Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MetodMA1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

561.48 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

21.Нехай y = f(x) – нескiнченно диференцiйовна на R функцiя, така, що для кожного x 2 R iснує такий номер nx 2 N, що f(nx)(x) = 0. Довести, що f(x) – многочлен.

3.6.Правило Лопiталя

Теорема (правило Лопiталя розкриття невизначено-

стей 00 i 11). Нехай a 2 R [ f¡1g, b 2 R [ f+1g i функцiї f та g визначенi i диференцiйовнi на промiжку (a; b), причо-

му g0(x) 6= 0 на цьому промiжку. Якщо c 2 fa; bg, lim f(x) =

lim g(x) = 0

lim f(x) = lim g(x) =

x!c

(або x

1) та iснує скiнченна

чи нескiнченна границя lim

f0(x)

, то

x!c

g0(x)

f0(x)

lim

f(x)

= lim

x c g(x)

c g0(x)

Обчислити такi границi:

lim

sin 5x

;

2. lim

cos x

;

lim

tg 3x

;

x!¼ sin 6x

x!¼2

cos 3x

x!¼2

tg x

ctg 5x

;

5. lim

tg x¡x

;

6. lim

ch x

cos x

;

lim

x¡sin x

¡2

x!¼ ctg 7x

x!0

2arctgp

¡arctgp

arcsin 2x 2 arcsin x

;

8. lim

;

lim

x!0

lim ln(cos ax) ;

10. lim ln(sin ax)

;

x!0

ln(cos bx)

x!0

ln(sin bx)

cos(sin x)¡cos x

cos x2

11.

lim

;

12. lim

x¡2 sin x2 ;

x!0

3tg 4x¡12tg x

x!0

x(ex+1)¡2(ex¡1)

13.

lim

3 sin 4x¡12 sin x

;

14. lim

;

x!0

x ctg x¡1

15.

lim

ptg x¡1

;

16. lim

;

x¡1

2 sin

17.

sin x

, a > 0;

¡x

lim a

¡a3

18. lim a

x¡a

19.

ln"x , " > 0;

20.

ln 22x ;

lim

x!+1

xx"

21.

lim

, " > 0;

22. lim x2e¡0;01x;

x!+1 e

x!+1

p(x) = p(x0) + p0(x0)(x ¡ x0) + ::: +

23.

lim

xx2

;

x!+1

25.

lim

x" ln x, " > 0;

x!0+

lim

27.

¡x

¡ ex¡11¢;

x!0

29.

lim

ctg x

¡ x

¢;

x!0

;

31.

lim x

x!0+

33.

lim (tg x)tg 2x;

x!¼4

35.

lim

arctg x x;

x!+1

37.

sin x

;

lim

x!0

39.

tg ¼x

;

lim(2

x 1

41.

lim (1+x) x

¡e ;

x!0

24.

lim

e¡1=x2

100 ;

26.

x!0

;

lim

ln x

ln(1

x!1¡0

28.

lim

¡1

;

ln x ¡ x 1

¢1

30.

lim

³1

th x ¡ tg x ´;

x!0

32.

lim x

;

1¡x

x!1

34.

lim(ctg x)sin x;

x!0

36.

lim

arccos x x ;

38.

x!0

¡arcsin x

lim

;

x!0

40.

lim¡

ln 1

¢;

42.

x!0+

¡ xlnxx¢

lim

(ln x)x

x!+1

3.7. Формула Тейлора

Нехай x0 2 R, n 2 N i

p(x) = a0 + a1(x ¡ x0) + a2(x ¡ x0)2 + ::: + an(x ¡ x0)n:

Коефiцiєнти ak цього многочлена обчисляються за формулами

ak =	p(k)(x0)	; k 2 f0; 1; :::; ng:
	k!

Тому його можна подати у виглядi

p(nn)(!x0)(x ¡ x0)n;

який називається формулою Тейлора для многочлена p(x). Теорема 1. Нехай функцiя f визначена i (n¡1) разiв дифе-

ренцiйовна в деякому околi точки x0, а також iснує f(n)(x0). Тодi при x ! x0

f(x) = f(x0)+f0(x0)(x¡x0)+:::+ f(nn)(!x0)(x¡x0)n +o((x¡x0)n):

Остання формула називається формулою Тейлора для функцiї f iз залишковим членом у формi Пеано.

Теорема 2. Нехай функцiя f визначена i (n + 1) разiв диференцiйовна в деякому околi точки x0. Тодi для всiх x iз цього околу

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x ¡ x0) + ::: + f(nn)(!x0)(x ¡ x0)n+

+f(n+1)(cx) (x ¡ x0)n+1 ;

(n + 1)!

де точка cx лежить мiж точками x0 та x.

Остання формула називається формулою Тейлора для функцiї f iз залишковим членом у формi Лаґранжа.

Якщо x0 = 0, то вiдповiднi формули Тейлора називаються формулами Маклорена для многочлена p чи функцiї f.

Теорема 3. Для основних елементарних функцiй у вiдповiдних околах точки x0 = 0 правильнi такi формули Маклорена:

1) ex = 1 + x + x2!2 + ::: + xnn! + rn(x); x 2 R,


2)	sin x = x ¡	x3	+	x5	¡ ::: + (¡1)	n x2n+1			+ r2n+2(x);
		3!		5!			(2n+1)!
3)		2		4			2n
	cos x = 1 ¡ x2!		+ x4!		¡ ::: + (¡1)n		x	+ r2n+1(x);
							(2n)!

x 2 R,

4)	(1 + x)p = 1 + p x + p(p¡1)					x2 + ::: + p(p¡1):::(p¡n+1)			xn+
	+rn(x); x > ¡21,				2!			n!
5)				3			n		x > ¡1,
	ln(1 + x) = x ¡	x	+	x	¡ ::: + (¡1)n¡1		x	+ rn(x);
		2		3			n

де rn(x) – це залишковий член вiдповiдної формули.

1.Розкласти многочлен f(x) = 1+3x+5x2¡2x3 за степенями x + 1.

2. Розкласти многочлен f(x) = x3 +3x2 ¡2x+4 за степенями x + 2.

3. Розкласти многочлен f(x) = x4 ¡ 5x3 + x2 ¡ 3x + 4 за степенями x ¡ 4.

4. Розкласти многочлен f(x) = x10 ¡ 3x5 + 1 за степенями x ¡ 1.

5. Для функцiї f написати формулу Тейлора до доданка, що

мiстить (x ¡ x0)n (n 2 N) включно, якщо:
а) f(x) = p		,	x0 = 4;	б) f(x) = x1 , x0 = ¡1;
	x
в) f(x) = x2 ln x,			x0 = 1;	г) f(x) = x2 ex, x0 = 2.

6.Написати формулу Маклорена для функцiї ch x = ex+2e¡x до доданка, що мiстить x2n (n 2 N).

7.Написати формулу Маклорена для функцiї sh x = ex¡2e¡x до доданка, що мiстить x2n+1 (n 2 N).

8.Для функцiї f написати формулу Маклорена до доданка, що мiстить xn включно, якщо:

а)

б)

в)

г)

д)

є)

з)

f(x) =	1+x+x22 , n = 4;
	1¡x+x
f(x) =	(1+x)100	, n = 2;
	(1¡2x)40(1+2x)60

p p

f(x) = 1 ¡ 2x + x3 ¡ 3 1 ¡ 3x + x2, n = 3;

f(x) = e2x¡x2 , n = 5; ґ) f(x) = ln (1 ¡ 2x + x2), n = 4;


f(x) =	x		,		n = 4;	е) f(x) = tg x, n = 5;
	x
	e ¡1					ж) f(x) = p3
f(x) = sin(sin x), n = 3;							sin x3	,	n = 13;
f(x) = ln		sin x		,	n = 6;	и) f(x) = ln(cos x),			n = 6.

		x

Обчислити границi:

lim

cos x ¡ e¡

10. lim

ex sin x ¡ x(1 + x)

;

x!0

1 ¡ p

¡ p

12. lim

cos x

;

11.

lim

1 + 3x

1 + 2x

;

1 + x2

x!0

13.

lim

ex + e¡x ¡ 2

;

14. lim

e2x + 2e¡x ¡ 3

;

15.

x!0

16.

x!0

µx

¶;

x!0 µx

¡ sin x¶;

x!0

lim

ctg x

´; 18.

17.

x!+1

x!1 ·

x¶¸;

x2 ln

1 +

lim

+ px

2px

19.

x!+1

+ 1

1¡

;

20.

x!+1 h³

px6

+ 1i.

lim

21. Оцiнити абсолютну похибку наближених формул:

а) sin x ¼ x ¡

при jxj · 0; 5;

б) tg x ¼ x +

при jxj · 0; 1;

в) p

¼ 1 + x2 ¡

при 0 · x · 1;

1 + x

г) ex ¼ 1 + x +

+ ::: +

при 0 · x · 1.

22.

Для яких x правильна з точнiстю до 0; 0001 наближена

формула cos x ¼ 1 ¡

23.

Використовуючи формулу Тейлора, обчислити наближе-

нi значення нижченаведених виразiв та оцiнити похибку

вiдповiдних обчислень:

а)

;

б)

;

в) p3

;

1; 04

г)

;

ґ)

ln(1; 2);

д) ln(0; 8);

250

е) sin 18±; є) cos 40±; ж) sin 29±.

24. Обчислити наближенi значення нижченаведених виразiв

iз точнiстю до ":
а)	p		,	" = 10¡4;	б) p3			,	" = 10¡5;
		5					7
в)	sin 1±,			" = 10¡8;	г)	cos 9±,			" = 10¡5;
ґ)	e, " = 10¡9;				д)	ln(0; 9), " = 10¡5.

3.8. Застосування похiдної до дослiдження функцiй на монотоннiсть i екстремуми

Функцiя f : E ! R, визначена на множинi E µ R, називається монотонно зростаючою (монотонно спадною) на множинi X µ E, якщо

f(x1) · f(x2) (f(x1) ¸ f(x2))

для довiльних x1; x2 2 X з x1 < x2. Функцiя f, яка монотонно зростає або монотонно спадає на множинi X, називається

монотонною на множинi X.

Аналогiчно, функцiя f : E ! R називається строго зростаючою (строго спадною) на множинi X µ E, якщо

f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2))

для довiльних x1; x2 2 X з x1 < x2. Функцiя f, яка строго зростає або строго спадає на множинi X, називається строго монотонною на множинi X.

Теорема 1. Нехай функцiя f : X ! R неперервна на промiжку X iз кiнцями a та b i диференцiйовна на iнтервалi (a; b). Тодi функцiя f монотонно зростає (спадає) на X тодi i тiльки тодi, коли f0(x) ¸ 0 (f0(x) · 0) для кожного x 2 (a; b).

Теорема 2. Нехай функцiя f : X ! R неперервна на промiжку X iз кiнцями a та b i диференцiйовна на iнтервалi (a; b). Тодi функцiя f строго зростає (спадає) на X тодi i тiльки тодi, коли f0(x) ¸ 0 (f0(x) · 0) для кожного x 2 (a; b) i

похiдна f0 не дорiвнює тотожно нулю на кожному iнтервалi

I µ (a; b).

Нехай область визначення Df µ R функцiї f є околом точки x0. Точка x0 називається точкою локального максимуму (локального мiнiмуму) функцiї f, якщо iснує такий окiл U µ Df

точки x0, що

f(x) · f(x0) (f(x) ¸ f(x0))

для довiльного x 2 U. Точка x0, яка є точкою локального максимуму або мiнiмуму, називається точкою локального екстремуму.

Якщо для всiх x 2 U nfx0g виконуються вiдповiднi строгi нерiвностi, то точка x0 називається точкою строгого локального максимуму, мiнiмуму i екстремуму вiдповiдно.

Теорема 3 (необхiдна умова екстремуму). Нехай x0 –

точка локального екстремуму функцiї f i f диференцiйовна в точцi x0. Тодi f0(x0) = 0.

Теорема 4. Нехай функцiя f – диференцiйовна в деякому

околi U = (x0 ¡ ±; x0 + ±) точки x0 2 Df . Тодi

(i) якщо f0(x) ¸ 0 для кожного x 2 (x0 ¡±; x0) i f0(x) · 0 для кожного x 2 (x0; x0 +±), то x0 – точка локального максимуму;

(ii) якщо f0(x) · 0 для кожного x 2 (x0¡±; x0) i f0(x) ¸ 0 для кожного x 2 (x0; x0 + ±), то x0 – точка локального мiнiмуму.

Теорема 5. Нехай функцiя f – диференцiйовна в деякому

околi U = (x0 ¡ ±; x0 + ±) точки x0 2 Df , f0(x0) = 0 i iснує f00(x0). Тодi

(i) якщо f00(x0) < 0, то x0 – точка локального максимуму; (ii) якщо f0(x0) > 0, то x0 – точка локального мiнiмуму.

Знайти промiжки строгої монотонностi таких функцiй:

1. y = 2x2 + 3x + 2;	2. y = 2 + x ¡ x2;
3. y = 3x ¡ x3;	4. y =	x3	+	x2	¡ 6x;
		3		2

80
5.	y =	2x			;
		1+x		2

7.	y = x + sin x;
9.	y = cos			¼ ;
				x
11.	y =	x2	;
		x
	2

13.y = xne¡x при n > 0 i x ¸ 0;

14.y = x2 ¡ ln x;

³q ´

16. y = x	3	+ sin ln x ;
	2

6.y = x+100x ;

8.y = cos2 x ¡ x;

10. y = sin 2¼x ;

12.y = x3e¡x;

15.y = x2 ¡ ln x2;

³´

17. y = x	1	¡ cos ln x .
	p2

18.Довести, що функцiя f(x) = (1 + x1 )x строго зростає на iнтервалах (¡1; ¡1) i (0; +1).

19. Довести, що для довiльного многочлена P (x) iснує a > 0, таке, що P (x) є строго монотонним на iнтервалах (¡1; ¡a) i (a; +1).

Довести такi нерiвностi:

20.ex > 1 + x при x =6 0;

21.p1 + 2x < 1 + x при x > 0;

22.cos x > 1 ¡ x22 при x =6 0;

23.x ¡ x22 < ln(1 + x) < x при x > 0;

24.x ¡ x63 < sin x < x при x > 0;

25.x < tg x < x + x33 при x 2 (0; ¼2 );

26.(1 + x1 )x < e < (1 + x1 )x+1 при x > 0;

27.x® ¡ 1 > ®(x ¡ 1) при ® ¸ 2 i x > 1;

28.	px ¡ pa < px ¡ a при n > 1 i x > a > 0;
		n
	n n
29.	1 + 2 ln x · x2.

