УДК 531(07) ББК 22.2я7 Н 50

Рекомендовано научно-методическим советом БГАТУ

Протокол № 6 от 28 июня 2006 г.

Авторы: канд. физ.-мат. наук, доц. И.Т. Неманова, ст. преподаватель. С.Л. Быкова

Рецензент — канд. техн. наук, доц. В.Т. Ветрова

Неманова, И.Т.

Н 50 Механика : учеб.-метод. комплекс : Ч. I / И.Т. Неманова, С.Л. Быкова. — Минск : БГАТУ, 2006.— 272 с.

ISBN 985-6770-13-0

ISBN 985-6770-12-2

УДК 531(07) ББК 22.2я7

2

В свою очередь, техника оказывает большое влияние на прогресс физики. Известно, что именно технические потребности общества привели в свое время к развитию механики, необходимой для строительства сооружений. Задача создания более экономичных тепловых двигателей вызвала быстрое развитие термодинамики. Эти примеры можно продолжать.

Физика образует прочный фундамент всего естествознания, теория и эксперимент физической науки позволили за последнее десятилетие обеспечить прогресс в развитии таких наук, как биология, химия, медицина, компьютерная и лазерная техника, энергетика и др.

Высокий уровень систематизации физических знаний, логическое совершенство основных теорий, глубокое проникновение в нее математики позволяют считать физику эталоном естественнонаучных знаний. В современных условиях физика оказывает глубокое влияние на социальные, эстетические и мировоззренческие взгляды людей.

Из сказанного вытекает, что учебная дисциплина «Физика», представляющая собой совокупность физических знаний и умений, выполняет важнейшие общеобразовательные и воспитательные функции.

При изучении физики создается основа для понимания и сознательного глубокого изучения таких наук, как теплотехника, электротехника, сопротивление материалов, материаловедение и др. Например, теоретическая механика использует законы динамики движения тел, теплотехника — законы термодинамики, ТОЭ — законы электромагнетизма (на основе закона электромагнитной индукции работают электрические машины).

Исходя из этого, сформулируем роль курса физики в техническом вузе:

1.Обеспечивает строго познавательное, цельное изложение физической картины мира.

2.Является базовой дисциплиной для большого числа общенаучных, общепрофессиональных и специальных дисциплин.

Любая отрасль современного производства тесно переплетается с физикой, поэтому инженер любого профиля должен владеть физикой в такой степени, чтобы со знанием дела применять ее в своей производственной деятельности.

2.2 СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ «ФИЗИКА»

Курс физики рассчитан на три семестра, в каждом из которых изучаются определенные части физической науки: часть I (первый семестр изучения) — механика, молекулярная физика и термодинамика; часть II (второй семестр) — электродинамика; часть III (третий семестр) — оптика, атомная физика, ядерная физика.

Успешное усвоение материала, предусмотренного рабочей программой на каждый семестр обучения, возможно только при регулярной работе студента над каждым разделом: разбор теоретического материала, его применение при решении задач и выполнении лабораторных работ. Для поэтапного

4

изучения вопросов программы и контроля над этим процессом материал каждого семестра делится на определенные части — модули. Каждый модуль охватывает материал темы программы или нескольких близких тем. Модули учебно-методического комплекса (УМК) по модулю содержат все необходимые учебные, методические и контрольные материалы для изучения соответствующих вопросов рабочей программы.

I часть курса общей физики — «Механика. Молекулярная физика. Термодинамика» состоит из следующих модулей:

М0 — Введение в курс физики.

М1 — Кинематика материальной точки.

М2 — Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела. Работа и механическая энергия.

М3 — Динамика вращательного движения твердого тела. М4 — Колебательное движение.

М5 — Основы молекулярно-кинетической теории. М6 — Первое начало термодинамики.

М7 — Второе начало термодинамики. М8 — Реальные газы. Фазовые переходы.

II часть курса физики — «Электродинамика» состоит из следующих модулей:

М1 — Электрическое поле в вакууме. М2 — Электрическое поле в диэлектриках.

М3 — Проводники в электрическом поле. Энергия системы зарядов, заряженных проводников и электрического поля.

М4 — Постоянный электрический ток.

М5 — Магнитное поле постоянного электрического тока в вакууме. М6 — Магнитное поле в веществе.

М7 — Электромагнитная индукция. Основы теории электромагнитного поля.

III часть курса физики — «Оптика. Атомная физика» состоит из следующих модулей:

М1 — Упругие и электромагнитные волны.

М2 — Интерференция света. Дифракция света. Поляризация света. М3 — Квантовая природа электромагнитного излучения.

М4 — Элементы атомной физики и квантовой механики.

М5 — Элементы квантовой статистики и зонной теории твердых тел. МR — Заключение.

Врезультате изучения физики студент должен:

–знать сущность физических явлений и законов, единицы измерения основных физических величин;

–уметь применять физические законы к решению практических задач;

5

–анализировать и применять полученные знания к общеинженерным и специальным дисциплинам.

Для успешного усвоения курса студент должен:

–посещать все виды аудиторных занятий (лекции, практические и лабораторные занятия);

–посещать специально проводимые дополнительные занятия (консультации и т.п.);

–вовремя выполнять все виды самостоятельных заданий;

–систематически готовиться к занятиям и в соответствии с графиком сдавать модули.

