І. Теоретичні відомості.

1. Економічна і геометрична інтерпретації задач теорії ігор.

Якщо є кілька конфліктуючих сторін (осіб), кожна з який приймає деяке рішення, обумовлене заданим набором правил, і кожній з сторін відомий можливий кінцевий стан конфліктної ситуації з заздалегідь визначеними для кожної із сторін платежами, то говорять, що має місце гра. Задача теорії ігор полягає у виборі такої лінії поведінки даного гравця, відхилення від якої може лише зменшити його виграш.

Означення 1. Ситуація називається конфліктною, якщо в ній беруть участь сторони, інтереси яких цілком чи частково протилежні.

Означення 2. Гра — це дійсний чи формальний конфлікт, у якому є принаймні два учасники (гравця), кожний з який прагне до досягнення власних цілей.

Означення 3. Припустимі дії кожного з гравців, спрямовані на досягнення деякої мети, називаються правилами гри.

Означення 4. Кількісна оцінка результатів гри називається платежем.

Означення 5. Гра називається парною, якщо в ній беруть участь тільки дві сторони (дві особи).

Означення 6. Парна гра називається грою з нульовою сумою, якщо сума платежів дорівнює нулю, тобто якщо програш одного гравця дорівнює виграшу другого.

Ми будемо розглядати саме парні ігри з нульовою сумою.

Означення 7. Однозначний опис вибору гравця в кожній з можливих ситуацій, при якій він повинен зробити особистий хід, називається стратегією гравця.

Означення 8. Стратегія гравця називається оптимальною, якщо при багаторазовому повторенні гри вона забезпечує гравцю максимально можливий середній виграш (чи, що те ж саме, мінімально можливий середній програш).

Нехай є два гравці, один з яких може вибрати i-ту стратегію із m своїх можливих стратегій (), а другий, не знаючи вибору першого, вибирає j-ту стратегію із n своїх можливих стратегій (). У результаті перший гравець виграє величину ,адругий програє цю ж величину.

З чисел складемо матрицю

Рядки матриці А відповідають стратегіям першого гравця, а стовпці — стратегіям другого. Ці стратегії називаються чистими.

Означення 9. Матриця А називається платіжною (чи матрицею гри).

Означення 10. Гру, обумовлену матрицею А, що має m рядків і n стовпчиків, називають кінцевою грою розмірності .

Означення 11. Число називаєтьсянижньою ціною гри або максиміном, а відповідна йому стратегія (рядок) — максимінною.

Означення 12. Число називається верхньою ціною гри або мінімаксом, а відповідна йому стратегія гравця (стовпчик) — мінімаксною.

Теорема 1. Нижня ціна гри завжди не перевершує верхньої ціни гри.

Означення 13 Якщо , то числоv називається ціною гри.

Означення 14. Гра, для якої , називається грою ізсідловою точкою.

Для гри із сідловою точкою знаходження розв’язку полягає у виборі максимінної і мінімаксної стратегій, що є оптимальними.

Якщо гра, задана матрицею, не має сідлової точки, то для знаходження її розв’язку використовуються мішані стратегії.

Означення 15. Вектор, кожна з компонентів якого показує відносну частоту використання гравцем відповідної чистої стратегії, називається змішаною стратегією даного гравця.

З даного визначення безпосередньо випливає, що сума компонентів зазначеного вектора дорівнює одиниці, а самі компоненти не від’ємні. Звичайно змішану стратегію першого гравця позначають як вектор , а другого гравця — як вектор , де (), (),,

Якщо — оптимальна стратегія першого гравця, а— оптимальна стратегія другого гравця, то число

є ціною гри.

Визначення оптимальних стратегій і ціни гри якраз і складає процес знаходження розвозку гри.

Теорема 2. Всяка матрична гра з нульовою сумою має розв’язок в мішаних стратегіях.

Теорема 3. Для того щоб число v було ціною гри, а і — оптимальними стратегіями, необхідно і достатньо виконання нерівностей

() і ()

Якщо теорема 2 дає відповідь на питання про існування розв’язку гри, то наступна теорема дає відповідь на питання, як знайти цей розв’язок для ігор ,і.

Теорема 4. Якщо один із гравців застосовує оптимальну мішану стратегію, то його виграш дорівнює ціні гри v не залежно від того, з якими частотами буде застосовувати другий гравець стратегії, що ввійшли в оптимальну (у тому числі і чисті стратегії).

І. Теоретичні відомості

Загальна характеристика задач динамічного програмування.

У задачах лінійного програмування, ми знаходили розв’язок як би в один етап або за один крок. Такі задачі отримали назву одноетапні або однокрокові.

На відміну від цих задач задачі динамічного програмування є багатоетапними або багатокроковими. Іншими словами, знаходження розв’язку конкретних задач методами динамічного програмування включає декілька етапів або кроків, на кожному з яких визначається розв’язок деякої частинної задачі, обумовленої початковою. Тому термін «динамічне програмування» не стільки визначає особливий тип задач, скільки характеризує методи знаходження розв’язку окремих класів задач математичного програмування, які можуть відноситися до задач як лінійного, так і нелінійного програмування. Не дивлячись на це, доцільно дати спільну постановку задачі динамічного програмування і визначити єдиний підхід до її розв’язання.

Нехай задана фізична система знаходиться в деякому початковому станіі є керованою. Таким чином, завдяки здійсненню деякого управліннявказана система переходить з початкового станув кінцевий стан. При цьому якість кожного з управлінь, що реалізовуються, характеризується відповідним значенням функції. Задача полягає в тому, щоб з множини можливих управліньзнайти таке, при якому функціянабуває екстремального (максимального або мінімального) значення. Сформульована задача і є загальною задачею динамічного програмування.

Знаходження розв’язку задач методом динамічного програмування.

Розглянемо тепер в загальному вигляді розв’язок цієї задачі динамічного програмування. Для цього введемо деякі позначення і зробимо необхідні для подальшого викладення припущення.

Вважатимемо, що перебування даної системи на-му кроці () визначається сукупністю чисел, які отримані в результаті реалізації управління, що забезпечило перехід системиіз станув стан. При цьому передбачатимемо, що стан, в який перейшла система, залежить від даного стануі вибраного управлінняі не залежить від того, яким чином системаприйшла в стан.

Далі, вважатимемо, що якщо в результаті реалізації -го кроку забезпечений певний дохід або виграш, також залежний від початкового стану системиі вибраного управлінняі рівний, то спільний дохід або виграш закроків складає

. (1)

Таким чином, ми сформулювали дві умови, якими повинна задовольняти дана задача динамічного програмування. Першу умову зазвичай називають умовою відсутності наслідків, а другу – умовою адитивності цільової функції задачі.

Виконання для задачі динамічного програмування першої умови дозволяє сформулювати для неї принцип оптимальності Беллмана. Перш ніж зробити це, дамо визначення оптимальної стратегії управління. Під такою стратегією розумітимемо сукупність управлінь , в результаті реалізації яких системазакроків переходить з початкового станув кінцевийі при цьому функція (1) набуває найбільшого значення.

Принцип оптимальності. Яким би не був стан системи перед черговим кроком, треба вибрати управління на цьому кроці так, щоб виграш на даному кроці плюс оптимальний виграш на всіх подальших кроках був максимальним.

Звідси витікає, що оптимальну стратегію управління можна отримати, якщо спочатку знайти оптимальну стратегію управління на -му кроці, потім на двох останніх кроках, потім на трьох останніх кроках і так далі, аж до першого кроку. Таким чином, розв’язок даної задачі динамічного програмування доцільно починати з визначення оптимального розв’язок на останньому,-му кроці. Для того, щоб знайти цей розв’язок, очевидно, потрібно зробити різні припущення про те, як міг закінчитися передостанній крок, і з урахуванням цього вибрати управління, що забезпечує максимальне значення функції. Таке управління, вибране при певних припущеннях про те, як закінчився попередній крок, називається умовно оптимальним управлінням. Отже, принцип оптимальності вимагає знаходити на кожному кроці умовне оптимальне управління для будь-якого з можливих результатів попереднього кроку.

Щоб це можна було здійснити практично, необхідно дати математичне формулювання принципу оптимальності. Для цього введемо деякі додаткові позначення. Позначимо через максимальний дохід, що отримується закроків під час переходу системиз початкового станув кінцевий станпри реалізації оптимальної стратегії управління, а через– максимальний дохід, що отримується при переході з будь-якого станув кінцевий станпри оптимальній стратегії управління накроках, що залишилися. Тоді

. (2)

, (). (3)

Останній вираз є математичним записом принципу оптимальності і носить назву основного функціонального рівняння Беллмана або рекурентного співвідношення. Використовуючи дане рівняння, знаходимо розв’язок даної задачі динамічного програмування. Зупинимося на цьому детальніше.

Вважаючи в рекурентному співвідношенні (3), отримуємо наступне функціональне рівняння:

,. (4)

У цьому рівнянні будемо вважати відомим. Використовуючи тепер рівняння (4) і розглядаючи всі допустимі стани системина-му кроці,, …, …, знаходимо умовні оптимальні розв’язки

,, …,, …

і відповідні значення функції (4)

,, …,, …

Таким чином, на -му кроці знаходимо умовно оптимальне управління при будь-якому допустимому стані системипісля-го кроку. Іншими словами, в якому б стані система не опинилася після-го кроку, нам вже відомо, яке слід прийняти рішення на-му кроці. Відомо також і відповідне значення функції (4).

Переходимо тепер до розгляду функціонального рівняння при :

,. (5)

Для того, щоб знайти значення для всіх допустимих значень , очевидно, необхідно знатиі. Що стосується значень то ми їх вже визначили. Тому потрібно провести обчисленняпри деякому наборі допустимих значеньі відповідних управлінь. Ці обчислення дозволять визначити умовно оптимальне управліннядля кожного. Кожне з таких управлінь спільно з вже вибраним управлінням на останньому кроці забезпечує максимальне значення доходу на двох останніх кроках.

Послідовно здійснюючи описаний вище ітераційний процес, дійдемо, нарешті, до першого кроку. На цьому кроці нам відомо, в якому стані може знаходитися система. Тому вже не потрібно робити припущень про допустимі стани системи, а залишається тільки вибрати управління, яке є найкращим з врахуванням умовних оптимальних управлінь, вже прийнятих на всіх подальших кроках.

Таким чином, в результаті послідовного проходження всіх етапів від кінця до початку визначаємо максимальне значення виграшу за кроків і для кожного з них знаходимо умовно оптимальне управління.

Щоб знайти оптимальну стратегію управління, тобто визначити шуканий розв’язок задачі, потрібно тепер пройти всю послідовність кроків, тільки цього разу від початку до кінця. А саме: на першому кроці в якості оптимального управління візьмемо знайдене умовне оптимальне управління. На другому кроці знайдемо стан, у який переводить систему управління. Цей стан визначає знайдене умовне оптимальне управління , яке тепер вважатимемо за оптимальне. Знаючи, знаходимоа значить, визначаємоі так далі. В результаті цього знаходимо розв’язок задачі, тобто максимально можливий дохід і оптимальну стратегію управління, що включає оптимальні управління на окремих кроках:.

І. Теоретичні відомості.

Необхідність дослідження задач одновимірної оптимізації та розробка чисельних методів їх розв'язування обумовлена, по-перше, тим, що цей клас екстремальних задач є зручною моделлю для розробки і теоретичного дослідження ефективності методів багатовимірної оптимізації, а, по-друге, тим, що в багатьох методах відшукання екстремуму таких багатовимірних задач використовується одновимірний пошук.

Класичні методи одновимірної мінімізації мають досить обмежені застосування, оскільки обчислення похідних в практичних задачах не завжди можливе. Наприклад, значення функції визначаються в результаті спостережень чи деякого фізичного експерименту, і отримати інформацію про її похідну важко або взагалі неможливо в силу недиференційовності функції, що оптимізується. Але навіть у тих випадках, коли похідну все ж таки вдається обчислити, відшукання коренів рівнянняі визначення інших точок, підозрілих на екстремум, може бути пов'язане з серйозними труднощами. Тому важливо мати такі методи пошуку екстремуму, які не вимагають обчислення похідних і є більш зручними для реалізації на ЕОМ.

Якщо про цільову функцію відомо лише те, що вона є неперервною на заданій множині, то для знаходження точки глобального мінімуму, взагалі кажучи, необхідно досліджувати цю функцію в усіх точках множини. Але оскільки нас цікавить відшукання деякого наближення точки мінімуму, то для цього функцію досліджують у скінченній кількості точок. Різні способи вибору такої сукупності точок визначають і різні методи одновимірної мінімізації.

В математиці розроблено багато ефективних методів для розв'язування задач одновимірної мінімізації, орієнтованих на різні класи функцій, що зустрічаються при розв'язуванні прикладних задач.

Більшість наближених методів одновимірної мінімізації у процесі своєї реалізації генерують послідовність відрізків , що стягується до однієї з точок. Однак, гарантувати приналежність точкивідрізкудля деякогоможна лише для певного класу функцій, що мінімізуються на множині.

Далі розглянемо кілька найбільш поширених методів одновимірної мінімізації на класі функцій, у яких всі точки локального мінімуму є точками глобального мінімуму.