6. Операторные модели систем (частотные, преобразование Лапласа, z-преобразование).
Операторные
модели систем (частотные,
преобразование Лапласа, Z-преобразование).
Преобразова́ние
Лапла́са —
интегральное преобразование, связывающее
функцию 
комплексного
переменного (изображение)
с функцией 
вещественного
переменного (оригинал).
С его помощью исследуются свойства динамических
систем и
решаются дифференциальные и интегральные
уравнения.
Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.
Z-преобразованием (преобразованием Лорана)
называют свёртывание исходного сигнала,
заданного последовательностью вещественных
чисел во
временно́й области, в аналитическую
функцию комплексной частоты.
Если сигнал представляет импульсную
характеристику линейной
системы,
то коэффициенты Z-преобразования
показывают отклик системы на комплексные
экспоненты 
,
то есть на гармонические осцилляции с
различными частотами и скоростями
нарастания/затухания.
7. Свойства преобразования Лапласа.
В
приводимых ниже формулах 
и 
являются
преобразованиями Лапласа от
функций 
и 
соответственно.
1. Линейность.
.
2. Теорема
подобия.
.
3. Дифференцирование
оригинала.
.
Именно
это свойство и обеспечило такую
популярность преобразованию Лапласа:
оно операцию
дифференцирования оригинала 
заменяет
операцией
умножения изображения
на p.
Это, конечно, сильно упрощает решение
задач, где есть производные.
4. Дифференцирование
изображения.
.
5. Интегрирование
оригинала.
.
Наряду
со свойством 3, это свойство является
основным для приложений преобразования
Лапласа, так как оно заменяет
сложную операциюинтегрирования оригинала операцией деления изображения
на p.
6. Интегрирование
изображения.
.
7. Теорема
запаздывания.
.
8. Теорема
смещения.
.
9. Теорема
умножения.
.
Комбинация 
называется сверткой функций 
и 
и
обозначают
символом 
.
Эта операция также встречается очень
часто при решении прикладных задач, и
преобразование Лапласа позволяет
заменить операцию
свертки двух
оригиналов операцией
умножения их
изображений.
8. Математические модели линейных динамических систем в виде передаточных
функций (ПФ), запись математических моделей технических систем в виде ПФ, связь ПФ с системами ОДУ.
Передаточная
функция —
один из способов математического описания динамической
системы.
Используется в основном в теории
управления,
связи, цифровой
обработке сигналов.
Представляет собой дифференциальный
оператор, выражающий связь между входом
и выходом линейной
стационарной системы.
Зная входной сигнал системы и передаточную
функцию, можно восстановить выходной
сигнал. В теории управления передаточная
функция непрерывной системы представляет
собой отношение преобразования
Лапласа выходного
сигнала к преобразованию Лапласа
входного сигнала при нулевых начальных
условиях.
Свойства передаточной
функции
1. Для стационарных объектов
с сосредоточенными параметрами
передаточная функция — это
дробно-рациональная функция комплексной
переменной (s)
2.
Знаменатель передаточной функции —
это характеристический полином системы.
Полюсы передаточной функции — это корни
соответствующего характеристического
полинома.
3. В физически реализуемых
системах порядок числителя передаточной
функции не может превышать порядка её
знаменателя .
4. Импульсная переходная
функция представляет собой оригинал
(преобразования Лапласа) для передаточной
функции.