2.3 ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В КУРСЕ ФИЗИКИ

Векторами называются величины, характеризующиеся численным значением и направлением и, кроме того, складывающиеся по правилу параллелограмма. Последнее замечание существенно, так как существуют величины, также характеризующиеся численным значением и направлением, но не подчиняющиеся правилу параллелограмма при сложении, например псевдовекторы (см. далее). Вектор изображается стрелкой, обозначается буквойr со стрелкой наверхуr либо жирным шрифтом. Например, вектор скорости υ, вектор ускорения υ или a.

Численное значение вектора называется его модулем. Модуль обозначается ar либо a .

Сложение векторов: cr = ar +b , проводится по правилу параллелограмма (рис. 0.1) или, пристраивая второй вектор к концу первого, а затем соединяя вектором начало первого вектора с концом второго (рис. 0.2).

Рис. 0.1 Рис. 0.2 Рис. 0.3 Рис. 0.4

6

если k > 0 , и направление вектора b противоположно направлению вектора ar, если k < 0 (рис. 0.4).

Проекция вектора. Рассмотрим некоторое направление в пространстве, которое зададим осью l (рис. 0.5). Пусть вектор a образует с выбранной осью угол ϕ. Величина

al = a cosϕ

называется проекцией вектора a на ось l . Это величина алгебраическая: если вектор образует с осью острый угол, то проекция положительная, если тупой — отрицательна.

Векторной проекцией, или составляющей вектора по данной оси

называется вектор

al = a cosϕe ,

где erединичный вектор вдоль оси l , e =1.

Если выбрана декартова прямоугольная координатная система X, Y, Z, по осям которойr соответственно направлены единичные векторы (базисные

орты) ir, rj,k , то вектор ar через проекции по осям системы координат запи-

шется в виде (рис. 0.6):

ar = axi + ay j + az k .

Скалярное произведение векторов. Два вектора ar и b можно умно-

жить друг на друга двумя способами: один приводит к скалярной величине, другой — к некоторому новому вектору.

Скалярным произведением векторов называется скаляр, равный произведению модулей этих векторов на косинус угла α между ними:

ar b = arb = abcosα.

В этом выражении приведены два возможных способа обозначения скалярного произведения.

Скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно

нулю ( α = π ).

2

Квадрат вектора является скалярным произведением вектора самого на

себя:

ar2 = ar ar = a a cos0 = a2 ,

т.е. квадрат вектора есть квадрат его модуля.

модуль которого

c = absin α,

направлениеr которого перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы ar,b , и который находится по правилу правого винта (буравчика). Это прави-

7

ло реализуется следующим образом: мысленно поставим правый винт перпендикулярно плоскости векторов ar,b и будем вращать его в направлении от вектора ar к вектору br по минимальному углу (рис. 0.7).

Следует отметить, что вектор c , являющийся векторным произведением двух других векторов, отличается по своим свойствам от «обычных» векторов (типа скорости, ускорения, силы). Такие векторы, являющиеся результатом векторного умножения двух других векторов, называются псевдовекторами. Различия в свойствах проявляются в случае замены правовинтовой системы координат на левовинтовую.

Псевдовекторами являются такие физические величины, как угловая скорость, момент силы, момент импульса. В дальнейшем не будет проводиться различия между векторами и псевдовекторами.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что изучает физика?

2.Приведите примеры использования законов физики в общеинженерных дисциплинах

3.Как определить модуль и направление векторного произведения двух векторов?

8

МОДУЛЬ 1

КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Комплексная цель. Студент должен:

а) знать (описывать и формулировать) понятия и определения материаль-

ной точки, абсолютно твердого тела, поступательного и вращательного движений, системы отсчета, радиуса-вектора, средней и мгновенной скорости, пути, среднего и мгновенного ускорения, тангенциального и нормального ускорений, угловой скорости и углового ускорения;

б) доказывать (получать) и характеризовать аналитические выражения для тангенциального и нормального ускорений, связь между линейной и угловой скоростью, линейным ускорением и угловым ускорением; величинами пути и скорости при произвольном движении материальной точки; в) моделировать и прогнозировать различные случаи криволинейного

движения материальной точки;

г) уметь

–конспектировать,

–применять математические знания к описанию движения материальной точки,

–применять полученные теоретические знания к решению прямых и обратных задач кинематики;

–проводить лабораторный эксперимент по измерению кинематических

величин и обрабатывать результаты эксперимента.

Преподаватель должен формировать социально-личностные качества студента: организованность, трудолюбие.

1 ВВЕДЕНИЕ. БАЗОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ МОДУЛЯ

Механическое движение как простейшая форма движения материи. Представления о свойствах пространства и времени, лежащие в основе классической механики. Физические модели: материальная точка, абсолютно твердое тело. Поступательное и вращательное движения твердого тела. Система отсчета. Траектория. Длина пути. Вектор перемещения. Вектор мгновенной скорости. Формула для расчета пути, пройденного материальной точкой, по известному закону изменения ее скорости. Вектор мгновенного ускорения. Нормальное и тангенциальное ускорения. Угловая скорость. Угловое ускорение. Связь между линейными и угловыми величинами.

