2.1. Рівняння, в яких заміна очевидна

Розглянемо наступні рівняння:

1.

2.

3.

4.

5.

Спосіб розв'язування:

1)  .

Зведемо дане рівняння до виду і, зробивши підстановку, розв'яжемо отримане рівняння. Отримаємо або . Повернемося до підстановки і розв'яжемо ще два рівняння:

a) ,   або  б) ; 

 

Відповідь:  ; ; 

2) . Зробивши підстановку, отримаємо рівняння , розв’язок якогоабо. Повертаючись до підстановки:

a) ,абоб),розв’язків немає.

Відповідь: ;

3) .

Зробивши підстановку , розв'яжемо отримане рівняння . Отримаємо  або  . Повернемося до підстановки і розв'яжемо ще два рівняння:

а) ,абоб),або.

Відповідь: ;.

4) .

Зведемо дане рівняння до виду і, Зробивши підстановку, розв'яжемо отримане рівняння . Отримаємо  або . Повернемося до підстановки і розв'яжемо ще два рівняння:

a) ,абоб),

Відповідь: ;.

5) .

Зведемо дане рівняння до виду і, Зробивши підстановку, розв'яжемо отримане рівняння . Отримаємо  або . Повернемося до підстановки і розв'яжемо ще два рівняння:

a) ,б),.

Відповідь: .

2.2. Рівняння виду

при ,, розв’язуються з використанням заміни:

.

Приклади:

1.

2.

3.

4.

5.

1) . Перепишемо дане рівняння у вигляді: . Так як та, то введемо нову змінну: Підставляючи у вихідне рівняння, отримаємо: , або Звідси знаходимо : і, тобто у множині дійсних чисел маємо розв’язки:. Відповідні корені вихідного рівняння дорівнюють Рівняння вищезазначеного типу можна розв’язати і по іншому, перемноживши першу дужку з четвертою, а другу − з третьою, вводячи при цьому відповідну заміну. Розглянемо це на другому прикладі.

2) .

Звернемо увагу, що сума вільних членів першої і четвертої дужки дорівнює сумі вільних членів другої і третьої дужки. Перемноживши ці дужки, отримаємо . Зробимо заміну , отримаємо рівняння , відкриємо дужки , знайдемо корні за теоремою оберненої до теореми Вієта  або . Повертаючись до заміни і розв'язуючи ще два рівняння:

1) , розв'язків немає.

2)

  або 

Відповідь: ; 

3) .

Cума вільних членів першої і четвертої дужки дорівнює сумі вільних членів другої і третьої дужки. Перемноживши ці дужки, отримаємо . Зробимо заміну, отримаємо рівняння, відкриємо дужки, знаходимо корені,,. Повертаючись до заміни і розв'язуючи ще два рівняння:

а) ,,

б) розв’язків немає.

Відповідь:  .

4) .

Аналогічно, перемноживши відповідні дужки, отримаємо . Зробимо заміну, отримаємо рівняння, відкриємо дужки, знаходимо корені,,. Повертаючись до заміни і розв'язуючи ще два рівняння:

а) ,,

б) ,.

Відповідь:  ;

5)

Перемноживши відповідні дужки, отримаємо . Зробимо заміну, отримаємо рівняння, знаходимо корені,,. Повертаючись до заміни і розв'язуючи ще два рівняння:

а) ,або.

б) ,розв’язків немає.

Відповідь:  ;

2.3. Рівняння виду .

Розглянемо розв’язування рівнянь виду деякі зводиться до розв’язування сукупності двох квадратних рівнянь за допомогою заміни

Приклади:

1.

2.

3.

4.

5.

1)

Відмітимо що, Перемноживши в лівій частині рівняння першу і четверту дужки, а також другу і третю, отримаємо:

.

Оскільки не є коренем даного рівняння, поділимо обидві його частини на. Отримаємо рівняння:

Рівносильне вихідному. Зробимо заміну змінної Тоді отримаємо рівнянняабо, звідсиТаким чином, вихідне рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

або

Розв’язуючи сукупність, отримуємо відповідь вихідного рівняння:

Відповідь: 

2) .

Спочатку помножимо обидві частини рівняння на , щоб замінити місцями доданки в другій дужці. Отримаємо рівняння . Перемножимо ті дужки, в яких добуток вільних членів однаковий, т. б. першу дужку на четверту, а другу на третю. Отримаємо . Оскільки  не є коренем даного рівняння, то поділимо обидві частини рівняння на ; отримаємо ; перетворимо отриманий вираз ; зробимо заміну змінної ; і розв'яжемо рівняння ;   ; . Повернемося до заміни і розв'яжемо ще два рівняння:

1) ; ; ; .

2) ; ; , 

Відповідь: ; ; 

3) .

Оскільки не є коренем даного рівняння, поділимо обидві його частини на. Отримаємо рівняння:

,

Рівносильне вихідному. Зробимо заміну змінної Тоді отримаємо рівнянняабо, звідсиТаким чином, вихідне рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

або

Розв’язуючи сукупність, отримуємо відповідь вихідного рівняння:

Відповідь: 

4) .

Зведемо дане рівняння до виду

Оскільки , то перемножимо першу дужку з четвертою та другу з третьою, отримаємоне є коренем даного рівняння, поділимо обидві його частини на.

Зробимо заміну змінної Тоді отримаємо рівнянняабо, звідсиТаким чином, вихідне рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

або

Розв’язуючи сукупність, отримуємо відповідь вихідного рівняння:

Відповідь: 

5)

Розв’язуючи аналогічно попереднім прикладам отримуємо:

.

Вводимо заміну ,звідкизнаходимо.

або

Розв’язуючи сукупність, отримуємо відповідь вихідного рівняння:

Відповідь: