StrMech-КРАТКО_2011_часть_2

9.2.2 Таблицы реакций и внутренних усилий в стержне как элементе основной системы. Основная система может рассматриваться как совокупность отдельных стержней, объединенных в узлах. Эти стержни можно разделить на четыре типа (рисунок 9.8):

Рисунок 9.8

Каждый из них может быть заранее рассчитан на действие различных нагрузок, изменение температуры и смещение опор. В статически неопределимых стержнях (тип 1 и 2) внутренние усилия удобно находить методом сил, в статически определимых (тип 3 и 4) – с помощью уравнений равновесия.

Для наиболее распространенных видов воздействий расчеты отдельных стержней постоянного сечения уже выполнены, их результаты сведены в справочные таблицы (см. Приложение).

9.3 Канонические уравнения метода перемещений

Предположим, что мы имеем дело с системой, степень кинематической неопределимости которой n; к ней приложена произвольная внешняя нагрузка. Чтобы устранить все независимые перемещения узлов Z1, Z2, ..., Zn, наложим n связей. Полученная основная система должна быть эквивалентна заданной, а в заданной системе этих связей нет. Следовательно, полные реакции во введенных связях должны отсутствовать:

Развернем каждое из равенств (9.3), применив принцип суперпозиции. Например, для реакции в первой связи получим выражение:

R1 = r11Z1 + r12Z2 + . . . + r1i Zi + . . . + r1n Zn + R1p ,

ãäå r1i – реакция в 1-ой дополíительной связи от единичного перемещения i-ой связи (или от Zi =1); R1p – грузовая реакция в 1- ой связи, т. е. реакция от внешней нагрузки, приложенной к основной системе.

Раскрывая аналогично каждую реакцию и приравнивая ее к нулю, получаем:

. . .

rn1Z1 + rn2Z2 + . . . + rni Zi + . . . + rnnZn + Rnp = 0.

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (9.4) представляет собой систему канонических уравнений метода перемещений. Неизвестными в ней являются перемещения узлов

Z1, Z2, ..., Zn. Здесь единичные реакции rki (k, i = 1, 2, …, n) представляют собой коэффициенты этой системы. Коэффициенты с

одинаковыми индексами (r11, r22, ..., rnn), расположенные на главной диагонали, называются главными, остальные – побочными. Грузовые реакции Rkp являются свободными членами СЛАУ.

Главные единичные реакции всегда положительны (это будет доказано позже). Побочные единичные реакции на основании первой теоремы Рэлея (см. п. 6.9.4) обладают свойством взаимности (rki = rik). Они, а также грузовые реакции Rkp, могут иметь любой знак, а также быть равными нулю.

Подобно коэффициенту δki в уравнениях метода сил, в обозначении реакции rki первый индекс (k) указывает номер дополнительной связи, в которой вычисляется реакция, а второй (i) – номер связи, единичное смещение которой вызывает эту реакцию (k – где возникает реакция, i – îò ÷åãî).

В зависимости от типов дополнительных связей различают два типа реакций: реактивные моменты, возникающие в плавающих заделках; реактивные силы, возникающие в опорных стержнях.

Физический смысл k-го уравнения заключается в том, что суммарная реакция в k-ой дополнительной связи от всех воздействий на основную систему (перемещений Z1, Z2, ..., Zn и внешней нагрузки) равна нулю.

По сути, канонические уравнения метода перемещений – это уравнения равновесия системы в деформированном состоянии. Они выражают условия равновесия узлов и отдельных частей системы.

9.4Вычисление и проверка коэффициентов

исвободных членов канонических уравнений

Существует два метода нахождения единичных и грузовых реакций: статический и общий (кинематический).

9.4.1 Статический метод определения реакций. Так как коэффициенты и свободные члены канонических уравнений есть реакции связей основной системы – силы и моменты, то они могут быть определены из уравнений статического равновесия узлов и отдельных частей конструкции.