9

2 УЧЕБНО-ИНФОРМАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ МОДУЛЯ

3НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

3.1СЛОВАРЬ ПОНЯТИЙ

3.1.1Новые понятия

1.Материальная точка — это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

2.Система отсчета — это совокупность тела отсчета, относительно которого наблюдается движение материальной точки (тела), связанных с телом отсчета системы координат и часов.

3.Радиус-вектор материальной точки — это вектор, проведенный из нача-

ла координат системы отсчета в точку пространства, где в данный момент времени находится материальная точка.

10

4.Траектория материальной точки — это последовательность положений материальной точки в пространстве.

5.Вектор перемещения материальной точки — это вектор, соединяющий два последовательных положения материальной точки на траектории.

6.Путь, пройденный материальной точкой, — это длина участка траекто-

рии.

7.Средняя скорость материальной точки за некоторый промежуток времени — это отношение вектора перемещения, соответствующего данному промежутку времени, к его величине.

8.Мгновенная скорость (вектор мгновенной скорости или скорость) ма-

териальной точки — это производная радиуса-вектора материальной точки по времени.

9.Среднее ускорение материальной точки за данный промежуток вре-

мени — это отношение изменения вектора скорости за этот промежуток времени к величине этого промежутка времени.

10.Мгновенное ускорение (вектор мгновенного ускорения или ускоре-

ние) материальной точки — это производная вектора скорости по времени или вторая производная радиуса-вектора по времени.

11.Тангенциальное ускорение — это часть ускорения материальной точки, определяющая изменение величины скорости.

12.Нормальное ускорение — это часть ускорения материальной точки, определяющая изменение направления скорости.

13.Абсолютно твердое (твердое) тело — тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается постоянным.

14.Поступательное движение твердого тела — это такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле (на теле) остается параллельной самой себе.

15.Мгновенная угловая скорость (угловая скорость) твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси — это вектор (псевдовектор), вели-

чина которого равна производной угла поворота тела по времени и направление которого определяется по правилу правого винта по отношению к направлению вращения.

16.Мгновенное угловое ускорение (угловое ускорение) твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси — это производная вектора угловой скорости по времени.

11

3.2ОСНОВНОЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

3.2.1Кинематика материальной точки

ивращательного движения абсолютно твердого тела

3.2.1.1 Механическое движение как простейшая форма движения материи

Физика изучает наиболее общие формы движения материи, свойственные как живой, так и неживой природе. Самой простой формой движения материи является механическое движение, законы которого составляют часть физики — механику. Механическое движение — это передвижение тел или частей тел в пространстве с течением времени относительно других тел. Механика состоит из двух частей: кинематики и динамики. Кинематика — раздел механики, в котором изучается движение тел без учета причин, обусловливающих это движение. В динамике изучается движение тел вместе с причинами, его вызывающими.

Механика как наука возникла еще в древнем мире. Она была в основном завершена трудами Галилея и Ньютона в XVII столетии и носит название классической, или ньютоновской механики. В начале XX столетия в результате исследований Эйнштейна была создана релятивистская механика, или специальная теория относительности, которая является механикой тел, движущихся со скоростями, близкими к скорости света в вакууме (с ≈ 3×108 м/с). Вместе с тем, в первой половине XX века исследования многих ученых привели к созданию квантовой механики, законам движения которой подчиняются микрочастицы (элементарные частицы, в определенных условиях — атомы). Обе новые механики — релятивистская и квантовая — содержат в себе классическую механику в качестве частного случая, а именно — при условии движения макротел со скоростями гораздо меньшими скорости света. Другими словами, классическая (ньютонова) механика рассматривает механическое движение тел, состоящих из огромного количества микрочастиц со скоростями намного меньшими скорости распространения света в вакууме.

Механическая система — это совокупность тел, выделенных для рассмотрения их движения.

Для определения положения механической системы в пространстве необходимо выбрать тело (или тела), по отношению к которым определяется положение механической системы в каждый момент времени. Это тело (или тела) называется телом отсчета. Чтобы точно отмечать положения механической системы в пространстве, с телом отсчета неподвижно связывают систему координат. Будем пользоваться прямоугольной декартовой системой координат. Тело отсчета, система координат и часы, с помощью которых отсчитываются промежутки времени, вместе составляют систему отсчета.

Классическая механика создана на основе представлений об абсолютном пространстве и абсолютном времени. Абсолютность пространства означает, что расстояние между определенными точками в пространстве одина-

12

ковое относительно (с точки зрения) разных систем отсчета (имеется в виду, что расстояние измеряется в одних и тех же единицах, например в метрах). Абсолютность времени означает, что промежуток времени между двумя определенными событиями одинаков в разных системах отсчета. Другими словами, абсолютность пространства и времени означает, что их свойства не зависят от выбора системы отсчета. Кроме того, в классической механике считается, что пространство, в котором происходит движение тел, является: однородным — это значит, что все точки пространства равноправные (нет выделенных точек); изотропным — это значит, что все направления в пространстве равноправные (нет выделенных направлений); трехмерным. Принимается также, что время имеет следующие свойства: оно однородно; направлено из прошлого в будущее; одномерно.

