[ MrO = 12 mghsin 2α nr.]

Рис. 3.18

4.2.2 Закон динамики вращательного движения твердого тела

Примеры решения задач

Задача 1 (уровень 2)

На барабан массой m0 = 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан

груз массой m = 2 кг. Найти ускорение a груза. Барабан считать однородным цилиндром. Трением в оси блока пренебречь.

178

нулю, т.к. эти силы приложены к оси вращения. Следовательно,

Тангенциальное ускорение aτ крайних точек цилин-

FH находим из уравнения (1) и подставляем в (6), из которого выражаем искомое ускорение:

Ответ: 3,02 (м/c)/

Задача 2 (уровень 2)

Маховик в виде диска с моментом инерции I = 150 кг м2 вращается вокруг горизонтальной оси, которая проходит через его центр с частотой n = 240 об/мин. Через промежуток времени t = 2 мин, после действия постоянной силы торможения маховик останавливается. Определить момент сил торможения M и число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки.

Дано: Решение:

179

В скалярном виде уравнение движения:

M = I 2πtn .

M = 150 6,28 4 = 62,8 (Н·м). 60

Число оборотов маховика

N = 2ϕπ ,

где ϕ — угол поворота.

При равнозамедленном вращении:

Ответ: M = 6,28 (Н м); N = 120.

Аудиторные задачи

Уровень 2

1. Два тела массами m1 = 0,8 кг и m2 = 1 кг соединены невесомыми нерастяжимыми нитями, перекинутыми через блок массой m0 = 0,2 кг.

Тело массой m1 лежит на наклонной плоскости с углом наклона α = 450 (рис. 3.20); коэффициент трения тела о поверхность наклонной плоскости

μ = 0, 25 .

Найти ускорения, с которыми движутся тела, и силы натяжения нитей. [1,51 м/см2; 8,3 Н; 8,15 Н.]

Рис. 3.20

180

Уровень 1

2. Шар массой m = 0,5 кг и радиусом 3,5 см вращается вокруг оси, про-

ходящей через его центр масс по закону: ϕ = 3t5 +8t + 2.Найти результирующий момент сил, действующий на тело в момент времени t = 4 с. [0,94 Н м.]

4.2.3 Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

Примеры решения задач

Задача 1 (уровень 1)

Материальная точка массой m = 400 г движется по окружности радиусом R = 18 см с линейной скоростью υ = 1,62 м/с. Найти момент инерции материальной точки относительно оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно к плоскости, в которой движется точка, и момент импульса относительно центра окружности.

Горизонтальная платформа в виде однородного диска вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр диска. На краю платформы стоит человек, масса m которого в три раза меньше массы М платформы. Опреде-

181

лить, во сколько раз изменится угловая скорость платформы, если человек перейдет от центра платформы на расстояние, равное половине радиуса платформы.

1. На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром D = 0,8 м и массой m1 = 6 кг стоит человек массой m2 = 60 кг. С какой угловой скоро-

стью ω начнет вращение скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой m = 0,5 кг? Траектория мяча — горизонтальная и проходит на расстоянии r = 0,4 м от оси скамьи. Скорость мяча υ = 5 м/с. [0,1 рад/с.]

182

2. Тело массой m = 0,1 кг бросили с начальной скоростью υ0 , обра-

зующей угол α с горизонтом. Найти момент импульса L тела относительно точки бросания для момента времени, когда тело находится в верхней точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

[ Lr = mυ30 cos α sin2 α ]. 2g

4.2.4 Кинетическая энергия вращательного движения. Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси.

Примеры решения задач

Задача 1 (уровень 1).

К ободу диска массой m = 10 кг приложена постоянная касательная сила F = 30 Н. Определить кинетическую энергию диска через t = 4c после начала действия силы.

183

Задача 2(уровень 2)

Шар массой m = 0,3 кг и радиусом r = 4см начинает вращаться относительно оси, проходящей через его центр масс, таким образом, что угловое

смещение ϕ меняется по закону ϕ = 4t4 +5 . Какую работу совершает результирующий момент внешних сил за промежуток времени от t1 = 3,0 с до t2 = 3,5 с?

Уровень 1

1.Человек катит цилиндр по горизонтальной поверхности со скоро-

стью 1,5 м/с. Найти расстояние, на которое может вскатиться этот цилиндр по инерции на горку с углом наклона α = 100. [S = 99,1 см].

2.Кинетическая энергия вала, вращающегося вокруг неподвижной оси

спостоянной скоростью, соответствующей частоте n = 5 об/c, Wk = 60 Дж.

Найти момент импульса вала. [L = 3,8 кг · м2/с.]

184

Уровень 2

3. Найти линейные скорости движения центров масс шара, диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости 0,5 м, начальная скорость всех тел равна нулю. Сравнить найденные скорости со скоростью тела, соскальзывающего с наклонной

4.3МАТЕРИАЛЫ К ЛАБОРАТОРНЫМ ЗАНЯТИЯМ

4.3.1Лабораторная работа

«Определение момента инерции твердого тела»

Основные понятия, определения, законы и формулы динамики вращательного движения твердого тела

1. Момент силы относительно точки О — величина, равная вектор-

ному произведению радиуса-вектора, проведенного из точки О в точку приложения силы, и вектора силы:

Mî = rr×F .

2. Момент силы относительно оси ZZ′ — это составляющая (или проекция) вдоль этой оси момента силы относительно любой точки оси:

M ZZ ′ =(MO )ZZ ′ .

3. Момент инерции материальной точки относительно оси ZZ′ —

это величина, равная произведению массы материальной точки и квадрата расстояния от точки до оси:

IZZ′ = mr2 .

4. Момент инерции тела относительно оси ZZ′ — это величина,

равная сумме моментов инерции материальных точек, составляющих тело, относительно этой оси:

185

5. Формула момента инерции однородного цилиндра (диска) массой m и радиусом R относительно оси, совпадающей с геометрической осью цилиндра:

IZZ ′ = 12 mR2 .

Формула момента инерции тонкого однородного стержня массой m , длиной l относительно оси, перпендикулярной оси стержня и проходящей через середину стержня:

IZZ ′ = 121 ml2 .

Формула момента инерции однородного шара массой m , радиусом R относительно оси, проходящей через центр шара:

IZZ ′ = 25 mR2 .

6. Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно некоторой оси IZZ′ равен сумме момента инерции этого тела относительно оси

CC′, параллельной оси ZZ′и проходящей через центр масс тела, плюс произведения массы тела m и квадрата расстояния a между указанными осями:

IZZ′ = ICC′ + ma2 .

7. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Угловое ускорение, с которым вращается твердое тело вокруг неподвижной оси, равно отношению векторной суммы моментов сил, действующих на тело, относительно оси вращения к моменту инерции этого тела относительно этой оси:

8.Момент импульса материальной точки относительно точки О

—это векторная величина, равная векторному произведению радиусавектора, проведенного из точки О в материальную точку, и вектора импульса материальной точки:

Lî = rr× pr.

186

9. Момент импульса материальной точки относительно оси ZZ′ —

это составляющая (проекция) вдоль этой оси момента импульса материальной точки относительно любой точки О, лежащей на оси:

LZZ ′ =(Lî )ZZ ′.

10. Момент импульса системы материальных точек относительно оси ZZ′ — величина, равная векторной сумме моментов импульса всех N материальных точек, составляющих систему, относительно этой оси:

rN

ZZ′ = ∑LZZ ′i .

i=1

11.Формула момента импульса твердого тела, вращающегося вокруг

неподвижной оси:

LZZ ′ = IZZ′ωr .

12. Закон сохранения момента импульса. Момент импульса замкну-

той системы материальных точек остается постоянным

N

∑LZZ ′′i = const .

i=1

13. Формула кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

Wk = IZZ2′ω2 .

Описание лабораторной работы

Момент инерции твердого тела можно определить аналитически, применяя для расчета известные формулы, и экспериментально, изучая вращение тела вокруг неподвижной оси. Рассмотрим один из способов экспериментального определения момента инерции твердого тела относительно закрепленной оси.

Определим момент инерции блока, представляющего собой однородный диск, относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс блока, наблюдая его вращение вокруг этой оси (рис 3.23). Если к концам нити, перекинутой через блок, подвесить грузы одинаковой массой m0 , то сис-

тема «блок–нить–грузы» будет неподвижной.

187

блоком. Поэтому момент последней силы относительно оси вращения (также как относительно центра блока О) равен:

где R − радиус блока.

Так как a1 = a0 = a , Fh0 = Fh′0, Fh1 = Fh′1 , то вместо системы уравнений

Ускорение a поступательного движения груза является тангенциальным ускорением точек обода блока и поэтому связано с угловым ускорением блока известным соотношением:

β= Ra .

Сдругой стороны, из формулы пути при равноускоренном движении величина a = t22l , где l — расстояние, которое прошел каждый груз за время

Если использовать перегрузки сначала массой m1, а потом массой m2 , то (при m1 + 2m0 ,m2 + 2m0 << Má , где Ì á − масса блока) момент сил трения на оси блока M òð можно считать постоянным. Но различие масс перегрузков

189

приведет к различным значениям моментов сил трения покоя между нитью и блоком и, следовательно, к различным угловым ускорениям β1,β2 в указан-

ных двух случаях. Поэтому на основании формулы (11) в случае перегрузка массой m1 будем иметь момент силы трения покоя между нитью и блоком

при этом согласно уравнению (3') указанные моменты сил удовлетворяют равенствам:

Из уравнений (16) и (17) можно определить момент инерции блока:

и момент сил трения на оси блока:

Величины I и M òð можно определить графически, построив график

функции β =β(M ) , который в соответствии с формулой (3) имеет вид прямой линии (рис. 3.24), уравнение которой —

β = 1I M − 1I M òð .

190

β

M

Задания

Iуровень

1.Измерить время t1 прохождения грузом массы m0 вместе с перегрузком массой m1 пути l . Опыт повторить 5 раз, результаты занести в табл. 3.2.

2.Повторить действия, отмеченные в пункте 1, для перегрузка массой m2 , измеряя таким образом t2 .

3.Для каждого из значений t1ñð и t2ñð вычислить β1 и β2 , M1 и M2 по формулам (12)−(14). Результаты вычислений занести в табл. 3.2.

4.По формулам (18), (19) рассчитать момент инерции блока I относительно оси вращения, величину момента сил трения на оси блока M òð . Ре-

зультаты вычислений занести в табл. 3.2.

IIуровень

1.Выполнить пункты 1−4 предыдущего задания.

2.Используя результаты вычислений, построить график зависимости

β=β(M ) по двум точкам — (M1,β1) и (M2 ,β2 ) .

3.По построенному графику определить (графически) значения вели-

чин I и M òð и сравнить их с соответствующими величинами, вычисленными по формулам.

4. Найти момент импульса блока в момент времени t1ср .

191

териальной точки относительно начала координат.

6. Тело имеет форму шара радиусом R =1 м. К одной из точек поверхности тела приложена сила величиной F = 200 Н в направлении:

7.Тело имеет форму прямого цилиндра радиусом 0,3 м и высотой 1 м.

Кбоковой поверхности тела приложена сила величиной 100 Н в направлении образующей цилиндра. Чему равен момент силы относительно оси симметрии цилиндра?

Момент инерции материальной точки, тела

1.Одна материальная точка массы m находится на расстоянии l от оси Z , другая материальная точка массы M находится на расстоянии L от той же оси. Записать выражение для момента инерции системы этих двух материальных точек относительно оси Z .

