4.2 МАТЕРИАЛЫ К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ
«ДИНАМИКА ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА»
4.2.1 Момент инерции. Момент силы
Примеры решения задач
Задача 1 (уровень 2)
Вывести формулу для момента инерции однородного шара радиусом R и массой m относительно оси, проходящей через центр шара (рис. 3.17).
Дано:
R m
IZZ — ?
Рис. 3.17
Решение:
Для вычисления момента инерции шара разделим его на тонкие диски высотой dh и массой
dm =ρdV =ρπr2dh ,
где ρ — плотность шара, ρ = |
|
|
m |
. |
|
4 |
|
|
|
|
πR3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Момент инерции каждого такого диска |
dI = |
1 dmr2 . |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Радиус дискового слоя r = 
R2 − h2 , где h — расстояние от дискового слоя до центра шара.
Проинтегрируем полученное выражение:
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R 1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IZZ ′ = ∫ dI = |
|
∫ |
|
|
|
dh = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
ρπr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−R |
|
|
−R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
ρπ |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρπ |
(R4 |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ (R2 − h2 )2 dh = |
2 |
∫dh − |
|
|
|
|
|
2 −R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−R |
|
|
|
|
|
|
−2R |
2 |
|
R |
2 |
dh |
R |
|
|
4 |
dh) = |
ρπ |
(2R |
5 |
− |
4 |
R |
5 |
+ |
|
|
|
∫ h |
|
+ ∫ h |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
−R |
|
|
|
−R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
R |
5 |
) = |
ρπ |
|
16 |
R |
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в полученное выражение массу |
шара m = |
4 |
|
ρπr3 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IZZ ′ = 25 mR2 .
Ответ: 25 mR2 .
Задача 2 (уровень 1)
Определить момент инерции тонкого стержня массой m = 1 кг и длиной l = 0,3 м, относительно оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно стержню.
Дано:
m = 1 кг l = 0,3 м
IZZ ′ — ?
Решение
Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс О,
I0 =121 ml2 .
По теореме Штейнера:
IZZ′ = I0 + ma2 ,
a — расстояние между осью ZZ′ и осью, ей параллельной, проходящей через центр масс:
|
|
|
|
a = |
l |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
IZZ ′ = |
|
1 |
ml2 + m l2 |
= |
1 ml2 . |
|
12 |
|
|
4 |
|
3 |
Ответ: IZZ ′ = 13 ml2.
Аудиторные задачи
1. Четыре шара массой m1 = 100 г и радиусом r = 4 см закреплены на
концах двух перпендикулярно скрещенных посередине стержней массой по m2 = 150 г каждый и длиной l = 20 см. Найти момент инерции сиcтемы
отноcительно оси, проходящей через середину стержней перпендикулярно их плоскости. [9,1×10-3 кг м2.]
2. Материальная точка массой m начинает скользить без трения с вер-
шины наклонной плоскости. Вектором n обозначена нормаль, направленная r
за чертеж (рис 3.18). Найти относительно точки О момент MO результирующей силы, действующей на тело.