Простейшей механической системой является материальная точка. Материальная точка — это тело, размеры которого в данных условиях задачи можно не учитывать. Очевидно, что одно и то же тело в условиях одной задачи можно считать материальной точкой, а в условиях другой задачи — нельзя. Например, Земля при рассмотрении ее движения в космическом пространстве может быть принята за материальную точку. Но, если рассматривать движение тел по поверхности Земли, надо учитывать ее протяженность.

Простейшим и идеализированным случаем протяженных тел является абсолютно твердое тело. Твердое (абсолютно твердое) тело — это такое тело, в котором расстояния между произвольными точками тела не изменяются, несмотря на действия со стороны других тел. Простейшим видом механического движения твердого теля является поступательное движение. Это такое движение, при котором каждая прямая линия, проведенная через две произвольные точки тела, остается параллельной самой себе. Отсюда следует, что все точки твердого тела, движущегося поступательно, движутся одинаково, описывают одинаковые линии, смещенные одна относительно другой в пространстве (рис. 1.1, а). Другим простейшим видом движения твердого тела является вращение тела вокруг неподвижной оси, когда все точки те-

ла, кроме лежащих на оси вращения, движутся по окружностям с центрами, лежащими на этой оси (рис. 1.1, б).

Произвольное движение твердого тела можно представить в виде последовательности поступательных движений тела и вращений вокруг осей, проходящих через определенные точки. На рис. 1.2 показано, как тело из положения 1 можно перевести в положение 2: сначала тело поступательно перемещается в промежуточное положение 1′, а затем путем поворота около неподвижной оси, проходящей через точку В, в окончательное положение 2.

13

z = z(t) .

Равенства (1.2) представляют собой уравнение траектории в параметрическом виде (параметром является время t).

Расстояние, пройденное материальной точкой по траектории, называется путем. За промежуток времени ∆t = t1 – t материальная точка проходит путь ∆S, равной длине отрезка траектории между точками М и М1. За этот промежуток времени радиус-вектор материальной точки получил приращение

На рис. 1.3 вектор r в соответствии с правилом сложения векторов

→

есть вектор MM1 . Этот вектор r , соединяющий положение начала и конца движения материальной точки за определенный промежуток времени, называется вектором перемещения. Модуль вектора перемещения rr при криво-

линейном движении не равен величине пути ∆S за тот же промежуток времени. Обе упомянутые величины совпадают только в случае прямолинейного движения в одну сторону. Но, если промежуток времени мал, ∆t → 0, точки М и М1 находятся близко друг от друга, и тогда

3.2.1.2 Скорость материальной точки

Пусть материальная точка, двигаясь по траектории, находится в момент времени t в точке М, в момент времени t1 — в точке М1 (рис. 1.4). Точке М соответствует радиус-вектор r , точке М1 — r1. За промежуток времени

t = t1 – t вектор перемещения r = r1 − r .

Вектором средней скорости υñ за промежуток времени t называется

отношение вектора перемещения к промежутку времени, за который произошло это перемещение:

Вектор υrc направлен как вектор r , т.е. вдоль хорды ММ1. Численные значения средней скорости

15

ность векторов средней скорости υc , υ′c , … за все меньшие промежутки вре-

мени будет стремиться к определенной векторной величине. Предел, к которому стремится вектор средней скорости материальной точки при бесконечном уменьшении промежутка времени, называется вектором мгновенной

скорости (или вектором скорости) материальной точки в момент времени t:

С математической точки зрения последнее выражение представляет собой предел отношения приращения функции r (t) к приращению аргумента при условии, когда приращение аргумента стремится к нулю. Такая величина является производной функции по аргументу t. С учетом этого приходим к окончательному определению скорости материальной точки: вектор мгновенной скорости материальной точки (или вектор скорости материальной точки) в момент времени t (или в точке М) — это производная ее радиусавектора по времени:

(В определении (1.9.) даны возможные обозначения производной по времени.)

Выясним направление υr. Когда точка М′ стремится к точке М, направление перемещения r стремится к касательной к траектории в точке М. Значит, вектор скорости υr в каждой точке траектории направлен по касательной к траектории.

Модуль вектора скорости υr, как следует из (1.8),

16

На графике зависимости υ(t) такое произведение численно равно площади заштрихованной полоски. Приблизительное значение пути, пройденного материальной точкой на протяжении времени t = t2 – t1, получится после суммирования выражений (1.14) по индексу i, который пробегает значения от

1 до N:

N

S ∑υi ti . (1.15)

i=1

На графике зависимости υ(t) (рис. 1.5) эта сумма численно равна площади фигуры под ломаной линией, образованной верхними сторонами полосок. Равенство (1.15) будет выполняться более точно, если выбирать меньшие промежутки ti. Предельное значение суммы при условии, когда все ti стремятся к нулю (в таком случае их количество стремится к бесконечности), точно совпадает с путем, пройденным материальной точкой за промежуток времени от t1 до t2:

N

S = lim ∑υi ti . (1.16)

t→0 i=1

Как известно, предел суммы произведений значения функции (υ есть функция t) на приращение аргумента, когда приращения аргумента стремятся к нулю, является определенным интегралом от этой функции:

При ti → 0 ломаная линия графика стремится к графику υ(t), величина пути S, определенная формулой (1.17), в пределе будет равна площади криволинейной трапеции, т.е. фигуры под линией зависимости υ(t).

18

В частном случае, когда вектор скорости υ изменяется только по направлению, но остается постоянным по величине, движение равномерное, и при вычислении интеграла (1.17) приводит к

что следует из определения скорости равномерного движения.

3.2.1.3 Ускорение материальной точки

При произвольном движении материальной точки ее вектор скорости υ изменяет как свою величину, так и направление. Для характеристики изменения скорости вводится физическая величина — ускорение.

Пусть материальная точка движется по произвольной траектории. В момент времени t она находится в точке М и имеет скорость υr; соответственно в момент времени t1 > t, когда материальная точка занимает положение М1, она имеет скорость υr1 (рис. 1.6). За промежуток времени t = t1 – t произошло изменение скорости

υ = υ1 − υ.

Чтобы построить вектор υ, надо вектор υ1 перенести параллельно

самому себе из точки М1 в точку М. Тогда υ будет представлять собой вектор, соединяющий концы векторов υ и υ1.

Вектором среднего ускорения añ за промежуток времени t называется

отношение вектора изменения скорости к промежутку времени, за который произошло это изменение:

Подобным образом, как при введении вектора мгновенной скорости, будем уменьшать промежутки времени t, устремляя их к нулю и определяя каждый раз вектор среднего ускорения по формуле (1.19). Предел, к которому при этом будет стремиться вектор añ , называется вектором мгновенного

ускорения материальной точки (вектором ускорения) в момент времени t,

а именно:

19

Последнее выражение представляет собой производную вектора скорости по времени.

Таким образом, вектор мгновенного ускорения (ускорения) материальной точки в момент времени t — это производная вектора скорости материальной точки по времени:

Учитывая определение скорости (1.9), вектор ускорения (1.20) можно записать в виде второй производной радиуса-вектора по времени:

Вектор ускорения направлен под определенным углом к касательной траектории в данной точке. Используя определения (1.21) или (1.22), а также разложения радиуса-вектора материальной точки и ее вектора скорости, получим с учетом (1.12) разложение вектора ускорения по осям координат:

Сравнение выражений (1.23) и (1.24) приводит к следующим формулам для проекций вектора ускорения a :

Наконец, для модуля вектора ускорения можно записать следующие эквивалентные выражения:

20

3.2.1.4 Нормальное и тангенциальное ускорения

Ускорение материальной точки a определяет изменение как величины (модуля) вектора скорости υ, так и его направления. В соответствии с этим вектор ускорения a можно представить в виде суммы двух векторов таким образом, чтобы один из них учитывал изменение только величины скорости, а другой — изменение только направления скорости. Для осуществления такого разложения введем в рассмотрение единичный касательный вектор τ (его модуль равен единице, τ = 1), направленный по касательной к траекто-

рии движения материальной точки в сторону скорости в каждой точке (см. рис. 1.6, где в точке М единичный касательный вектор τ, в точке М1 — τ1 ). С

помощью этого вектора τ вектор скорости материальной точки υ в каждой

Подставив (1.27) в определение вектора ускорения материальной точки (1.21) и воспользовавшись правилом вычисления производной произведения двух функций, получим:

В равенстве (1.28) вектор ускорения записан в виде суммы двух составляющих. Выясним смысл каждой из них.

Первое слагаемое в последнем равенстве представляет собой вектор, направленный по касательной к траектории. По этой причине он называется

касательным, или тангенциальным ускорением aτ.

21

Абсолютная величина (модуль) касательного ускорения aτ, как следует из (1.29) при учете единичности τ1 ,

Она полностью определяется изменением модуля вектора скорости υ.

Если модуль вектора скорости с течением времени увеличивается, dυ > 0 , dt

вектор касательного ускорения aτ направлен в ту же сторону по касательной траектории, что и вектор rτ1 , а это значит — в сторону вектора υ, то в этом случае движение материальной точки ускоренное. Если же модуль вектора

то движение материальной точки замедленное. Наконец, если модуль вектора скорости материальной точки во время движения остается постоянным,

dυ =0 , то в соответствии с (1.29) нулю равно и тангенциальное ускорение, dt

aτ= 0. Это случай равномерного движения. Таким образом, тангенциальное

(касательное) ускорение характеризует изменение модуля (абсолютной величины или величины) вектора скорости.

Рассмотрим вторую часть ускорения, которая в формуле (1.29) дается вторым слагаемым. По причинам, которые выяснятся в дальнейшем, эта часть ускорения называется нормальным ускорением an :

Дляr определения величины и направления вектора нормального ускорения an необходимо отдельно рассмотреть производную единичного векто-

ра τ по времени ddtτ . При переходе из одной точки траектории в другую

единичный касательный вектор τ, оставаясь по модулю равным единице, изменяет, вообще говоря, свое направление вместе с касательной траекторией. Это означает, что вектор τ является функцией времени, τ = τ(t). По оп-

ределению производной функции:

22

той окружности, с дугой которой совпадает бесконечно малая окрестность точки М на траектории.

Величина К, обратная радиусу кривизны R, называется кривизной траектории в точке М:

С учетом (1.36) получим также следующее соотношение для модуля τ :

rτ RS ,

подставив которое в выражение (1.39), найдем модуль производной единичного касательного вектора по времени в следующем виде:

Если учесть еще формулу (1.10), то последнее выражение запишется следующим образом:

Наконец, подставив (1.40) в (1.33), получим величину нормального ускорения:

Из последней формулы видно, что величина нормального ускорения в определенной точке траектории (в определенный момент времени) зависит от величины скорости материальной точки и от радиуса кривизны траектории в этой точке.

25

Выясним направление вектора an . Из его определения (1.31) следует,

что он имеет направление вектора τ в пределе, когда t → 0. При последнем условии угол между боковыми сторонами треугольника МАВ (рис. 1.7, а)

пределе, когда t → 0 будет направлен перпендикулярно траектории материальной точки по радиусу кривизны в сторону центра кривизны О. Таким образом, вектор нормального ускорения an имеет направление, перпендику-

лярное (нормальное) к траектории движения материальной точки, чем и объясняется его название. Введем в рассмотрение единичный вектор n , направленный в каждой точке траектории по радиусу кривизны в сторонуrцентра

кривизны, n = 1. С помощью этого вектора нормальное ускорение an можно записать следующим образом:

Полное ускорение материальной точки a , как показывает (1.24), представляет собой векторную сумму нормального и тангенциального ускорений:

a = aτ + an ,

(что показано на рис. 1.7, б), или, учитывая (1.25) и (1.42),

где первое слагаемое учитывает изменение только величины скорости, а второе — только ее направления. Вектор ускорения a как векторная сумма направлен под определенным углом α к касательной траектории в сторону ее вогнутости. Величина этого угла зависит от величины aτи an . Векторы aτ и

an перпендикулярны друг другу, поэтому модуль вектора a определяется по теореме Пифагора:

Отметим некоторые частные случаи движения материальной точки.

1. В случае равномерного движения по произвольной траектории υ = const, aτ = 0 и вектор ускорения в каждой точке траектории

26

времени t тело повернулось вокруг неподвижной оси ОО′ на угол Δϕ (это значит, что на угол Δϕ повернулся радиус-вектор каждой точки тела, проведенный перпендикулярно ОО′).

Модуль угловой скорости тела определяется как производная угла поворота по времени:

Вектор угловой скорости ω направлен вдоль оси вращения ОО′ в сторону, определяемую правилом правого винта (буравчика). А именно: если поместить правый винт вдоль оси ОО′ и поворачивать его вместе с телом, то направление поступательного движения винта будет совпадать с направлением вектора угловой скорости ωr .

Скорость υr точек тела, которую называют линейной скоростью (чтобы не путать с угловой), связана с угловой скоростью вращения тела. Чтобы найти эту связь, рассмотрим определенную точку тела Мi (i — номер точки), которая во время вращения тела движется по окружности радиуса ri с определенной скоростью (линейной) υi . За элементарный промежуток времени dt

эта точка тела проходит путь dSi, равный длине дуги окружности радиуса ri с углом dϕ, на который повернулось тело вокруг оси ОО′. На основании (1.10) модуль скорости i-ой точки тела

υi = dSdti .

Но величина дуги окружности связана с углом этой дуги и ее радиусом простым соотношением: dS = rdϕ, — и линейную скорость точки тела при учете (1.45) можно записать в виде:

Как можно заметить на рис. 1.8, векторы ω, r , υ составляют правую тройку векторов: поворот правого винта от вектора ω к вектору rrна минимальныйr угол ведет к поступательному движению винта в направлении вектора υ; к тому же все три упомянутых вектора взаимно перпендикулярны. Основываясь на этом и принимая во внимание (1.45), можно написать связь между векторами линейной и угловой скорости определенной точки вращающегося твердого тела следующим образом:

28

(Напомним, что векторное произведение двух векторов ar иrb — это вектор

c , величина которого c = absin α, где α — угол между ar и b , правило определения направления cvсовпадает с правилом правого винта, если его помес-

тить перпендикулярноr обоим векторам a и b и поворачивать по минимальному углу от a к b ).

Если твердое тело вращаетсяv вокруг неподвижной оси ОО′ равномерно, то угловая скорость тела ω = const. Период вращения Т — это время, за которое тело поворачивается на угол 2π. В этом случае имеем следующие простые выражения связи величин, характеризующих вращательное движение тела ( ν — частота вращения):

Для характеристики неравномерного вращения твердого тела вводится вr рассмотрение вектор углового ускорения. Вектором углового ускорения

β называется вектор, равный производной угловой скорости по времени:

При неподвижной оси вращения вектор углового ускорения β направлен вдоль оси вращения, а именно: так же, как вектор ω, при ускоренном

вращении ( ddtω > 0), и в сторону, противоположную вектору ω, при замед-

ленном вращении ( ddtω < 0).

Точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, в общем случае имеют как нормальное, так и тангенциальное ускорение. Величина тангенциального ускорения aτ связана с величиной углового ускорения β. Действи-

тельно, на основании равенств (1.30) и (1.46) имеем следующее выражение: aτ = ddtυ = d (dtωr) .

В твердом теле расстояние r между каждой точкой тела и осью вращения не изменяется, поэтому в последнем выражении величину r можно вынести из-под знака производной. С учетом этого и (1.49) получим:

29

Величина нормального ускорения an точек вращающегося тела связана

Сравнивая направления векторов r , ω, aτ , an , β, можно прийти к выводу, что векторная запись выражений (1.50) и (1.51) имеет следующий вид:

4 МАТЕРИАЛЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ

4.1 МАТЕРИАЛЫ К ЛЕКЦИИ

Лекция 1 «Кинематика материальной точки и вращательного движения абсолютно твердого тела»

План лекции

1.Механическое движение как простейшая форма движения материи (предварительные определения, радиус-вектор, перемещение).

2.Скорость материальной точки (средняя скорость, предельный переход

кмгновенной скорости, ее компоненты и величина, вычисление пути по заданной зависимости величины скорости от времени).

3.Ускорение материальной точки (среднее ускорение, предельный переход

кмгновенному ускорению, компоненты, величина).

4.Нормальное и тангенциальное ускорения (разложить вектор ускорения на нормальную и тангенциальную части, получить окончательные векторные выражения).

5.Кинематика вращательного движения (средняя угловая скорость, мгновенная угловая скорость, среднее угловое ускорение, мгновенное угловое ускорение). Связь линейных и угловых скоростей и ускорений.

Контрольные вопросы

1.В каком случае величина вектора перемещения совпадает с величиной пути?

2.При каком движении материальной точки величина средней скорости совпадает с величиной мгновенной скорости в каждый момент времени?

3.Центростремительное ускорение при движении точки по окружности является нормальным или тангенциальным?

30

4. Чему равно тангенциальное ускорение при равномерном движении материальной точки?

Вопросы для самоконтроля

Iуровень (репродуктивный)

1.Что такое механическая система, система отсчета, материальная точка, траектория материальной точки?

2.Какие свойства пространства и времени положены в основу классической механики?

3.Какое движение тела называется поступательным, вращательным?

4.Как определяется радиус-вектор материальной точки, вектор перемещения, путь, вектор средней скорости материальной точки?

5.Что такое вектор (мгновенной) скорости материальной точки? Как он направлен?

6.Как вычислить путь, пройденный материальной точкой, если известен закон изменения величины ее скорости в зависимости от времени?

7.Как определяется среднее ускорение материальной точки, ее мгновенное ускорение (ускорение)?

8.По какому принципу ускорение делится на тангенциальную и нормальную составляющие? Чему равна и как направлена каждая из них?

9.Что такое радиус кривизны траектории в данной точке?

10.Как определяется вектор угловой скорости тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (или материальной точки, движущейся по окружности)? Каково его направление?

11.Какова связь векторов угловой и линейной скорости для точки, движущейся по окружности?

12.Как определяется вектор углового ускорения? Каково его направление?

13.Какова связь между тангенциальной и нормальной составляющими ускорения и угловыми ускорением и скоростью?

IIуровень (продуктивный)

1.Как получить формулу для вычисления пути, пройденного материальной точкой, если известен закон изменения ее скорости? Каков геометрический смысл величины пути?

2.Каким образом можно разделить ускорение материальной точки на тангенциальную и нормальную составляющие? Как направлено тангенциальное ускорение в различных случаях движения? При каком движении оно равно нулю?

31

3.Как получить окончательное выражение для нормальной составляющей ускорения (в векторном виде)? В каких случаях движения оно равно нулю? Объяснить понятия радиуса кривизны траектории и центра кривизны.

4.Как найти связь между линейной и угловой скоростями материальной точки, движущейся по окружности (в векторном виде)?

5.Как найти связь между тангенциальным ускорением точки, движущейся по окружности, и угловым ускорением; между нормальным ускорением и угловой скоростью (в векторном виде)?

III уровень (творческий)

1.Как найти кинематические уравнения движения (зависимость координат от времени) в таких случаях криволинейного движения материальной точки, как движение по винтовой линии, движение точки катящегося колеса, движение в поле силы тяжести при наличии невертикального ускорения?

2.Как определить в указанных выше случаях скорость, ускорение, радиус кривизны траектории, угол между скоростью и ускорением в зависимости от времени?

4.2МАТЕРИАЛЫ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

4.2.1КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ИВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

4.2.1.1Радиус-вектор. Путь. Вектор перемещения. Уравнение траектории

Примеры решения задач

Задача 1 (уровень 1)

Определить уравнение траектории материальной точки, радиус-вектор которой относительно начала координат изменяется с течением времени по

закону:

rr = 2ti +8t2 j .

Сравнивая данное в задаче выражение для r и выражение в общем виде, получим:

32

z = 0 .

Выразим из (1) t :

t = 2x

и подставим в (2):

y=8 x 2 = 2x2 — уравнение параболы.

2

Ответ: траектория описывается уравнением y = 2x2 , имеет вид параболы.

Задача 2 (уровень 2)

Прямолинейное rдвижение материальной точки описывается уравнением: rr = 3t2ir + 4t2 rj +8tk . Определить путь, пройденный материальной точкой за время от t1 = 1 с до t2 =4 с.

