MetodMA1

43

2.5. Означення неперервної функцiї

Нехай X µ R, f : X ! R i x0 2 X. Функцiя f називається неперервною в точцi x0, якщо для довiльного " > 0 iснує таке

± > 0, що для довiльного x 2 X з нерiвностi jx ¡ x0j < ± випливає нерiвнiсть jf(x) ¡ f(x0)j < ". На мовi околiв це означення має такий вигляд: функцiя f є неперевною в точцi x0, якщо для довiльного околу V точки f(x0) в R iснує окiл U точки x0 в R такий, що f(x) 2 V для всiх x 2 U \ X. Кажуть також, що точка x0 є точкою неперервностi функцiї f. Якщо, крiм того, x0 є граничною точкою областi визначення функцiї f, то f неперервна в точцi x0 тодi i тiльки тодi, коли lim f(x) = f(x0).

Функцiя y = f(x) називається неперервною на множинi

A µ Df , якщо вона неперервна в кожнiй точцi множини A. Функцiї неперервнi на всiй своїй областi визначення називаються неперервними.

Якщо точка x0 є граничною точкою областi визначення функцiї y = f(x) i функцiя f не є неперервною в точцi x0, то f називається розривною в точцi x0, а точка x0 – точкою розриву функцiї f.

Нехай X µ R, f : X ! R i A µ X, причому A =6 Â.

Коливанням !f (A) функцiї f на множинi A називається точна верхня межа множини fjf(x0) ¡ f(x00)j : x0; x00 2 Ag, тоб-

то !f (A) = sup jf(x0) ¡ f(x00)j. Нехай x0 2 X i Ux0 – суку-

x0;x002A

пнiсть усiх околiв точки x0 в R. Точна нижня межа множини f!f (U \ X) : U 2 Ux0 g називається коливанням функцiї f в

точцi x0 i позначається !f (x0), тобто !f (x0) = inf !f (U \ X).

U2Ux0

1.Нехай x0 – iзольована точка областi визначення функцiї y = f(x), тобто x0 2 Df i x0 не є граничною точкою множини Df . Довести, що f неперервна в точцi x0.

44

3.Нехай f(x) = x1 , x0 2 Df i " > 0. Знайти максимальне

± > 0, таке, що для всiх x 2 Df з нерiвностi jx ¡ x0j < ± випливає нерiвнiсть jf(x) ¡ f(x0)j < ".

4.Довести, що функцiя y = f(x) є неперервною в точцi x0 2 Df тодi i тiльки тодi, коли !f (x0) = 0.

5.Нехай функцiя y = f(x), число ° > 0 i послiдовнiсть

(xn)1n=1 точок xn 2 Df такi, що !f (xn) ¸ ° для кожного n 2 N i послiдовнiсть (xn)1n=1 збiгається до деякої точки x0. Довести, що x0 є точкою розриву функцiї f.

6. Сформулювати на мовi "" ¡ ±" той факт, що функцiя

y = f(x) розривна в точцi x0 2 Df .

7.Нехай множина A µ (0; +1), функцiя y = f(x) i точка

x0 2 Df такi, що для кожного " 2 A iснує таке ± > 0, що для кожного x 2 Df з нерiвностi jx ¡ x0j < ± випливає нерiвнiсть jf(x) ¡ f(x0)j < ". Чи обов’язково функцiя f неперервна в точцi x0, якщо:

ґ) infA = 0?

8. Нехай f : R ! R, x0 2 R i для кожного ± > 0 iснує таке " > 0, що з нерiвностi jx ¡ x0j < ± випливає нерiвнiсть jf(x) ¡ f(x0)j < ". Чи обов’язково функцiя f неперервна в точцi x0? Яка властивiсть функцiї f описується даними нерiвностями?

45

9.Нехай f : R ! R, x0 2 R i для кожного " > 0 iснує таке

± > 0, що з нерiвностi jf(x) ¡ f(x0)j < " випливає нерiв-

нiсть jx ¡ x0j < ±. Чи обов’язково функцiя f неперервна в точцi x0? Яка властивiсть функцiї f описується даними нерiвностями?

10. Нехай X µ R, f : X ! R i для довiльних точки x0 2 X i числа ± > 0 iснує таке " > 0, що з нерiвностi

jf(x) ¡ f(x0)j < " випливає нерiвнiсть jx ¡x0j < ±. Чи обо- в’язково функцiя f неперервна в точцi x0? Яка властивiсть

функцiї f описується даними нерiвностями?

11.З допомогою "" ¡ ±"-мiркувань довести неперервнiсть таких функцiй:

2.6. Дослiдження функцiй на неперервнiсть та класифiкацiя точок розриву

Точка розриву x0 функцiї y = f(x) називається точкою розриву першого роду, якщо iснують скiнченнi границi f(x0 ¡ 0) = lim f(x) i f(x0 + 0) = lim f(x). Рiзниця

hf (x0) = f(x0 + 0) ¡ f(x0 ¡ 0) називається стрибком функцiї

f в точцi x0. Якщо hf (x0) = 0, тобто f(x0 + 0) = f(x0 ¡ 0), то точка розриву x0 функцiї f називається точкою усувного

розриву.