2.Материальная точка массой m = 0,3 кг находится в точке К с коор-

динатами (1, 2, 3). Вычислить момент инерции материальной точки относительно оси Z .

3. Материальная точка массы m = 0,2 кг находится на плоскости XY в

точке с координатами (15, 5). Вычислить момент инерции материальной точки относительно: 1) оси X ; 2) оси Y .

4. Записать выражение для момента инерции сплошного однородного цилиндра массой m , радиуса R , высоты h относительно оси, совпадающей с одной из образующих цилиндра.

5. Два шара, каждый из которых имеет массу m = 5 кг и радиус R = 2 м, составляют систему тел. Вычислить момент инерции этой системы относительно оси, соединяющей центры шаров.

6.Два бесконечно тонких стержня, каждый из которых имеет массу 3 кг и длину 2 м, образуют прямой равносторонний крест. Вычислить момент инерции креста относительно одного из стержней.

7.Два бесконечно тонких стержня, каждый из которых имеет массу 3 кг и длину 2 м, сложены в форме буквы «Т». Вычислить момент инерции этого тела относительно: 1) горизонтального стержня; 2) вертикального стержня.

193

Закон сохранения момента импульса.

Закон динамики вращательного движения твердого тела

1. Момент инерции тела относительно оси вращения равен 10 кг·м2.

Угловая скорость вращения тела зависит от времени по закону ω= 4t2 . Найти момент результирующей силы, действующей на тело, в момент времени

2 с.

2.К колесу массой 2 кг, радиусом 0,5 м приложена касательная сила 100 Н. Вычислить угловое ускорение колеса.

3.На цилиндр радиуса 0,1 м намотана проволока, за которую тянут в

касательном к цилиндру направлении с силой 20 Н. Цилиндр вращается вокруг собственной центральной оси с угловым ускорением 40 с-2. Вычислить массу цилиндра.

4.В каком случае момент импульса системы материальных точек остается с течением времени постоянным:

1)если на систему действуют только консервативные силы,

2)если система замкнута,

3)если внутренние силы системы консервативны,

4)если внешние силы системы консервативны?

5.Тело равномерно вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс. К центру масс тела приложена в перпендикулярном к оси направлении сила 200 Н. Чему равно угловое ускорение тела, вызванное действием этой силы?

6.Считая Землю однородным шаром массой 6×1024 кг, радиуса 6,4×106 м, вычислить момент импульса Земли, обязанный ее суточному вращению вокруг своей оси.

7.Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

сугловой скоростью 30 с-1, равна 60 Дж. Вычислить момент импульса тела.

Вопросы по выполнению лабораторной работы

1.Какие из перечисленных ниже величин измеряются в данной лабора-

7)m — масса груза?

3.К одному концу нити привязан груз массой 0,1 кг, к другому — 0,2 кг. Нить перекинута через блок, имеющий горизонтальную ось вращения.

194

Груз большей массы находится на левом конце нити. Как направлен результирующий момент сил, действующий на блок:

4.К нити, перекинутой через блок, привязаны грузы разной массы. Силы натяжения нити равны 100 Н и 450 Н, радиус блока 0,1 м. Трение на оси блока не учитывать. Найти результирующий момент сил относительно оси блока.

5.К двум концам нити, перекинутой через блок, привязаны грузы. Какова связь между ускорением грузов и угловым ускорением блока?

4.3.2.2 Контрольные вопросы для защиты лабораторной работы

Iуровень

1.Знать определения момента силы относительно точки, относительно оси; момента инерции материальной точки, тела; момента импульса материальной точки, системы материальных точек, вращающегося тела.

2.Знать формулировки закона сохранения импульса, закона динамики вращательного движения твердого тела. Записать уравнения движения грузов

иблока.

3.Как направлены моменты сил, действующих на блок?

II уровень

1.Исходя из закона динамики вращательного движения. Вывести рабочие формулы для вычисления моментов сил, действующих на блок, момента инерции блока, момента сил трения на оси блока.

2. Объяснить график зависимости β(M ) .

4.4 МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УПРАВЛЯЕМОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Задание № 1

Получить выражения для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, для работы момента силы (законспектировать).

Задание № 2

Составить таблицу соответствия физических величин, описывающих поступательное и вращательное движения твердого тела.

Задание № 3

Решить задачи индивидуального задания по теме «Динамика вращательного движения твердого тела» из следующего ряда задач.

195

Уровень 2.

1.8. Вывести формулу для момента инерции цилиндрической муфты относительно оси, совпадающей с ее осью симметрии. Масса муфты m ,

1.10. Тело массой m брошено с начальной скоростью υ0 , образующей угол α с горизонтом (рис.3.22). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимость от времениr момента M силы, действующей на тело относительно точки бросания. [ M = - m gν0 cosαt k .]

Рис 3.22

2 Закон динамики вращательного движения твердого тела

Уровень 1.

2.1.Стержень массой m = 200 г и длиной l = 10 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр масс по закону ϕ = 5 + 6t +18t2 . Найти ре-

зультирующий момент сил, действующий на тело в момент времени t = 0,2 с. [0,256 Н м.]

2.2.Однородный диск радиусом R = 0,2 м и массой m = 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости. За-

висимость угловой скорости ω вращения диска от времени t дается уравнением ω= A + Bt , где B = 8 рад/с2. Найти касательную силу, приложенную к ободу диска. Трением пренебречь. [4,0 Н.]

2.3.Маховик радиусом R =0,2 м и массой m = 10 кг соединен с мотором при помощи приводного ремня. Сила натяжение ремня, идущего без

197

скольжения, T = 14,7 Н. Какую частоту вращения n будет иметь маховик через время t = 10 с после начала движения? Маховик считать однородным диском. Трением пренебречь. [23,4 об/с.]

2.4. Маховик, момент инерции которого I = 63,6 кг · м2, вращается с угловой скоростью ω = 31,4 рад/с. Найти момент силы торможения М, под действием которого маховик останавливается через t = 20 с. Маховик считать однородным диском. [ Ì = 100 Н · м.]

2.5. Две гири с массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг соединены нитью, пере-

кинутой через блок массой m = 1 кг. Найти ускорение a , с которым движутся гири, и силы натяжения нитей T1 и T2 , к которым подвешены гири. Блок

считать однородным диском. [ a = 2,8 м/с2; T1 = 14,0 Н, T 2 = 12,6 Н.]

Уровень 2.

2.6. Два тела массами m1 = 0,3 кг и m2 = 0,3 кг соединены невесомой

нерастяжимой нитью, перекинутой через два блока одинакового радиуса массами по m0 = 0,2 кг каждый (рис. 3.33). Тело m2 лежит на наклонной

плоскости с углом наклона α = 30°, коэффициент трения тела о поверхность μ = 0,1. Найти ускорения, с которыми движутся тела, и силы натяжения нитей. Блоки считать однородными дисками. [1,52 м/с2; 2,5 Н; 2,34 Н; 2,18Н.]

2.7. Три тела массами m1 = 0,8 кг, m2 = 0,8 кг и m3 = 2,0 кг соединены

невесомыми нерастяжимыми нитями, перекинутыми через блоки массой m0 = 0,5 кг каждый с одинаковыми радиусами (рис. 3.34). Найти ускорение, с

которым движутся тела, и силы натяжения нитей. Блоки считать однородны-

ми дисками. [0,96 м/с2, 8,6 Н; 8,6 Н; 8,84 Н; 8,84 Н.]

2.8.На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 20 см, момент инерции которого I = 0,15 кг · м2, намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота h груза над полом составляла 2,3 м. Определить время опускания груза до пола и силу натяжения нити [2 с; 4,31Н.]

2.9.Цилиндрический однородный вал массой m = 80 кг и радиусом R = 4 см вращается с частотой n = 9 об/с. В момент t = 0 к поверхности вала

прижали тормозную колодку с силой F = 30 Н. Коэффициент трения колодки о вал μ = 0,31. Найти время, за которое вал останавливается. [9,72 с.]

198

2.10. Однородный цилиндр массой M и радиусом R вращается без трения вокруг горизонтальной оси под действием груза, прикрепленного к легкой нити, намотанной на цилиндр (рис.3.35). Масса груза m . Найти угол ϕ поворота цилиндра в зависимости от времени, если при t = 0 угол ϕ0 = 0.

3.1. Горизонтальная платформа массой m = 25 кг и радиусомR = 0,8 м вращается с частотой n1 = 18 мин-1. В центре стоит человек и держит в рас-

ставленных руках гири. Считая платформу диском, определить частоту вра-

щения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от I1 = 3,5 кг · м2 до I2 = 1 кг · м2. [23 мин -1.]

3.2. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной l = 2,5 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции I = 10 кг · м2 и вращается с частотой n1 = 12 мин-1. Определить час-

тоту вращения n2 системы, если стержень повернуть в горизонтальное по-

ложение. [8,5 мин-1.]

3.3. Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n1 = 10 мин-1, переходит к ее центру. Считая

платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определить, с какой частотой n2 будет тогда вращаться платформа. [20 мин-1.]

3.4.Деревянный стержень массой М = 1 кг и длиной l = 40 см может вращаться вокруг неподвижной оси, которая проходит перпендикулярно

стержню через его середину. В конец стержня попадает пуля m = 10 г, которая летит перпендикулярно оси стержня со скоростью υ = 200 м/с. Определить угловую скорость стержня, если удар неупругий. [23 рад /с.]

3.5.Шарик массой m = 60 кг, привязанный к тонкой нити длиной l1 =

=1,2 м вращается с частотой n1 = 2 с-1, опираясь на горизонтальную плос-

кость. Нитка укорачивается, приближая шарик к оси вращения на расстояние l2 = 0,6 м. Определить частоту вращения шарика n2 . [8 с-1.]

Уровень 2.

3.6. Человек массой m0 = 60 кг находится на неподвижной платформе массой m = 100 кг. С какой частотой n будет вращаться платформа, если че-

199

ловек будет двигаться по окружности радиусом r = 5м вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы υ0 = 4 км/ч. Радиус

платформы R = 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека точечной массой. [0,49 об/мин.]

3.7. На неподвижной скамье Жуковского стоит человек и держит в руках вертикальный стержень вдоль оси скамьи. Стержень является осью вращения велосипедного колеса, вращающегося в горизонтальной плоскости и находящегося на верхнем конце стержня. Угловая скорость вращения колеса ω1 = 12 рад/сек, его момент инерции I = 0,4 кг · м2. Момент инерции челове-

ка и скамьи I0 = 3,2 кг · м2. Найти угловую скорость, с которой начнет вращаться скамья, если человек повернет стержень на угол α= 180° и колесо окажется на нижнем конце стержня [3 1c ].

3.8.Однородный стержень длиной l = 1,0 м может вращаться вокруг неподвижной оси, которая проходит перпендикулярно стержню через его верхний конец. В другой конец стержня попадает пуля массой m = 7 г, летя-

щая в горизонтальном направлении перпендикулярно к оси вращения со скоростью υ = 360 м/с. Считая удар абсолютно неупругим, найти массу M стержня, если угол отклонения стержня с пулей ϕ = 60°. [0,81 кг.]

3.9.Небольшое тело начинает скользить без трения с вершины наклонной плоскости высоты h с углом наклона к горизонту α(рис. 3.36). nr — вектор единичной нормали, направленный за чертеж. Найти относительно точки

Омомент импульса Lr тела в зависимости от времени. [ Lr = 12 mght sin 2α.]

Рис 3.36

r3.10. Тело массой m =1 кг брошено из точки, радиус-вектор которой rr = 2 j , вверх по вертикали с начальной скоростью υ0 = 10 м/c. Найти при-

ращение момента импульса L относительно начала координат за все время полета тела (до возвращенияr r его в исходную точку). Сопротивлением возду-

ха пренебречь. [ L = −40i .]

200

4. Кинетическая энергия вращательного движения. Работа момента силы

Уровень 1

4.1.Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной плат-

формы радиусом R = 1 м и массой M = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n1 = 10 мин-1, переходит к

еецентру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определить работу, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру. [65,8 Дж.]

4.2.Обруч массой m = 100 г и радиусом r = 12 см начинает вращаться относительно оси, проходящей через его центр масс, таким образом, что уг-

ловое смещение ϕ меняется по заданному закону ϕ = 0,8t4 +0,5 ϕ = 0. Найти, какую работу совершает над телом результирующий момент внешних сил за промежуток времени от t1 = 2,5 с до t2 = 3 с. [3,57 Дж.]

4.3.Медный шар радиусом R = 10 cм вращается с частотой n = 2 об/с вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу A надо совершить,

чтобы увеличить угловую скорость вращения шара ω вдвое? Плотность меди

8960 кг/м3. [34,1 Дж.]

4.4.Кинетическая энергия вала, вращающегося с частотой n = 5 об/с, =

=Wk 60 Дж. Найти момент импульса вала. [3,8 кг · м2/с.]

4.5.Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью υ = 7,2 км/ч. На какое расстояние может вскатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки 10 м на каждые 100 м пути. [4,1 м.]

4.6.Шар массой m = 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и отталкивается от нее. Скорость шара до удара о стенку υ = 10 см/с, после удара u = 8 см/с. Найти количество теплоты, выделившееся при ударе шара о стенку. [2,51 мДж.]

Уровень 2

4.7. Найти кинетическую энергию велосипедиста, едущего со скоростью υ = 91 км/ч. Масса велосипедиста вместе с велосипедом m = 78 кг, причем на колеса приходится масса m0 = 3 кг. Колеса велосипеда считать об-

ручами. [253 Дж.]

4.8. С какой наименьшей высоты h должен съехать велосипедист, чтобы по инерции (без трения) проехать дорожку, имеющую форму «мертвой петли» радиусом R = 0,3 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли? Масса велосипедиста вместе с велосипедом m = 75 кг, причем на колеса приходится масса m0 = 3 кг. Колеса велосипеда считать обручами. [ h = 2R +

+ R2 (1+ mm0 ) = 7,56 м.]

201

4.9. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением β = 0,4 рад/с2. Определить кинетическую энергию маховика через время t2 = 25 с после начала движения, если через t1 = 10с после начала

вокруг горизонтальной оси, укрепленной на подставке массой m2 , которая

находится на гладкой горизонтальной поверхности (рис. 3.37). На цилиндр намотана невесомая нить, к концу которой приложили постоянную

горизонтальную силу F . Найти кинетическую энергию системы через

Рис. 3.37

5 Образец контрольных заданий для проверки результатов обучения

Iуровень (репродуктивный)

1.Момент силы относительно точки (указать направление),

2.Момент импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

3.Формулировка закона изменения момента импульса системы материальных точек.

4.Момент инерции шара относительно его оси симметрии.

5.Формулировка теоремы Штейнера.

6.Закон динамики вращения тела вокруг неподвижной оси.

7.Кинетическая энергия цилиндра, равномерно катящегося без скольжения со скоростью υ.

202

8. Закон динамики движения материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета.

9Задача.

Кободу диска массой 5 кг приложена касательная сила 19,6 Н. Какую кинетическую энергию будет иметь диск через 5 секунд после начала действия силы?

IIуровень (продуктивный)

1.Получить выражение для момента инерции сплошного цилиндра относительно его оси симметрии.

2.Доказать законы изменения импульса одной материальной точки

исистемы материальных точек.

IIIуровень (творческий)

Доказать теорему Штейнера (например, для системы двух материальных точек различных масс).

203

МОДУЛЬ 4

КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Комплексная цель. Студент должен:

а) знать (описывать и формулировать)

понятия и определения колебательного движения, гармонического колебания, амплитуды, периода, фазы, циклической частоты, квазиупругой силы, механической энергии гармонического колебания, коэффициента затухания, характеристики затухающих колебаний (амплитуды, логарифмического декремента затухания, времени релаксации, добротности), вынужденных колебаний, резонанса, вектора амплитуды, сложения гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты, сложения взаимно перпендикулярных колебаний одной частоты, биений, физического и математического маятников и их периоды колебаний; дифференциальные уравнения гармонических, затухающих и вынужденных колебаний;

б) доказывать (получать) и характеризовать дифференциальные уравнения гармонических, затухающих и вынужденных колебаний и их решения, результат сложения одинаково и взаимно перпендикулярно направленных колебаний одинаковой частоты, биения; период колебаний физического и математического маятников, резонансную амплитуду и резонансную частоту;

в) моделировать и аналитически описывать движение колебатель-

ных систем, в том числе негармонические колебания;

г) уметь

-применять знания математики (теорию дифференциальных уравнений) к решению задач механических колебаний,

-применять полученные теоретические сведения при проведении физического эксперимента и обработке его результатов.

Преподаватель должен формировать социально-личностные качества студента: стремление к овладению новыми знаниями, упорство в учебе.

1 ВВЕДЕНИЕ. Базовые проблемы модуля

Колебательное движение. Механические гармонические колебания и их характеристики. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение. Пружинный маятник. Энергия гармонических колебаний. Физический и математический маятники. Сложение гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Понятие вектора амплитуды, векторной диаграммы. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты. Сложение одинаково направленных колебаний близких частот (биения). Затухающие механические колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Амплитуда затухающих колебаний. Характеристики затухающих колебаний: ло-

204

гарифмический декремент затухания, время релаксации, добротность. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Механический резонанс. Резонансные кривые.

2 УЧЕБНО-ИНФОРМАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ МОДУЛЯ

205

3НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

3.1СЛОВАРЬ ПОНЯТИЙ

3.1.1Новые понятия

1.Механические колебания (механическое колебательное движе-

ние) — это движение механической системы, при котором она, многократно отклоняясь от положения равновесия, каждый раз возвращается к нему. При этом характеристики движения системы изменяются с той или иной степенью повторяемости.

2.Колебания называются гармоническими, если смещение системы от положения равновесия зависит от времени по законам косинуса или синуса.

3.Амплитудой колебаний называется максимальное смещение от положения равновесия.

4.Период колебаний — это время одного полного колебания. Частота колебаний — это число колебаний за единицу времени. Циклическая частота колебаний — это число колебаний за 2πсекунд.

5.Квазиупругая сила — это сила, направленная в положение равновесия, величина которой пропорциональна смещению от положения равновесия.

6.Пружинный маятник представляет собой систему, состоящую из невесомой упругой пружины, к концу которой прикреплена материальная точка.

Физический маятник — это твердое тело произвольной формы, подвешенное на горизонтальной оси, не проходящей через центр масс. Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, совершающая колебания в вертикальной плоскости.

7.Вектор амплитуды данного гармонического колебания − это век-

тор, длина которого равна амплитуде колебания, а угол наклона к выбранной оси равен фазе колебания.

8.Биения — это гармонические колебания, амплитуда которых зависит от времени по периодическому закону.

9.Затухающие колебания — это колебания, амплитуда которых с течением времени стремится к нулю.

10.Логарифмический декремент затухания есть натуральный лога-

рифм отношения предыдущей амплитуды к последующей амплитуде. Время

релаксации — это время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

11.Вынужденные колебания — это колебания, происходящие при действии периодической внешней силы.

12.Механический резонанс — это достижение амплитудой своего максимально возможного для данной колеблющейся системы значения при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы.

206

3.1.2Понятия для повторения

1.Скорость, ускорение материальной точки.

2.Второй закон Ньютона.

3.Кинетическая энергия материальной точки.

4.Потенциальная энергия сил упругости (упругой деформации).

3.2ОСНОВНОЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

3.2.1Колебательное движение

3.2.1.1 Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Пружинный маятник

Колебательное движение — это движение, при котором тело (материальная точка, система тел) многократно отклоняется от положения равновесия, каждый раз возвращаясь в него. При этом физические величины, характеризующие это движение, изменяются с определенной степенью повторяемости.

Колебательное движение является периодическим, если значения всех физических величин, с помощью которых характеризуется состояние колеблющейся системы, повторяются через равные промежутки времени, называемые периодом колебаний. То есть период колебаний — это минимальный промежуток времени между двумя одинаковыми состояниями системы.

Если система, способная совершать колебания, выведена из положения равновесия и затем движется без воздействия периодических внешних сил, колебания называются свободными. Если же на колеблющуюся систему действуют периодические внешние силы, то колебания называются вынуж-

денными.

Колебания системы (материальной точки, тела) характеризуются смещением системы от положения равновесия, зависящем от времени по определенному закону. Простейшими периодическими колебаниями являются гармонические колебания. Гармонические колебания — это такие колебания, когда смещение от положения равновесия зависит от времени по законам косинуса или синуса, а именно:

x = Acos(ω0t+α),

где А, ω0,α − постоянные величины, x — смещение от положения равновесия, в котором x = 0; А – максимальное смещение, называемое ам-

207

плитудой; величина в скобках в (4.1), то есть (ω0t+α), есть фаза колеба-

ний; α− значение фазы в начальный момент времени t = 0, называемое начальной фазой колебаний. Будем пользоваться первой записью гармонических колебаний в виде (4.1).

Физический смысл величины ω0 выясним путем следующих рассуж-

дений. Функция cos (так же как и sin) периодическая с периодом 2π. Поэтому одинаковые значения смещения x повторяются через промежутки времени, равные периоду колебаний Т, когда фаза колебаний увеличивается на 2π.

где в левой части стоит значение фазы в момент времени t +T , а в

правой — увеличенная на 2π фаза в момент t . Из (4.2) следует, что

ω0T =2π,

откуда:

Частота колебаний (обычная частота) ν — это число колебаний за единицу времени, она обратна величине периода колебаний:

мая циклической частотой колебаний, равна количеству колебаний за 2π секунд:

Чтобы выяснить, действие какой силы вызывает гармонические колебания, рассмотрим колебания пружинного маятника. Он представляет собой упругую пружину, масса которой не учитывается, на конце которой прикреплен маленький шарик (материальная точка) массой m. (рис. 4.1).

Пусть длина пружины в недеформированном состоянии равна l0 (Рис. 4.1, а). Если к пружине прикрепить шарик, то она растянется (Рис. 4.1, б), величину удлинения обозначим l0 . Шарик находится в положении равнове-

сия при действии двух сил: силы тяжести mg и силы упругости пружины Fróïð , величина которой для малых деформаций l по закону Гука

208

Fóïð =k l ( k — жесткость пружины). Условие равновесия для величин сил, действующих на шарик:

Если незначительно растянуть пружину (или сжать ее), потом отпустить, шарик на пружине будет колебаться около положения равновесия (Рис. 4.1, в). Выберем начало оси X в положении равновесия шарика и направим ее вниз. При таком выборе начала координат смещение шарика от положения равновесия будет являться его координатой x . В каждый момент времени на

Под действием этой силы F происходят колебания пружинного маятника. В положении, когда материальная точка (шарик) находится ниже положения равновесия, эта сила направлена вверх (к положению равновесия), и движение шарика вниз замедленное. Он останавливается в момент макси-

мального отклонения и при действии результирующей силы F начинает двигаться вверх, причем ускоренно. Проходя через положение равновесия, шарик, обладая максимальной скоростью, продолжает движение вверх. При

этом результирующая сила F , действующая на шарик, по-прежнему направлена в положение равновесия, что теперь означает вниз (Рис. 4.1, г). В результате движение вверх замедленное до максимального (амплитудного) от-

209

клонения, после чего шарик под действием силы F начнет набирать скорость, направленную вниз, и т.д. Эти рассуждения показывают, что резуль-

тирующая сила F старается вернуть маятник в положение равновесия, поэтому ее иногда называют возвращающей силой.

Как видно из (4.8), сила F (или ее проекция на ось X ) характеризуется двумя следующими свойствами: во-первых, ее величина пропорциональна смещению x от положения равновесия; во-вторых, эта сила направлена все-

гда в положение равновесия (проекция силы Fx на ось X и смещение x име-

ют противоположные знаки). В случае пружинного маятника сила Fr является результатом действия силы тяжести и силы упругости. В других случаях колебания тел (или системы тел), сила, вызывающая колебания, может быть другого происхождения, но, если она обладает двумя отмеченными свойствами, то она называется квазиупругой силой.

Покажем, что движение тела (материальной точки) под действием квазиупругой силы является гармоническими колебаниями. С этой целью запи-

шем второй закон Ньютона для материальной точки (шарика) mar = F в проекции на ось X и с учетом (4.8):

m d 2 x = −kx , dt2

или, используя принятые в теории колебаний обозначения производных по времени с помощью точек над буквами, обозначающими функции

Разделим равенство (4.9) на m и перенесем выражение из правой части налево:

Величины k и m положительны, их отношение может быть записано в виде квадрата определенной (действительной) величины:

С учетом этого обозначения (4.10) принимает следующий вид:

210

как на материальную точку в нашем случае действуют только консервативные силы, и полная механическая энергия материальной точки, согласно закону сохранения механической энергии, остается постоянной. На рис. 4.3, б показан график зависимости Wï (x) под изображением соответствующих по-

ложений материальной точки. Этот график, как видно и из (4.21), представляет собой параболу с вершиной в начале координат. На этом же графике

прямая, параллельная оси X, проведенная с ординатой Wï = kA22 , соответст-

вует полной механической энергии (4.21) в каждой точке траектории, то есть для произвольного x при условии − A ≤ x ≤ A. При смещении x ордината точки на графике зависимости Wï (x) (точка В) есть величина потенциальной

энергии колеблющейся материальной точки. Отрезок ВС — расстояние от точки графика до линии полной механической энергии — представляет собой (Wìåõ −Wï =Wk ) кинетическую энергию материальной точки в данном поло-

жении. График наглядно иллюстрирует тот факт, что потенциальная энергия при гармонических колебаниях равна нулю в положении равновесия (x = 0),

соответственно, в этом положении полная механическая энергия представляет собой кинетическую энергию; в точках амплитудного смещения x = A потен-

циальная энергия максимальна и равна полной механической.

3.2.1.3 Сложение одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты

Прежде чем рассматривать сложение гармонических колебаний, познакомимся с графическим методом изображения гармонических колебаний с помощью вектора амплитуды. Пусть дано гармоническое колебание:

Для его графического изображения надо выбрать ось X, точку начала координат О на ней (см. рис. 4.4) и построить вектор в точке О, длина которого равна амплитуде колебаний А, а угол наклона к оси X равен начальной фазе колебаний α. Построенный таким образом вектор называется вектором амплитуды. Он условно изображает гармонические колебания (4.23), на что указывают следующие рассуждения. Если

представить себе, что построенный вектор вращается в плоскости рисунка около точки О с угловой скоростью ω0 , то проекция вектора на ось X (т.е.

отрезок ОС) будет зависеть от времени как раз по закону (4.23).

214

Перейдем к вопросу сложения колебаний. Пусть материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебательных движениях, которые совершаются вдоль одной оси с одинаковой частотой:

x1 = A1 cos(ω0t +α1)

(4.24)

x2 = A2 cos(ω0t +α2 ) .

Надо найти, каким будет результирующее движение материальной точки. В каждый момент времени смещение õ материальной точки от положения равновесия является алгебраической суммой смещений, обусловленных первым и вторым колебаниями:

Воспользуемся изображением гармонических колебаний в виде векторов амплитуд для нахождения суммы (4.25). Построим векторы амплитуды, соответствующие первому и второму колебаниям (см. рис. 4.5). Алгебраическая сумма смещений (4.25) в каждый момент времени представляет собой проекцию на ось X вектора амплитуды, первого и второго колебаний. Следовательно, результирующим движением материальной точки, которая одновременно колеблется по законам (4.24), являются гармонические колебания в том же направлении, с той же частотой, с определенными амплитудой и начальной фазой:

Величины α и А найдем из рис. 4.5. В треугольнике ОВС сторона ОВ равна À1 , сторона ВС равна À1 , сторона ОС=А. Угол ОВС равен

π−(α2 −α1) . По теореме косинусов из треугольника ОВС имеем:

215

Формулы (4.26)–(4.28) полностью определяют результат сложения двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Как следует из (4.27), амплитуда результирующих колебаний зависит от разности фаз (α1 −α2 ) слагаемых колебаний. Отметим следующие два крайних

случая.

1. α1 = α2 , α1 −α2 =0 , то есть складываемые колебания имеют оди-

то есть амплитуда суммарного колебания в данном случае равна сумме амплитуд складываемых колебаний. Это соответствует максимальной из всех возможных для данных À1 и À2 амплитуде. Поэтому условие:

α1 −α2 = ±2πk(k =0,1,2,...)

— называется условием максимума.

2. α2 −α1 = ±π или вообще α2 −α1 = ±(2k +1)π, где k =1, 2, 3,... .