																81
Знайти екстремуми таких функцiй:
30.	y = 5x2 ¡ 7x + 4;					31.	y = 4x3 + 6x + 5;
32.	y = x3 ¡ 6x2 + 9x ¡ 4;					33.	y = 2x2 ¡ x4;
34.	y = x(x ¡ 1)2(x ¡ 2)3;					35.	y = x2(x + 1)4(x + 2)6;
36.	y = x + x1 ;					37.	y =		2x			;
								1+x2
38.	x2¡3x+2					39.	p									;
													2
	y = x2+2x+1 ;						y = 2x ¡ x
40.	y = p				;	41.	y = xp3								;
			x2 ¡ 4x + 5							x ¡ 1
42.	y = xex;					43.	y = xe¡x;
44.	y = (x ¡ 3)ex+1;					45.	y = x2e¡x;
46.	y = ln(9 ¡ x2);					47.	y = x ¡ ln(1 + x);
48.	y = p			ln x;		49.	y =		ln2 x		;
		x

									x
50.	y = cos x + 21 cos 2x;					51.	y = sin x ¡ 31 sin 3x;
52.	y = arctg x ¡ 21 ln(1 + x2);					53.	y = ex sin x;
54.	y = ex cos x;					55.	y =	10						.
								1+sin					2 x

3.9. Найбiльше i найменше значення функцiї

Нехай функцiя f : X ! R визначена на множинi X µ R,

® = infff(x) : x 2 Xg i ¯ = supff(x) : x 2 Xg. Якщо iснує a 2 X, таке, що f(a) = ®, то кажуть, що функцiя f має найменше значення, а число ® називається найменшим значенням функцiї f i позначається через fmin. Аналогiчно, якщо iснує b 2 X, таке, що f(b) = ¯, то кажуть, що функцiя f має найбiльше значення, а число ¯ називається найбiльшим значенням функцiї f i позначається через fmax.

Теорема 1. Нехай функцiя f : [a; b] ! R неперервна на вiдрiзку [a; b], диференцiйовна на iнтервалi (a; b) i fx1; : : : ; xng =

fx 2 (a; b) : f0(x) = 0g. Тодi

fmin = minff(a); f(b); f(x1); : : : ; f(xn)g

fmax = maxff(a); f(b); f(x1); : : : ; f(xn)g:

Теорема 2. Нехай f : (a; b) ! (¡1; ¯) – диференцiйовна

функцiя, така, що lim f(x) = lim f(x) = ¯. Тодi функцiя f

x!a+0 x!b¡0

має найменше значення i

fmin = minff(x) : x 2 (a; b); f0(x) = 0g:

Теорема 3. Нехай f	: (a; b) ! (®; +1) – диференцiйовна
функцiя, така, що lim	f(x) = lim f(x) = ®. Тодi функцiя f
x!a+0	x!b¡0

має найбiльше значення i

fmax = maxff(x) : x 2 (a; b); f0(x) = 0g:

Знайти найменше та найбiльше значення нижченаведених функцiй на вiдповiдних промiжках:

1.f(x) = 2x на вiдрiзку [¡1; 5];

2.f(x) = 31x на вiдрiзку [¡3; 2];

3.f(x) = 2 3 x2 на вiдрiзку [¡8; ¡1];

4.f(x) = p5¡1 4x на вiдрiзку [¡1; 1];

5.f(x) = p13+31 x на вiдрiзку [¡4; 4];

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025100.79 Кб0Metodichni_rekomendatsiyi_prokhodzhennya_prakti...docx
#
01.04.2025338.94 Кб0METODIChNI_REKOMNDATsIYi_2013_novi.doc
#
01.04.202577.82 Кб0Metodich_INDZ.doc
#
01.03.2025297.98 Кб0metodika-vikladannya-disciplin-z-ekonomiki-dlya...doc
#
01.03.20251.25 Mб0MetodikaВТ(лаб)виправл.doc
#
23.02.2016561.48 Кб6MetodMA1.pdf
#
01.05.20252.12 Mб0Metodrekom_Bodnaryk.doc
#
01.05.20254.83 Mб0Metodtchka.doc
#
11.11.2019346.11 Кб12Metoduka vukladann'a jyruduchnuh dusch. u vush....doc
#
23.02.2016738.3 Кб58metod_2015.doc
#
26.11.2018626.18 Кб6metod_ESPD 2.doc