Åñëè Z1 – угол поворота (см. рисунок 9.8), то связь 1 – плавающая заделка, а реакции этой связи r11 , r12 , ..., r1n , R1p – моменты; если Z2 – горизонтальное перемещение, то связь 2 – горизонтальный стержень, а реакции этой связи r21 , r22 , ..., r2n , R2p – горизонтальные силы.

Для определения моментной реакции необходимо вырезать узел основной системы и рассмотреть его равновесие, составив уравнение в виде суммы моментов сил, приложенных к узлу (рисунок 9.9, à).

Чтобы найти силовую реакцию, следует отсечь часть основной системы, содержащую эту реакцию, и составить уравнение ее равновесия в виде суммы проекций всех сил на какую-либо ось (рисунок 9.9, á).

Рисунок 9.9

Предварительно необходимо построить эпюры в основной системе от единичных перемещений (в единичных состояниях) и заданной внешней нагрузки (в грузовом состоянии), пользуясь вспомогательными таблицами (см. Приложение).

Направление определяемых единичных и грузовых реакций всегда совпадает с направлением перемещения данной связи. Например, реакции r11 , r12 , ..., r1n , R1p необходимо направить в ту же сторону, что и Z1 .

Статический метод прост, нагляден и удобен, он позволяет изобразить каждую реакцию на расчетной схеме в виде силы или момента и таким образом избежать ошибок при расчете. Однако в некоторых случаях он неприменим.

Например, для рамы с наклонными стойками в уравнения проекций на оси координат войдут не только поперечные, но и

продольные силы (рисунок 9.10). Поперечные силы легко найти по таблицам, однако продольные при использовании допущения об абсолютной жесткости

стержней определить гораздо сложнее.

В случаях, когда составление уравне-

ний равновесия громоздко, для определе-

Рисунок 9.10 ния реакций используют общий метод, основанный на перемножении эпюр.

9.4.2 Общий (кинематический) метод определения реакций. Вспомним способ определения коэффициентов и свободных членов в методе сил. Единичные перемåщения δik вычислялись перемножением åдиничных эпюр Mi è Mk , грузовые iр – перемножением эпюр Mi è Mp в основной системе метода сил.

Подобным же образом можно найти единичные и грузовые реакции в основной системе метода перемещений, однако здесь есть свои особенности.

Единичные реакции можно найти перемножением соответствующих единичных эпюр в основной системе:

Из формулы (9.5) следует, что главные коэффициенты rii всегда положительны, а побочные коэффициенты rik (i ≠ k) могут иметь любой знак; в частности, они могут оказаться нулевыми.

ãäå Mp0 – эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки (рисунок 9.15, á), построенная в любой системе, не содержащей i-ой дополнительной связи (как правило, в статически определимой, образованной из заданной отбрасыванием лишних связей).

9.4.3 Проверка правильности вычисления реакций. Формулы (9.5), (9.6) позволяют выполнить проверку правильности вычисления единичных и грузовых реакций.

Ïðåäâарительно необходимо построить суммарную единичную эпюру MΣ , сложив все единичные эпюры в основной системе:

Универсальная проверка. Результат умножения суммарной единичной эпюры (9.7) самой на себя должен быть равен алгебраической сумме всех единичных реакций. Докажем это:

Постолбцовая проверка. Правильность определения свободных членов канонических óравнений – грузовых реакций – проверяют, умножая эпюру MΣ на эпюру Mp0 от внешней нагрузки, построенную в статически определимой системе:

Заметим, что проверки (9.7)–(9.9) служат лишь подтверждением правильности произведенных вычислений, но никак не удостоверяют правильность построения единичных и грузовых эпюр в основной системе.

9.5Определение внутренних усилий и их проверка. Алгоритм расчета рам методом перемещений

9.5.1Определение изгибающих моментов. Нам уже приходилось находить изгибающие моменты в основной системе, которая эквивалентна заданной, от отдельных частных воздействий – единичных перемещений дополнительных связей и заданной нагрузки. Поэтому достаточно на основании принципа суперпозиции «собрать» результаты отдельных частных расчетов.

Таким образом, значения изгибающих моментов в заданной системе получаются по зависимости:

k=1

ãäå Mk , Mp – изгибающие моменты в основной системе от единичного перемещения k-ой дополнительной связи и от внешней нагрузки соответственно.

Изгибающие моменты в заданной системе, вычисленные по формуле (9.10), часто называют окончательными. В отличие от них, моменты, найденные ранее в основной системе, считаются промежуточными или вспомогательными. Единичные эпюры, умноженные на соответствующие значения Z1, Z2 , . . . , Zn , иногда называют «исправленными» эпюрами.

9.5.2Определение поперечных и продольных сил. При расче- те рам и балок поперечные силы Q вычисляют по значениям изгибающих моментов M, а продольные силы N – по значениям поперечных сил. Методика расчета была изложена в разделе 7.

9.5.3Проверки правильности определения внутренних усилий. В методе сил проверкой правильности определения внутренних сил было соблюдение условий совместности деформаций в заданной системе (деформационная, èëè кинематическая провер-

êà). В методе перемещений, напротив, эти условия автоматически выполняются при любых перемещениях узлов Z1, Z2 , . . . , Zn . Критерием правильности решения задачи является, очевидно, то, что внутренние усилия, вычисленные по данным перемещениям, удовлетворяют и всем условиям равновесия системы (статиче- ская проверка).

Фактически надо убедиться, что в условно введенных связях основной системы полные реакции равны нулю, т. е.

R1 = 0 ; R2 = 0 ; ...; Rn = 0 .

Для этого надо вырезать узлы и части конструкции и проверить, находятся ли они в равновесии под действием только внутренних усилий, приложенных в местах разрезов.

Такая проверка является надежной, так как в основной системе единичные и грузовая эпюры удовлетворяют условиям равновесия только совместно с реакциями связей. Заметим, что в методе сил условия равновесия выполняются для каждой единичной и грузовой эпюры и поэтому не обеспечивают проверку правильности решения.

Проверка эпюры изгибающих моментов вычислением реакций связей. В п. 9.4.2 была получена формула (9.6) для определения реакции i-îé дополнительной связи, предполагающая перемноже-

iè Mp0 . Здесь под Mp0 понимается эпюра от нагрузки

âлюбой системе, не содержащей i-ой дополнительной связи. То есть, можно взять заданную статически неопределимую систему,

âкоторой построена эпюра M от нагрузки. Тогда

Rip = −S∫MEJiMds . Суммируя все грузовые реакции, получим

Условие (9.11) является необходимым и при верно построенных исходных единичных и грузовой эпюрах достаточным условием правильности эпюры M.

9.5.4 Порядок расчета рам методом перемещений. Расчет статически неопределимых рам, а также балок, работающих на изгиб, удобно вести в следующем порядке:

1)вычисление степени кинематической неопределимости nê;

2)формирование основной системы;

3)составление системы канонических уравнений;

4)построение единичных и грузовой эпюр в основной системе;

5)вычисление единичных и грузовых реакций и их проверка;

6)решение системы канонических уравнений;

7)построение эпюры изгибающих моментов Ì и ее проверки;

8)построение эпюры поперечных сил Q (по готовой эпюре Ì);

9)построение эпюры продольных сил N (по готовой эпюре Q);

10)статическая проверка равновесия рамы в целом.

Для простых рам и балок некоторые проверки расчета допускается не делать.

10 Смешанный метод расчета ста− тически неопределимых систем

10.1Выбор метода расчета статически неопределимой системы

10.1.1Сравнительный анализ метода сил и метода перемещений. Метод сил и метод перемещений – два основных метода определения внутренних усилий в статически неопределимых системах. В них можно выделить качественно одинаковые этапы.

Установление количества неизвестных – степени статической

неопределимости в методе сил и степени кинематической неопределимости в методе перемещений по трудоемкости практически одинаковы.

Оба метода предполагают использование основной системы. В методе сил основную систему принимают в основном статически определимой путем удаления лишних связей. При этом для одной и той же системы можно предложить множество вариантов основной системы, удовлетворяющих всем необходимым требованиям. Поэтому выбор рациональной основной системы – одна из задач, решаемых при расчетах методом сил.

В расчетах методом перемещений основную систему формируют путем введения дополнительных связей, что повышает степень статической неопределимости, однако делает конструкцию кинематически определимой. Преимущество в том, что основная система практически единственная. Для многих рамных каркасов она позволяет получить неполные канонические уравнения и тем самым упростить расчет.

Канонические уравнения метода сил и метода перемещений по структуре одинаковые. Отличие лишь в физическом смысле этих уравнений и входящих в них величин. При большом числе неизвестных канонические уравнения метода перемещений неполные.

Âметоде сил этого надо добиваться специальными приемами.

Âобоих методах в основной системе строятся единичные и грузовая эпюры внутренних усилий. При расчете рам и балок,

как правило, ограничиваются эпюрами изгибающих моментов. В методе перемещений их построить проще, так как можно использовать табличные решения.

Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений в методе перемещений из уравнений статики определить проще, чем аналогичные величины перемножением эпюр в методе сил.

Приемы построения окончательных эпюр внутренних усилий в обоих методах идентичны.

Анализируя вычислительные операции обоих методов при расчете рам, можно отметить, что в методе перемещений они несколько проще, чем в методе сил. Таким образом, метод перемещений обладает преимуществами перед методом сил.

10.1.2Выбор метода расчета стержневой системы. Естественно, возникает вопрос, какой метод удобнее использовать для рас- чета данной конструкции. Как правило, предпочтение отдают ме-

тоду с меньшим количеством неизвестных: если nñ < nê, используют метод сил, если nñ > nê – метод перемещений. При равном количестве неизвестных (nñ = nê) выбирают метод перемещений.

Однако метод перемещений удобен не для всех стержневых систем. Этот метод становится весьма сложным и утрачивает свои преимущества, если расчет ведется с учетом деформаций стержней от поперечных и продольных сил. Метод сил в этом случае осложняется гораздо меньше.

Например, для шарнирных ферм число неизвестных по методу перемещений всегда больше, чем по методу сил. Если система содержит криволинейные или другие нестандартные элементы, не рассмотренные в таблицах, построение эпюр в основной системе метода перемещений резко усложняется. Для этого в том или ином виде необходимо использовать метод сил. Поэтому для арок, где учитываются моменты, поперечные и продольные силы M, Q, N, также удобен метод сил.

Таким образом, выбор метода расчета определяется прежде всего числом основных неизвестных и применимостью того или иного метода к расчету стержневой системы данного типа.

Если же система в одной своей части удобна для расчета по методу сил, а в другой – по методу перемещений? Нельзя ли использовать сразу оба метода для уменьшения числа основных неизвестных? Это оказывается возможным при использовании смешанного или комбинированного метода.

10.2Смешанный метод

10.2.1Основная система. В одной части конструкции основная система смешанного метода образуется устранением связей, как в методе сил, в другой части – введением связей, как в методе перемещений. Соответственно, основными неизвестными являются реакции отброшенных связей, а также угловые и линейные перемещения узлов.

Рассмотрим статически неопределимую раму (рисунок 10.1, à), которая в левой части содержит мало лишних связей, но каждый

ее узел может смещаться линейно и поворачиваться. В правой части рама имеет много связей, но обладает малой подвижностью узлов.

Подсчитаем степень статической и кинематической неопределимости:

nñ = 3Ê – Ø = 3 3 – 1 = 8; nê = nó + në = 6 + 3 = 9.

Основные системы метода сил и метода перемещений показаны на рисунке 10.1, á, â. Они довольно сложные для расчета изза большого количества неизвестных.

Рисунок 10.1

Если же левую часть рассчитывать методом сил, правую – методом перемещений, количество неизвестных будет значительно меньшим:

n = nñëåâ. + nêïðàâ. = 2 + 2 = 4 ,