Стрмех_3часть_рус_1999
.pdf
61
|
2 |
2 |
|
m1 11 A1 m2 12 A2 |
|
|
|
A1 |
|
(5) |
|
|
2 |
2 |
|
|
m1 21 A1 m2 22 A2 |
|
|
A2 |
|
|
Неизвестными считаем амплитуды колебаний А1 и А2, преобразуем уравнения:
|
m1 11 |
2 |
1 m2 12 |
2 |
А2 0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
(6) |
||||||||||||
|
|
2 |
A |
|
m |
|
|
A |
|
2 1 |
|
А |
|
|||
m |
22 |
2 |
0 |
|||||||||||||
|
1 |
21 |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
Решение системы однородных уравнений А1 = А2 =0 нас не устраивает, чтобы получит не нулевое решение прировняем нулю детерминант системы (6):
Д |
m1 11 2 1 |
m2 12 2 А2 |
|
0 |
(7) |
||
m1 21 2 A1 m2 22 A2 2 1 А2 |
|||||||
|
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
||
m1 11 2 1 m1 22 2 |
1 m1m2 12 |
2 4 |
0 |
(8) |
|||
преобразуем уравнение (8), считая неизвестной круговую частоту собственных колебаний :
m1m2 122 22 4 m1 122 2 m2 22 2 1 m1m2 122 4 0
m1m2 12 22 122 4 m1 11 m2 22 2 1 0 |
(9) |
|
|
Уравнение (9) называется бигармоническим уравнением свободных колебаний систем с двумя степенями свободы.
Заменяя переменную 2 = Z, получим
Z1,2 |
m1 11 m2 22 |
m1 11 m2 22 2 4m1m2 11 22 122 |
(10) |
|
2m1m2 11 22 122 |
отсюда определяем Z1 и Z2.
И далее:
1 |
|
Z1 |
|
; |
2 |
|
|
Z2 |
|
; |
В результате можно сделать следующие выводы:
1.Свободные колебания систем с двумя степенями свободы происходят с двумя частотами 1 и 2. Более низкая частота 1 называется основной или основным тоном, более высокая частота 2 - называется второй частотой или обертоном.
Свободные колебания систем с n-степенями свободы являются n-тонными, состоящими из n свободных колебаний.
2.Перемещения масс m1 и m2 выражаются следующими формулами:
62
|
|
|
|
A1 |
sin 1t 1 B1 sin 2t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
y1 |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
A |
2 |
sin |
|
|
1 |
t |
|
1 |
B |
2 |
sin |
|
|
2 |
t |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
А1 |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
В1 |
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А2 |
|
|
|
|
|
|
|
В2 |
|
|
|
|
||||||
|
т.е., если колебания происходят с частотой 1, |
А1 |
0, то в любой момент времени |
|||||||||||||||||||||||||||
А |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
перемещения масс имеют одинаковые знаки. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
m1 |
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A1 |
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В1 |
0, то перемещения масс в |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Если колебания происходят только с частотой 2 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
любой момент времени имеют противоположные знаки.
B1
|
m2 |
|
m1 |
B2 |
|
При одновременном колебании масс с частотами 1 |
и 2 система в основном |
|
колеблется по частоте 1 и в эти колебания вписывается обертон с частотой 2.
Если на систему с двумя степенями свободы действуют вынуждающая сила с частотой , то необходимо чтобы:
0,7 1 .
Лекция 17. Колебания систем с бесконечным числом степеней свободы
Теория механических колебаний имеет многозначисленные и весьма разнообразные приложения едва ли не во всех областях техники. Независимо от назначения и конструктивного решения различных механических систем их колебания подчиняются одним и тем же физическим закономерностям, изучение которых и составляет предмет теории колебаний упругих систем. Наиболее полно разработана линейная теория колебаний. Теория колебаний систем с несколькими степенями свободы была дана еще в XVIII веке Лагранжем в его классическом труде "Аналитическая механика".
Жозеф Луи Лагранж (1736 - 1813) - с 19-летнего возраста профессор математики в Турине. С 1759 года - член, а с 1766 года - президент Берлинской Академии наук; с 1787 года жил в Париже. В 1776 году был избран почетным иностранным членом Петербургской Академии наук.
