StrMech-КРАТКО_2011_часть_2

и в том же направлении от действия соответствующей единичной силы, т. е.

ãäå δki – перемещение в основной системе по направлению усилия Xk, вызванное действием единичного усилия, приложенного в направлении Xi.

Часто для краткости δki называют пåремещением пî направлению усилия Xk, вызванным усилием Xi =1 . Усилие Xi =1 приложено в той же точке и в том же направлении, что и Xi.

В дальнейшем перемещения от единичных нагрузок будем обозначать малой буквой δ и называть единичными перемещениями; перемещения от произвольных сил и моментов – обозна- чать и называть грузовыми перемещеíèÿìè. Состояние основной системы, в котором на нее действует Xi =1 , будем называть единичным состоянием «i»; при действии внешней нагрузки – грузовым состоянием «p».

С учетом (7.6) уравнения (7.5) записываются в форме:

Уравнения (7.7) называются каноническими уравнениями метода сил (для дважды статически неопределимой системы). Смысл входящих в них перемещений δ11, δ12, 1p è δ21, δ22, 2p ясен из рисунка 7.9.

Рисунок 7.9

Канонические уравнения для n раз статически неопределимой конструкции

. . .

. . .

δn1X1 + δn2X2 + . . . + δni Xi + . . . + δnn Xn + np = 0.

Уравнения (7.8) образуют систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных усилий X1, X2, . . . , Xn . Здесь единичные перемещения δki (k, i = 1, 2, ..., n) представляют собой коэффициенты этой системы. Коэффициенты с одинаковыми индексами (δ11, δ22, ..., δnn), расположенные на главной диагонали, называются главными, остальные – побочными. Грузовые перемещения kp являются свободными членами СЛАУ.

Канонические уравнения имеют ясный физический смысл; по сути, это уравнения совместности деформаций. Произвольное k-е уравнение обозначает, что перемещение в основной системе по направлению k-й отброшенной связи равно нулю.

7.4Вычисление и проверка коэффициентов

исвободных членов канонических уравнений

Весьма существенно отметить, что в проделанном в п. 7.3 выводе совершенно не обусловливается то, каким образом возникают единичные и грузовые перемещения δki, kp. Хотя мы и рассматривали раму, работающую на изгиб, все сказанное может быть отнесено к любой стержневой системе, работающей на рас- тяжение–сжатие, кручение и изгиб или на то, другое и третье совместно.

7.4.1 Определение единичных и грузовых перемещений для различных стержневых систем. Для вычисления коэффициентов и свободных членов канонических уравнений в произвольной плоской стержневой системе используют формулу Мора (6.5) в следующих модификациях:

ãäå Mk , Qk , Nk – внутренние усилия в основной системе в единич- ном состоянии «k» (от единичного усилия, приложенного в направлении Xk); Mp , Qp , Np – внутренние усилия в основной системе в грузовом состоянии (от заданной нагрузки); EJ, GA, EA – жесткости при работе на изгиб, сдвиг и растяжение-сжатие соответственно; η – коэффициент, зависящий от формы сечения и

учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по сечению при изгибе; индексы k, i = 1, 2, …, n. Интегрирование производится по длине оси S стержневой системы.

В плоских рамах и балках, работающих преимущественно на изгиб, при вычислении перемещений достаточно учитывать только изгибающие моменты. Поэтому вместо (7.9) используют более простые формулы

Каждый из интегралов в формулах (7.9), (7.10) может быть вычислен одним из способов «перемножения эпюр» (Верещагина, Симпсона, перемножения трапеций), рассмотренных в п. 6.4 (естественно, если это допускает сама стержневая система, с учетом ограничений, пределов применимости указанных способов).

Проанализировав первые из формул (7.9)–(7.10), еще раз отметим взаимность единичных перемещений δki = δik. Кроме этого, из формул (7.9)–(7.10) следует, что главные коэффициенты δkk всегда положительны, а побочные коэффициенты δki (k ≠ i) и свободные члены kp могут иметь любой знак; в частности, они могут оказаться нулевыми.

Заметим, что при удачном выборе основной системы многие (а иногда и все) побочные коэффициенты обращаются в нуль, что значительно упрощает решение канонических уравнений.

7.4.2 Проверка правильности вычисления перемещений. Процедура вычисления коэффициентов и свободных членов канони- ческих уравнений по формулам (7.9)–(7.10) является достаточно трудоемким процессом, в котором возможно появление ошибок, особенно при «ручном счете». Поэтому перед решением уравнений необходимо произвести проверку их правильности.

Имеется три проверки: построчная, универсальная и постолбцовая. Рассмотрим сначала, как выполняется каждая из них для плоских рам и балок, в которых при расчете перемещений учитывались только изгибающие моменты.

Предварительно необходимо построить суммарную единичную эпюру моментов в основной системе, представляющую собой алгебраическую сумму построенных ранее единичных эпюр:

Универсальная проверка. Результат умножения суммарной единичной эпюры (7.11) самой на себя должен быть равен алгебраической сумме всех единичных перемещений:

Постолбцовая проверка. Правильность определения свободных членов канонических урàâнений – грузовых перемещений – проверяют, умножая эпюру MΣ на грузовую эпюру моментов в основной системе Mp :

Для стержневых систем, предполагающих при расчете перемещений учет не только изгибающих моментов, но и других силовых факторов (поперечных, продольных сил, крутящих моментов), соответствующие факторы учитываются и в проверках.

7.5Определение внутренних усилий в заданной статически неопределимой системе

7.5.1Способы определения внутренних усилий в заданной системе. Заключительным этапом расчета статически неопределимой системы является определение внутренних сил и моментов и построение эпюр. Это можно сделать двумя способами.

грузка к статически определимой основной системе, и эта система рассчитывается с помощью уравнений равновесия (методами, известными из курса сопротивления материалов). Этот способ применяется в основном для простейших статически неопределимых балок и рам.

Способ 2. Нам уже приходилось рассчитывать эквивалентную заданной основную систему на отдельные частные воздействия – единичные усилия, приложенные по направлениям каждого из X1, X2, . . . , Xn , и заданную нагрузку. Поэтому нет необходимости заново вычислять в ней внутренние усилия. Достаточно на основании принципа суперпозиции «собрать» результаты отдельных частных расчетов.

Таким образом, в плоской стержневой системе значения внутренних усилий M, Q, N могут быть найдены по зависимостям:

ãäå Mk , Qk , Nk – внутренние усилия в основной системе от еди- íèчного силового фактора, приложенного в направлении Xk (îò Xk =1 ); Mp , Qp , Np – внутренние усилия в основной системе от внешней нагрузки.

Внутренние силы и моменты в заданной системе, вычисленные по формулам (7.14), часто называют окончательными. В отличие от них, все усилия, найденные ранее в основной системе и использованные при определении M, Q, N, считаются промежуточными или вспомогательными.

7.5.2 Особенности определения Q è N в плоских рамах и балках. Заметим, что при расчете плоских рам и балок поперечные и продольные силы неудобно находить по зависимостям (7.14), так как в каждîì единичном и грузовом состояниях не определялись усилия Qk , Nk è Qp , Np . Для этих конструкций удобно использовать следующие приемы.

Поперечные силы Q могут быть найдены по значениям изгибающих моментов M. Если эпюра M на участке стержневой системы прямолинейна, удобно пользоваться дифференциальной зависимостью при изгибе

Q = dMdz .

По этой зависимости, поперечная сила равна тангенсу угла наклона прямолинейной эпюры моментов. Правило знаков следующее: сила Q считается положительной, если для совмещения оси стержня с эпюрой Ì ось необходимо вращать по часовой стрелке (рисунок 7.10).

Рисунок 7.10

Если эпюра M на участке непрямолинейна, поперечную силу удобно находить, вырезая участок и составляя для него уравнения равновесия.

Пусть, например, для рамы построена эпюра изгибающих моментов (рисунок 7.11, à). Чтобы найти поперечные силы на уча- стке ÀÂ, вырежем его и приложим к сечениям известные моменты и пока неизвестные силы (рисунок 7.11, á).

Моменты направляем так, как следует из эпюры изгибающих моментов Ì: эпюра построена на растянутых волокнах, значит, в сечениях À è Â растянуты верхние волокна. Поперечные силы считаем положительными, т. е. они вращают рассматриваемый участок по часовой стрелке.

Рисунок 7.11

Составим уравнения моментов относительно точек À è Â

∑MB = MA − MB + ql2 /2 − QAl = 0 ;

∑MA = MA − MB − ql2 /2 − QBl = 0 ,

íîê 7.11, á). В сечении с абсциссой где Q = 0, изгибающий момент экстремален. Чтобы его найти, вырезаем участок длиной z0 (рисунок 7.11, â), из уравнения проекций на вертикальную ось QA −qz0 = 0 определяем z0 = QA / q . Экстремальный момент находим из уравнения

∑MA = 0 ; Mextr = −MA +qz02 /2.

Продольные силы N могут быть найдены по значениям поперечных сил Q. Для этого необходимо отсечь отдельные стержни или вырезать узлы рамы, составить уравнения проекций на оси координат, из которых выразить искомые усилия.

7.6Проверка правильности определения внутренних усилий. Алгоритм расчета рам методом сил

7.6.1Кинематическая (деформационная) проверка правильности определения внутренних усилий. Рассмотрим основные способы проверки внутренних усилий M, Q, N, найденных в различных стержневых системах методом сил.

Если расчет был произведен с учетом влияния на перемещения только изгибающих моментов (в плоских рамах и бал - ках), то эпюру M необходимо проверить до построения по ней

эпюры ïоперечных сил. Умножим ее на суммарную единичную эпюру MΣ :

Смысл соотношения (7.16) – отсутствие перемещений по направлениям всех отброшенных лишних связей, т. е. эквивалентность деформированного состояния заданной и основной систем. В связи с этим данная проверка называется кинематической èëè деформационной.

Расчет статически неопределимой системы может быть произведен с использованием любой основной системы. Ïоэтому, чтобы выявить возможные ошибки суммарной эпюры MΣ , и, следовательно, окончательной M, кинематическую проверку желательно проводить на другом варианте основной системы:

ãäå MΣ* – суммарная единичная эпюра изгибающих моментов, построенная для другого варианта основной системы (чем тот, который был использован в расчете).

В произвольных плоских стержневых системах, если расчет был проведен с учетом влияния M, Q, N на перемещения, то в формулы вариантов кинематической проверки вводятся все эти силовые факторы.

Заметим, что именно кинематической (деформационной) проверкой устанавливается правильность найденных неизвестных усилий Xi, и поэтому в методе сил она является основной.

7.6.2 Статическая проверка правильности определения внутренних усилий. Вырезаются узлы и произвольные части конструкции, в местах разрезов к ним прикладываются внутренние усилия, взятые из построенных эпюр M, Q, N, и составляются уравнения равновесия.

Рассмотрим основные разновидности статических проверок, которые выполняются при расчете плоских рам и балок.

Статическая проверка эпюры изгибающих моментов. Вырезаются жесткие узлы конструкции, которые должны находиться в равновесии под действием приложенных изгибающих моментов; для них суммы моментов должны равняться нулю:

∑Móçëà = 0 .

Заметим, что в отличие от кинематической статическая проверка эпюры M является необходимой, но не достаточной.

Статическая проверка эпюр поперечных и продольных сил. Заданная система отсекается от всех опорных закреплений, в местах разрезов к ней прикладываются внутренние усилия, взятые из эпюр M, Q, N. Под воздействием этих усилий и внешней нагрузки заданная система должна находиться в равновесии, т. е. суммы проекций всех сил на любые две взаимно перпендикулярные оси y, z, а также сумма моментов относительно любой точки (обозначенной, например, K) должны быть равна нулю:

∑Y = 0 ; ∑Z = 0; ∑MK = 0 .

При выборе моментной точки стараются, чтобы в уравнение моментов вошло как можно больше подлежащих проверке внутренних усилий.

