MetodMA1

33

Точка a 2 R називається точкою лiвостороннього (правостороннього) накопичення множини A µ R, якщо для довiльного " > 0 множина A \(a ¡"; a) (A \(a; a + ")) є непорожньою.

Число b 2 R називається границею функцiї f : X ! R при x прямуючому до a злiва (справа), де X µ R, a – точка лiвостороннього (правостороннього) накопичення множини X i

b 2 R, тобто b = lim f(x) (b = lim f(x)), якщо для довiльно-

x!a¡0 x!a+0

го " > 0 iснує таке ± > 0, що для довiльного x 2 X з нерiвностi a ¡ ± < x < a (a < x < a + ±) випливає нерiвнiсть jf(x) ¡ bj < ".

Теорема 2. Нехай f : X ! R, де X µ R, a 2 R – точка лiвостороннього i правостороннього накопичення областi ви-

значення X функцiї f i b 2 R. Тодi lim f(x) = b тодi i тiльки

x!a

тодi, коли lim f(x) = lim f(x) = b, причому b = f(a), якщо

x!a¡0 x!a+0

a2 X.

1.Довести, що точка a 2 R є граничною точкою множини A µ R тодi i тiльки тодi, коли a є точкою лiвостороннього або правостороннього накопичення множини A.

2.Довести, що точка a = 1 є граничною точкою множини A µ R тодi i тiльки тодi, коли ¡1 або +1 є граничною точкою множини A.

3.Нехай A µ R i послiдовнiсть (xn)1n=1 граничних точок xn множини A збiгається до деякої точки a 2 R. Довести, що точка a є граничною точкою множини A.

4.Довести, що точка a 2 R є граничною точкою множини

A µ R тодi i тiльки тодi, коли iснує послiдовнiсть (xn)1n=1 точок xn 2 A, xn 6= a, яка збiгається до точки a.

5.Нехай A µ R, B – множина граничних точок множини A i C – множина граничних точок множини B. Довести, що

C µ B.

34

6. Довести, що якщо lim f(x) = b i множина

x!a

fx 2 R : f(x) = bg – скiнченна, то b – гранична точка множини Ef .

7.Використовуючи означення границi функцiї на мовi ""¡±"

довести, що: p p

x = 3; в) lim 3 x = ¡2;

x!2 x!9 x!¡8

8. Нехай b 2 R. Сформулювати на мовi "" ¡ ¢" такi твердження:

а) lim f(x) = b; б) lim f(x) = b; в) lim f(x) = b.

x!1

9. Нехай a 2 R. Сформулювати на мовi "E ¡ ±" такi тверд-

10. Сформулювати на мовi "E ¡ ¢" такi твердження: