Вопрос 7.4 Работа силы

Работа силыхарактеризует действие силы на тело в зависимости от перемещения точки приложения силы. Различают элементарную работу силыи работу силы на конечном перемещении.Элементарной работой силыназывают скалярное произведение вида

.

Здесь – вектор элементарного перемещения точки приложения силы, направленный по касательной к траектории точки. В соответствии с определением скалярного произведения для определения элементарной работы силы можно записать следующее выражение:

.

Здесь F_– проекция силына ось, касательную к траектории точки ее приложения.Работа силы на конечном перемещенииполучается в результате интегрирования

,

где s₀,s₁– дуговая координата начального и конечного положений точки соответственно.

Рассмотрим некоторые случаи определения работ сил.

Постоянная сила.Если на материальную точку действует постоянная по модулю и направлению сила, то работа такой силы на конечном перемещении определятся следующим образом:

,

где s– значение перемещения;– угол между вектором силы и направлением перемещения;

Сила тяжести.При перемещении материальной точки из начального в конечное положение работа силы тяжестиопределяется как

Здесь h₀,h₁– вертикальная координата начального и конечного положений точки соответственно; Δh– разница высот начального и конечного положений точки;

Сила упругости.Если при движении точки на нее действует сила упругости пружины с коэффициентом жесткостиc, то работа этой силы

,

где l₀,l₁– деформация пружины в начальном и конечном положениях материальной точки соответственно.

Области применения теорем динамики материальной точки

1 Теорема об изменении количества движенияиспользуется в том случае, если в число данных или искомых величин задачи входит время движения материальной точки между начальным и конечным положениями. При этом силы, действующие на точку, должны быть постоянными или зависеть только от времени. При решении задач формулировку теоремы записывают в проекциях на оси координат.

2 Теорема об изменении момента количества движения материальной точки позволяет упростить решение задач в случае движения точки под действиемцентральной силы. Центральной называют силу, линия действия которой все время проходит через данный центрO. Примером такой силы является сила притяжения.

3 Теорема об изменении кинетической энергиииспользуется в том случае, если в число исходных или искомых величин задачи входит перемещение точки из начального в конечное положение. Наиболее удобно использовать данную теорему при постоянных силах или силах, зависящих от перемещения точки.

Лекция 8 Колебания материальной точки.

(2 часа, 1 семестр, 2 курс)

Вопрос 8.1 Основные понятия теории механических колебаний.

Колебанием называют движение, при котором хотя бы одна из кинематических характеристик (координата, скорость, ускорение) попеременно возрастает и убывает со временем. Если значения кинематических характеристик движения точки повторяются через равные промежутки времени, то такое колебание называется периодическим. Периодические колебания, при которых кинематические характеристики движения изменяются по закону синуса или косинуса, называют гармоническими.

Колебания, происходящие вследствие однократного выведения точки из положения устойчивого равновесия, называются свободными. Колебания, происходящие неограниченно долго под действием периодической активной силы, называются вынужденными. Силы, действующие на колеблющуюся материальную точку, можно подразделить на три класса:

1 Упругая восстанавливающая сила. Силастремится вернуть точку в положение устойчивого равновесия. Модуль этой силы при малых отклоненияхx от положенияравновесия прямо пропорционален значениюx

,

где c– коэффициент пропорциональности, в частном случае – коэффициент жесткости пружины.

2 Сила вязкого сопротивления. В качестве этой силы в большинстве случаев выступает сила сопротивления среды. Векторнаправлен противоположно вектору скорости движения точки

,

где – коэффициент вязкого сопротивления. Точкой обозначена первая производная по времени.

3 Вынуждающая сила. Чаще всего принимают, что вынуждающая сила изменяется по синусоидальному закону

.

Здесь F₀,– амплитуда и частота вынуждающей силы соответственно.