7.6.3 Порядок расчета рам методом сил. Расчет статически неопределимых рам, а также балок, работающих на изгиб, удобно вести в следующем порядке:

1)вычисление степени статической неопределимости nc;

2)анализ вариантов и выбор основной системы;

3)составление системы канонических уравнений;

4)построение единичных и грузовой эпюр изгибающих моментов в основной системе;

5)вычисление единичных и грузовых перемещений;

6)проверка правильности вычисления перемещений;

7)решение системы канонических уравнений;

8)построение окончательной эпюры изгибающих моментов Ì;

9)проверки эпюры Ì (статическая и кинематическая);

10)построение эпюры поперечных сил Q (по готовой эпюре Ì);

11)построение эпюры продольных сил N (по готовой эпюре Q);

12)статическая проверка равновесия рамы в целом.

Для простых рам и балок некоторые проверки расчета допускается не делать.

Применение метода сил к расчету 8 статически неопределимых

арок, ферм и неразрезных балок

8.1Статически неопределимые арки и методы их расчета

8.1.1Типы статически неопределимых арок. В практике строительства наиболее часто применяются двухшарнирная è бесшарнирная арки. Первая из них один раз статически неопре-

делима, так как содержит одну лишнюю связь (nc = 1), вторая – три раза (nc = 3). Замкнутые кривые стержни (кольца), если в них нет шарниров, также трижды статически неопределимы. Одношарнирные арки, дважды статически неопределимые (nc = 2), на практике используются редко (рисунок 8.1).

Рисунок 8.1

Арки являются распорными конструкциями, т. е. под воздействием вертикальных нагрузок в их опорах возникают и вертикальные, и горизонтальные реакции (распор).

Если опорные устройства или нижележащие элементы неспособны воспринимать распор, в арках устраиваются затяжки. Обычно затяжки выполняются в двухшарнирных арках (рисунок 8.2). Арка с затяжкой имеет балочные опоры и передает на опорные конструкции от вертикальной нагрузки только вертикальные реакции и может быть установлена на высокие колонны или стены без устройства контрфорсов.

Уравнение оси статически неопределимой двухшарнирной или бесшарнирной арки может быть принято таким же, как и для трехшарнирной системы.

Рисунок 8.2

8.1.2Особенности расчета статически неопределимых арок.

Âарках внутренние усилия (M, Q, N) и перемещения зависит не только от внешней нагрузки, но и от формы оси, а в статически неопределимых арках – еще и от геометрических характеристик поперечных сечений (площадей A и моментов инерции J). Поэтому задача расчета статически неопределимой арки обычно ре-

шается следующим образом:

назначают материал, очертание оси, форму и размеры поперечных сечений – интуитивно, а также пользуясь результатами расчета аналогичных сооружений;

находят внутренние усилия и перемещения;

проверяют прочность и жесткость арки;

если условия прочности или жесткости не выполняются, или наоборот, запас прочности слишком велик, расчет повторяют, уточнив размеры сечений.

Для определения внутренних усилий в статически неопределимых арках наиболее удобен метод сил.

Заметим, что при вычислении коэффициентов канонических уравнений (единичных и грузовых перемещений) необходимо учитывать не только изгибающие моменты, но также продольные и поперечные силы. Для пологих строительных арок с отношением ρ/h > 10 (ρ – радиус кривизны оси арки, h – высота попереч- ного сечения) с достаточной степенью точности перемещения можно определять по формуле (6.5), полученной для прямолинейных элементов.

Заметим, что сравнительное влияние N è Q на перемещения зависит не только от геометрических параметров арки, но и от нагрузки. Для бесшарнирных арок «вклад» этих усилий обычно больше, чем для двухшарнирных.

Как правило, арка представляет собой основную часть дорогого и ответственного сооружения, поэтому при определении перемещений не следует игнорировать отдельные внутренние силы. Однако в учебных и предварительных расчетах допускается пренебрегать влиянием на перемещения поперечных, а в некоторых случаях и продольных сил.

Интегралы Мора, входящие в формулу (6.5), вычисляют приближенно, используя численные методы. Способы «перемножения эпюр» неприменимы, так как все эпюры внутренних усилий в арках криволинейны. В виде исключения можно разбить ось арки на малые участки, в пределах которых и ось, и эпюры счи- тать прямолинейными; «перемножить» эпюры для каждого уча- стка, а результаты просуммировать.