або є нескiнченною, то точка розриву x0 функцiї y = f(x) називається точкою розриву другого роду. Зокрема, у випадку, коли

48

є розривною в кожнiй точцi множини Q i неперервною на множинi I.

49.Функцiї f : R ! R i g : R ! R є розривними в деякiй

точцi x0 2 R. Чи обов’язково є розривною в точцi x0 сума цих функцiй?

50.Функцiї f : R ! R i g : R ! R є розривними в деякiй точцi

x0 2 R. Чи обов’язково є розривним у точцi x0 добуток цих функцiй?

51.Функцiя f : R ! R є розривною в точцi x0 2 R, а функцiя g : R ! R є неперервною в точцi x0. Чи обов’язково добуток цих функцiй є розривним у точцi x0?

52.Чи обов’язково квадрат розривної функцiї є розривною

49

2.7. Основнi теореми про неперервнi функцiї

Перша теорема Больцано-Кошi. Нехай функцiя y = f(x)

неперервна на [a; b] i f(a)f(b) < 0. Тодi iснує таке c 2 (a; b), що f(c) = 0.

Друга теорема Больцано-Кошi. Нехай функцiя y = f(x)

неперервна на деякому промiжку X, a; b 2 X, a < b, f(a) = A i f(b) = B. Тодi для довiльного числа C, яке знаходиться мiж A та B, iснує таке c 2 (a; b), що f(c) = C.

Теорема. Нехай функцiя y = f(x) визначена, строго зростає (спадає) i неперервна на деякому промiжку X. Тодi на промiжку Y = f(X) = ff(x) : x 2 Xg iснує обернена функцiя x = f¡1(y), яка є строго зростаючою (спадною) i неперервною.

Нехай X µ R, f : X ! R i A µ X. Функцiя називається обмеженою на множинi A, якщо iснують числа m; M 2 R такi, що m · f(x) · M для кожного x 2 A. Функцiї, обмеженi на всiй своїй областi визначення, називаються обмеженими. Кажуть, що функцiя f має найбiльше (найменше) значення на множинi

A, якщо iснує таке x0 2 A, що для всiх x 2 A виконується нерiвнiсть

f(x) · f(x0) (f(x) ¸ f(x0)):

Перша теорема Вейерштрасса. Кожна неперервна на вiдрiзку функцiя обмежена на цьому вiдрiзку.

Друга теорема Вейерштрасса. Кожна неперервна на вiдрiзку функцiя має на цьому вiдрiзку найбiльше i найменше значення.

Нехай X µ R, f : X ! R i A µ X. Функцiя f називається

рiвномiрно неперервною на множинi A, якщо для довiльного

" > 0 iснує таке ± > 0, що для довiльних x0; x00 2 A з нерiвностi jx0 ¡ x00j < ± випливає нерiвнiсть jf(x0) ¡ f(x00)j < ".

Теорема Кантора. Кожна неперервна на вiдрiзку функцiя є рiвномiрно неперервною на цьому вiдрiзку.

50

1.Довести, що функцiя f(x) = x3 ¡ 3x + 1 має хоча б один нуль на вiдрiзку [0; 1].

2.Довести, що рiвняння x5 + 3cos2x = sin x має хоча б один розв’язок.

3.Довести, що кожен многочлен непарного степеня має хоча б один дiйсний корiнь.

4.Знайти множину значень функцiї f(x) = arcsin(lg10x ).

5.Знайти множину значень функцiї f(x) = 1+2jxxj2 .

6.Скiльки iснує неперервних функцiй y = f(x), визначених на R, якi задовольняють умову y2 = x2?

7.Скiльки iснує неперервних функцiй y = f(x), визначених на [¡1; 1], якi задовольняють умову x2 + y2 = 1?

8. Неперервна на вiдрiзку [a; b] функцiя має рiвно n нулiв: a = x1 < x2 < : : : < xn = b. Довести, що на кожному

iнтервалi (xk; xk+1), k = 1; 2; : : : ; n ¡ 1, функцiя f зберiгає свiй знак.

9.Нехай неперервна функцiя f : R ! R така, що f (f(x)) = x для кожного x 2 R. Довести, що iснує таке c 2 R, що f(c) = c.

ному вiдрiзку [0; a], де a > 0, набуває всiх значень мiж f(0) i f(a), але функцiя f не є неперервною на [0; a].

51

12.Нехай y = f(x) строго додатна неперервна на вiдрiзку [a; b] функцiя. Довести, що iснує таке c > 0, що f(x) > c для всiх x 2 [a; b].

13.Нехай a 2 R i функцiя y = f(x) неперервна на промiж-

15.Нехай функцiя y = f(x) неперервна i обмежена на промiжку [a; +1). Довести, що для довiльного числа T > 0 iснує послiдовнiсть (xn)1n=1 точок xn 2 [a; +1) така, що

16. Функцiї f i g – такi неперервнi перiодичнi функцiї на R,

всiх x 2 R.

17.Яка властивiсть графiка функцiї y = f(x) означає, що функцiя f має обернену f¡1, яка збiгається з функцiєю f?

18.Довести, що розривна функцiя y = (1 + x2) sgn x має неперервну обернену функцiю.

19.Визначити однозначнi неперервнi вiтки обернених функцiй для таких функцiй: