8. Проблема дискретного опису еволюції системи при детерміністичному моделюванні.

Звичайно, щоб розглянути за час комп’ютерного експерименту якомога більший відрізок реального часу, намагаються зробити крок по часу якомога більшим. Однак крок по часу, тобто крок кінцево-різницевої схеми, визначає точність розрахунків характеристик системи. Зрозуміло, що для різних систем оптимальний крок по часу різний. Наприклад, для системи аргону крок становить , для системи міді –.

Для кожної моделі в залежності від потенціалів взаємодії, чисельної схеми, граничних умов та, навіть, конкретної цілі моделювання (кожен процес має різну часову шкалу – характерний час, за який відбувається одна подія) крок по часу буде різним.

Критерію вибору кроку не існує. А досить загальне емпіричне правило вимагає, щоб флуктуації повної енергії системи не перевищували декількох відсотків від флуктуацій потенціальної енергії.

Чим практично керуватися при виборі кроку по часу? Для моделювання кристалічних систем відправною точкою можуть слугувати наступні міркування. Якщо розглядати кристал у рамках моделі Дебая (ІІ.4.4), то частоту колективних коливань можна оцінити як частоту Дебая ,- міжатомна відстань. Отже, груба аналітична оцінка періоду коливань частинок у кристалі становить. Визначити період Дебая можна також комп’ютерними методами, що може не співпадати з точним аналітичним значенням. Але ця відмінність пояснюється особливостями описаної моделі - вибором потенціалу парної взаємодії, типу кінцево-різничної схеми, граничними умовами, тощо. Тому для обраної моделі можна вважати більш придатним комп’ютерний метод оцінки періоду Дебая: атоми зафіксувати у вузлах решітки, вивести один атом з положення рівноваги і з явно меншим кроком по часу, ніж передбачуваний за аналітичною формулою, провести моделювання коливань, фіксуючи швидкість вибраного атома, - період зміни швидкості і є характерним періодом коливань атомів у системі. Зрозуміло, що для коректного моделювання крок по часу повинен становить кілька відсотків від періоду коливань.

9. Методика вибору кроку по часу при детерміністичному моделюванні.

Критерію вибору крокуне існує. А досить загальне емпіричне правило вимагає, щоб флуктуації повної енергії системи не перевищували декількох відсотків від флуктуацій потенціальної енергії.

Для вибору більш конкретного значення користуються наступним тестом. Проводять моделювання з та. Якщо результати моделювання співпадають, то крок знову збільшують вдвічі. Процедуру повторюють до тих пір, поки результати не почнуть відрізнятися.

Не слід захоплюватися надто малим , оскільки а) це зробить неможливим розгляд процесу в реальному часі; б) поступове зменшення часового кроку може у певний момент дати меншу точність обчислень внаслідок похибки округлень при машинному обчисленні (подрібнення фазового простору призводить до більшої кількості арифметичних операцій, похибки яких накладаються, рис).

10. Забезпечення консервативності системи при детерміністичному моделюванні для мікроканонічного ансамблю.

Якщо не розглядати траєкторію та характеристики кожної окремої частинки, то стан системи можна описати як макростан: кількість частинок, абсолютна температура, середній тиск, об’єм та повна енергія.

Кінетичне означення температури випливає з теореми про рівномірний розподіл: кожен квадратичний член, що входить у вираз для енергії класичної системи, що знаходиться у рівновазі при температурі , має середнє значенняна кожен ступінь вільності, де– стала Больцмана. Для-вимірного простору температуруможна визначити із співвідношення

,

де сума береться по всіх частинках ікомпонентах швидкості. Слід зауважити, що дане співвідношення справедливе лише тоді, коли рух системи як цілого рівний нулеві.

Навіть обравши надзвичайно малий крок по часу, неможливо уникнути флуктуацій енергії в системі, тому періодично необхідно перевіряти умову, щоб повна енергія системи залишалася постійною

,

–потенціальна енергія -го атома при ініціалізації початкових умов,

–розмірність.

Якщо повна енергія системи у певний момент часу відрізняється від , необхідно виконати процедуру перенормування кінетичної енергії (швидкостей атомів)

,

–потенціальна енергія -го атома в момент,

сума швидкостей по всіх компонентах ,

–нормувальний множник для вирівнювання повної енергії до початкової .

Отже, всі складові швидкостей кожного атома необхідно домножити на множник

.