В этом случае колебания, которые складываются, имеют противоположные фазы, и результирующая амплитуда, как получаем из (4.27),

то есть равна разности амплитуд-слагаемых. В этом случае наблюдается минимальное из возможных амплитуд суммарного колебания для данных A1 и

A2 , а в случае A1 = A2 A =0. Условие:

α2 −α1 = ±(2k +1)π

216

— называется условием минимума.

Во всех других случаях, когда 0 < α2 −α1 < π, амплитуда результирующего колебания будет иметь определенную величину, удовлетворяющую неравенство: A1 + A2 > A > A1 −A2 .

При сложении колебаний с неодинаковыми частотами разность фаз колебаний с течением времени изменяется, и результирующее движение материальной точки уже не будет являться гармоническим колебанием, но более сложным колебательным движением.

3.2.1.4 Биения

Представляет интерес и имеет практическое применение сложение двух гармонических колебаний одинакового направления, разных, но близких частот. Как будет показано ниже, в результате сложения отмеченных колебаний образуется колебательный процесс, который можно рассматривать как гармонические колебания с пульсирующей амплитудой.

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях с незначительно отличающимися циклическими частотами

ω и ω+ ω, колебания совершаются вдоль оси X. Для простоты будем считать, что амплитуды обоих колебаний равны A0 , начальные фазы равны ну-

лю. Очевидно, что неравенство частот колебательных процессов ведет к зависимости разности фаз между ними от времени. При описанных условиях колебания записываются следующим образом:

Складывая выражения (4.30) с использованием тригонометрической формулы для суммы косинусов, получим:

217

График функции (4.32) предоставлен на рис. 4.6, а. Множитель в скобках в выражении (4.32) в силу условия (4.31) изменяется с течением времени намного медленнее, чем второй сомножитель того же выражения. За время,

когда функция cosωt совершает несколько полных периодических изменений, множитель в скобках почти не изменяется. Это дает основание считать колебательный процесс (4.32) гармоническими колебаниями циклической частоты ω с амплитудой, зависящей от времени по периодическому закону. Этот процесс называется биениями. Амплитуда по определению величина положительная, но упомянутое выше выражение в скобках, которое характеризует размах колебаний частоты ω, изменяется в пределах от −2A0 до 2A0 . Ам-

плитудой биений является модуль этого выражения, то есть функция:

график которой изображен на рис. 4.6, б. Циклическая частота функции

(4.33) вдвое больше циклической частоты функции 2A0 cos 2ωt , равной

2ω. На этом основании частота изменения амплитуды биений, которая на-

зывается частотой биений, равна ω, то есть разности частот колебаний-

слагаемых. Соответственно период биений Tσ = 2πω.

Необходимо отметить, что множитель в скобках (4.32) не только определяет амплитуду колебаний, но и влияет на их фазу. Это ведет, например, к тому, что смещение для двух соседних максимальных амплитуд происходит в противоположные стороны (точки M1 и M2 на рис. 4.6, а).

3.2.1.5 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях

одинаковой циклической частоты ω, совершаемых во взаимно перпендикулярных направлениях: вдоль координатных соей X и Y. Эти колебания записываются следующим образом:

218

где x и y — декартовы координаты материальной точки. Система уравнений (4.34), (4.35) представляет собой уравнение траектории материальной точки в параметрическом виде (параметром является t). Чтобы получить уравнение траектории материальной точки на плоскости XY в виде соотношения между координатами x и y, поступим следующим образом. Последние уравнения запишем в виде:

Умножая (4.36) и (4.37) на cos α2 и cos α1 соответственно, вычтем второе полученное уравнение из первого. В результате после применения известной формулы для синуса разности углов получим:

Наконец, возводя уравнения (4.38) и (4.39) в квадрат, затем складывая их, получим после несложных преобразований с использованием формулы для косинуса разности аргументов:

Выражение (4.40) является, вообще говоря, уравнением эллипса, который описывается материальной точкой за время, равное периоду колебаний

Ò = 2ωπ . Такое движение материальной точки иногда называется эллиптиче-

ски поляризованными колебаниями. Ориентация осей полученного эллипса в плоскости XY, а также его полуоси зависят от амплитуд А1 и А2 складываемых

219

колебаний и их разности фаз α2 − α1. Остановимся на некоторых частных случаях.

Если разность фаз колебаний α2 − α1 = mπ, где m = 0, ±1, ±2, …, (4.40) переходит в следующее равенство:

что представляет собой уравнение прямой линии. В этом случае результирующее движение материальной точки, которая участвует в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях одинаковой частоты, представляет собой гармонические колебания по одной из прямых (4.41) с той же

ным значениям m, что значит сложению колебаний, происходящих в одинаковой фазе (синфазные колебания, рис. 4.7, а). Знак «−» в (4.41) получается при нечетном m. Последнее относится к случаю, когда колебания-слагаемые происходят в противоположных фазах (рис. 4.7, б). В обоих случаях говорят, что материальная точка осуществляет линейно поляризованные колебания. Наклон траектории к оси X определяется соотношением

являющееся уравнением эллипса, оси которого совпадают с осями координат X и Y, а длина полуосей эллипса равна соответственно амплитудам А1 и А2 (Рис. 4.7, в). Четность числа m в данном случае влияет на направление движения материальной точки по линии эллипса: для четных m т.е. m = 0, ±2,

±4,…, материальная точка движется по ходу часовой стрелки, для нечетных m, m = ±1, ±3, …, — против часовой стрелки. Если амплитуды складываемых

220

колебаний одинаковы, А1 = А2 = А, то траектория материальной точки (4.42) переходит в окружность. Такое движение материальной точки называется циркулярно поляризованными колебаниями, или колебаниями, поляризованными по кругу.

а)

в)

б)

Рис. 4.7

Последний случай приводит к заключению, что равномерное движение материальной точки по окружности радиусом R с угловой скоростью ω можно рассматривать как сумму двух взаимно перпендикулярных колебаний,

x = Rcosωt и y = Rcos(ωt ± π2), где знак плюс соответствует движению по