Вопрос 9.5Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы.

Кинетическая энергия материальной системы, состоящей из nточек, определяется в результате суммирования их кинетических энергий:

.

Поскольку при поступательном движении скорости всех точек одинаковы, то кинетическая энергия поступательно движущегося твердого тела равна половине произведения массы тела mна квадрат скоростиv любой его точки:

.

При вращательном движении кинетическую энергию тела можно рассчитать по формуле

,

где J_z– момент инерции тела относительно оси вращения;

 – угловая скорость.

Плоскопараллельное движение можно представить как комбинацию поступательного движения вместе с центром масс и вращения вокруг центра масс. Поэтому кинетическую энергию плоскопараллельно движущегося тела можно записать в виде

,

где v_C– скорость центра масс тела;

J_C– момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.

При качении колеса без проскальзывания по неподвижной поверхности мгновенный центр скоростей колеса находится в точке контакта с поверхностью. К этой точке приложены сила сцепления (направленная по касательной к поверхности) и нормальная реакция(направленная перпендикулярно поверхности). Поскольку МЦС – точка, неподвижная в данный момент времени, то работы сил, приложенных к ней, равны нулю:

.

Кинетическая энергия системы, состоящей из нескольких тел, определяется суммированием их кинетических энергий:

.

Для материальной системы справедлива теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии материальной системы на перемещении из начального положения в конечное равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на эту систему,

,

где – кинетическая энергия системы в начальном и конечном поло-

жениях соответственно;

– суммы работ внешних сил и моментов;

– суммы работ внутренних сил и моментов.

Сумма работ внутренних сил не равна нулю, если в процессе движения системы изменяются расстояния между ее взаимодействующими точками. Следовательно, сумма работ внутренних сил, действующих в твердом теле равна нулю. Сумма работ внутренних сил также равна нулю в системе, состоящей из твердых тел и нерастяжимых связей.

На материальную систему может действовать пара сил с моментом M(на материальную точку пара сил действовать не может). Работа пары сил с постоянным моментом действующих на твердое тело, при повороте тела на угол

.

Лекция 10 Основы аналитической механики.

(2 часа, 2 семестр, 2 курс)

Вопрос 10.1 Принцип возможных перемещений

Возможными, или виртуальными, называют воображаемые бесконечно малые перемещения системы, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями и не изменяющие действие связей. Число независимых возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы.Возможное перемещение точки обозначается символом, бесконечно малое действительное перемещение точки – символом. Возможное перемещение– это перемещение, которое точкаможетсовершитьв данный момент времени, а действительное перемещение – это перемещение, котороесовершает точказа элементарный промежуток времени dt.

Возможное перемещение материальной точки, находящейся на поверхности, направлено по касательной к поверхности. Возможные перемещения всех точек поступательно движущегося тела одинаковы.

Возможным перемещением вращательно движущегося тела является поворот на бесконечно малый угол вокруг оси вращения (рисунок 10.1). При этом возможное перемещение точки вращающегося тела направлено перпендикулярно отрезкуh, соединяющему данную точку с осью вращения,

.

Если тело движется плоско, то его возможное перемещение представляет собой поворот на уголвокруг оси, проходящей через мгновенный центр перемещений (МЦП). Положение МЦП тела совпадает с положением мгновенного центра скоростей.

При определении работы сил на элементарном перемещении силы принимаются постоянными. Поэтому работа Aсилына возможном перемещении точкиприложения данной силы определяется как скалярное произведение:

Рисунок 10.1

,

где _i– угол между векторамии.

Если сила приложена к телу, совершающему поворот на бесконечно малый уголвокруг точкиO, то работу такой силы можно определить по формуле

,

где – момент силыотносительно точкиO. Если моментпротивоположен направлению возможного вращения, то работа силыотрицательна.

Если сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю, то такие связи называют идеальными. К идеальным относятся следующие связи: 1) гладкая поверхность; 2) шероховатая поверхность при качении тела без проскальзывания; 3) упругая нить; 4) невесомый стержень; 5) цилиндрический и сферический шарниры; 6) жесткая заделка. При наличии скольжения связь типа шероховатая поверхность не является идеальной, так как работа силы трения при возможном перемещении не равна нулю.

Принцип возможных перемещений формулируется следующим образом: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю:

,

где – элементарная работаi-й активной силы на возможном перемещении точки ее приложения.