Материальная точка в момент времени t1 находится в точке M1 (x1, y1, z1 ) , а в

кой,

S= (x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2 +(z2 − z1 )2 , x1 = 3t12 , y1 = 4t12 ,z1= 8t1 ,

x2 = 3t22 , y2 = 4t22 ,z2 = 8t2 ,

S= (3t22 −3t12 )2 +(4t22 −4t12 )2 +(8t2 −8t1 )=

= 9(42 −12 ) +16(42 −12 ) + 64(4 −1)278,75 м.

Ответ: S = 78,75 м.

33

траектории точки. Найти зависимость пройденного точкой пути от времени, считая, что при t = 0 S = 0. [Окружность x2+y2 = 9; S=3ωt.]

4.2.1.2Скорость материальной точки

Примеры решения задач

Задача 1 (уровень 1)

Тело движется вдоль оси x по закону: x = A + Bt + Ct3, где A = 3 м; B = 2,5 м/с; C = 0,25 м/с3. Определить среднее значение скорости за промежуток времени от t1 = 1 c до t2 = 6 c.

34

Задача 2 (уровень 1)

Определить путь, пройденный телом за 10 с, если тело движется по прямолинейной траектории и его скорость изменяется по закону: υ = 30 + 2t .

Радиус-вектор материальной точки изменятся с течением времени по закону rr = t3ir + 3t2 rj . Определить для момента времени t = 1 c модуль скорости.

35

υr = υ = υ2x + υ2y = 9t4 + 36t2 = 3t t2 + 4 ,

υt=1 = 3 5 = 6,7 (м/с).

Ответ: υ = 6,7 м/с

Задача 4 (уровень 2)

Скорость материальной точки, движущейся в плоскости XY, изменяется с течением времени по закону: υr = (1−0,5t)i + 4 j . В момент времени t = 0 x = y = 0 . Записать зависимость радиуса-вектора точки от времени.

1 (1 уровень). Две материальные точки движутся в одной системе отсчета согласно уравнениям:

36

x1= 20 + 4t − 4,5t2 , x2 = 2 + 2t + 0,5t2 .

В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Определить их скорости в этот момент времени. [0,2 с; 2,2 м/с.]

2 (2 уровень). Два тела начинают двигаться из начала системы координат. Векторы их скоростей изменяются с течением времени по законам:

υr1 = 9t2i − j + 2k ,

υr2 = 2ti + 6t2k .

Определить расстояние между телами в момент времени t = 2 с. [23,4 м.]

4.2.1.3 Ускорение материальной точки

Примеры решения задач

Задача 1 (уровень 1)

Зависимость координаты тела x от времени описывается уравнением

x = 6 −3t + 2t2 + t3 . Написать выражение зависимости ускорения тела от времени и определить среднее ускорение за время от t1 = 1 с до t2 = 4 c.

υx = dxdt = ddt (6 − 3t + 2t2 + t3 ) = −3 + 4t + 3t2 . ax = dtd (−3 + 4t + 3t2 ) = 4 + 6t ,

ar = (4 +6t)i .

37

Среднее ускорение тела:

= (−3 +4 ×4 +3×42 ) −(−3 +4 +3) =19 (м/c2). 4 −1

Ответ: ar = (4 +6t)i ; aср=19 м/с2.

Задача 2 (уровень 2)

Тело брошено под углом α0 к горизонту с начальной скоростью υ0 . Определить: 1) нормальное an (t) ускорение; 2) тангенциальное aτ(t) уско-

рение в момент времени t от начала движения; 3) радиус кривизны траектории R(t).

38

Аудиторные задачи

1 (уровень 1). Движение материальной точки в плоскости XY описывается законом x = At, y = At(1+Bt), где A и B — положительные постоянные. Определить ускорение точки в зависимости от времени. [a = 2AB = const.]

2 (уровень 2). Камень брошен горизонтально со скоростью υx = 15 м/с. Най-

ти нормальное и тангенциальное ускорения камня через одну секунду после начала движения.

4.2.1.4 Кинематика вращательного движения

Примеры решения задач

Задача 1 (уровень 1)

Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону ϕ = A + Bt +Ct2 , где

А = 10 рад, В = 20 рад, С = –2 рад/с2. Определить полное ускорение точки, которая находится на расстоянии R = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.

40

ω= ddϕt = B +2Ct ,

ω = 20+2×(–2) ×4 = 4 (рад/с)

Угловое ускорение β найдем как первую производную от угловой скорости по времени:

β = ddωt = 2C = −4 (рад/с2).

Следовательно,

a = 0,1 (−4)2 + 44 =1,65 (м/c2).

Ответ: а = 1,65 м/с2.

Задача 2 (уровень 2)

Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости ω = 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Определить угловое ускорение колеса.

41

Ответ: β = 3,2 рад/с2.

Аудиторные задачи

1 (уровень 1). Определить угловую скорость и угловое ускорение твердого тела, которое вращается вокруг неподвижной оси Z по закону

ϕ = at −bt2 , где a = 20 c-1, b = 1 с-2. Охарактеризовать движение этого тела. [ωz = 2(10 – t) c-1; β = –2 c-2. Тело вращается равнозамедленно и в момент времени t = 10 c останавливается, а затем направление движения изменяется на противоположное.]