

 

 

)

 

e

B

4pu

 

.

(4.32)

 

 

 

2p k BT

Як видно, швидкість руху електронів провідності може набувати довільного значення, проте з різною ймовірністю. Найімовірніша

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

um = 2kBT / me*

та середньоквадратична

 

 

 

 

 

 

u

кв

=

3k

B

T / m*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

швидкості

 

 

 

теплового

 

 

визначаються

 

ефективною

масою

електрона,

що

є

 

характеристикою

 

системи,

і

 

температурою

кристалу

 

(зростає

пропорційно

до T1/2 при її

 

збільшенні). Оцінка,

виконана

за

 

умови me* = m0 при T = 300 K свідчить,

 

що

швидкість

 

руху

електрона

 

напівпровіднику

становить

величину

 

того ж порядку, що

й

швидкість

 

вільних

електронів

 

у

металах, –

106

Рис. 4.7. Щільність розподілу електронів провідності

м/с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

невиродженого напівпровідника за швидкостями

 

При швидкостях, значно менших

(площа заштрихованої смуги дорівнює ймовірності

від

υm,

функція

 

(4.32)

зростає,

попадання швидкості електрона у інтервал (υ, υ + dυ)

пропорційно до υ2, а при υ >> υm – експоненціально спадає (рис. 4.7).

Відповідно, відстань між сусідніми дозволеними значеннями однойменної

компоненти його швидкості дорівнюєh/(me*Li), так що деякій виділеній множині швидкостей {(υx, υx + dυx), (υy, υy + dυy), (υz, υz + dυz)} відповідає 2Ωdυxdυydυz/(h/me*)3 станів

(з урахуванням їх спінового виродження). Беручи до уваги, що заповнення станів невиродженого електронного газу підпорядковується розподілу Больцмана з щільністю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m-e

 

 

 

 

 

m

-

me*

(ux2 +uy2 +uz2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (e) = e kBT = e kBT e 2kBT

 

 

,

 

 

 

 

 

знаходимо концентрацію електронів, що

 

володіють

 

швидкостями

з

вказаної області

значень

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

me*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

(ux2 +uy2 +uz2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dnux ,uy ,uz

=n(

me

 

 

)

3/ 2

e

 

2kBT

 

 

 

 

 

dux du y duz =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p k BT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m*u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

me*u2y

 

 

 

 

 

m*u2

 

 

m*

-

e x

 

 

 

m*

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

m*

-

 

e z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=n[(

 

e

)1/ 2 e 2kBT dux ] ×[(

 

 

 

 

e

 

 

)1/ 2 e 2kBT du y ] ×[(

e

)1/ 2 e 2kBT duz ] .

2p k BT

2p kBT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p k BT

 

 

 

 

Компоненти

вектора

швидкості

 

 

 

електрона

провідності– незалежні випадкові

величини, тому кожний з виразів у

 

 

 

прямокутних дужках являє собою ймовірність

попадання υi

у інтервал (υi, υi + dυi). Це означає, що функція

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m*u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

me*

 

 

 

 

 

 

-

e

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (ui ) =(

 

 

 

 

1/ 2

 

2kBT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

e

 

 

 

 

 

 

(4.33)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p kBT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

є щільністю розподілу електронів провідності невиродженого напівпровідника іза-ою компонентою вектора швидкості(i= x, y, z); її графік – гауссова крива, – схематично поданий на рис. 4.8.

Рис. 4.8.

Щільність

розподілу

ронів

 

провідності

невиродженого

напівпровідника

за

значеннями проекції швидкості υx

 

Рис. 4.9.

У випадку провідників електронний газ вироджений і при T =0 усі стани аж до рівня Фермі повністю заповнені, отже щільність розподілу електронів за швидкостями дорівнює густині станів

 

n

 

1

EF

*3

e

 

*3

 

 

f (u) =

=

 

2me

de =

2me

,

(4.34)

WF

WF 0ò

p 2h3

 

h3

де ΩF = 4πυF3/3 – об’єм сфери Фермі радіуса υF.

За умови υx < υF сфера Фермі відтинає від множини точок, що містяться між площинами υx = const i υx + dυx = const простору зміни швидкостей область(рис. 4.9), об’єм якої при малих значеннях dυx становить величину π(υF2 - υx2)dυx. Відношення цієї

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке FTT-stud