В конце XIX века Рэлеем были заложены основы линейной теории колебаний систем с бесконечной степенью степеней свободы (т.е. с непрерывным распределением массы по всему объему деформируемой системы). В XX веке линейная теория, можно сказать, была завершена (метод Бубнова-Галеркина, который позволяет с помощью последовательных приближений определять также высшие частоты колебаниий).
63
Джон Уильям Стретт (лорд Рэлей) (1842 - 1919) - английский физик, автор ряда работ по теории колебаний.
Иван Григорьевич Бубнов (1872 - 1919) - один из основоположников строительной механики корабля. Профессор Петербургского политехнического института, с 1910 года - Морской академии.
Борис Григорьевич Галеркин (18711945) - профессор Ленинградского политехнического института.
Формула Рэлея наиболее популярна в теории колебаний и устойчивости упругих систем. Идея, лежащая в основе вывода формулы Рэлея, сводится к следующему. При моногармонических (однотонных) свободных колебаниях упругой системы с частотой , перемещения ее точек совершаются во времени по гармоническому закону:
uf1(x,y,z)sin t,
vf2 (x,y,z)sin t,
wf3 (x,y,z)sin t,
где 1(x,y,z), 2(x,y,z), 3(x,y,z) - функции пространственных координат точки, определяющие рассматриваемую форму колебаний (амплитудную).
Если эти функции известны, то частоту свободных колебаний можно найти из условия постоянства суммы кинетической и потенциальной энергии тела. Это условие приводит к уравнению, содержащему лишь одну неизвестную величину .
Однако указанные функции заранее неизвестны. Руководящая идея метода Рэлея состоит в том, чтобы задаваться этими функциями, сообразуя их выбор с граничными условиями и ожидаемой формой колебаний.
Подробнее рассмотрим реализацию этой идеи для плоских изгибных колебаний стержня, форма колебаний описывается функцией = (x). Свободные колебания описываются зависимостью
|
|
|
|
|
v(x,t) f (x)sin t, |
(1) |
|||||
потенциальная энергия изогнутого стержня |
|
||||||||||
1 |
|
l |
2 v 2 |
|
|||||||
П |
|
|
EI |
|
|
|
dx, |
(2) |
|||
|
|
|
|
2 |
|||||||
2 |
|
0 |
x |
|
|
|
|||||
кинетическая энергия |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
1 |
|
l |
|
v |
|
|
|||||
T |
|
|
m |
|
|
|
dx, |
(3) |
|||
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
t |
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
где l - длина стержня, m=m(x) интенсивность распределенной массы стержня;
2v
x2 - кривизна изогнутой оси стержня;
Учитывая (1)
2v
x2 f sin t,
Тогда
v
- скорость поперечных колебаний.
t
v
f cos t.
t
|
|
1 |
|
l |
2 |
|
|
П |
|
sin2 t EI f |
dx, |
(4) |
|||
2 |
|||||||
|
|
0 |
|
|
|||
|
2 |
l |
|
|
|||
T |
|
|
|
cos2 t mf 2dx, |
(5) |
||
2 |
|||||||
|
0 |
|
|
||||
64
С течением времени каждая из этих величин непрерывно меняется, но, согласно закону сохранения энергии их сумма остается постоянной, т.е.
d П Т
|
|
|
|
0 |
(6) |
|
|
|
|
||
|
|
|
dt |
|
|
или подставляя сюда выражения (4), (5) |
|
||||
l |
2 |
|
д |
|
|
EI f |
|
dx 2 mf 2dx, |
(7) |
||
0 |
|
|
0 |
|
|
Отсюда следует формула Рэлея:
l 2
EI f dx
2 |
0 |
|
(8) |
|
д |
||
|
|
|
mf 2dx
0
Если со стержнем с распределенной массой m, связаны сосредоточенные грузы с массами Mi, то формула Рэлея приобретает вид:
l 2
EI f dx
2 |
0 |
(9) |
|
д |
|||
|
|
mf 2dx Mi fi2
0
Как относиться к этой формуле - считать ее точной или приближенной?
Весь ход вывода показывает, что в рамках принятых допущений (справедливость технической теории изгиба стержней, отсутствия неупругих сопротивлений) эта формула точная, если (x) - истинная форма колебаний. Однако функция (x) заранее неизвестна. Практическое значение формулы Рэлея состоит в том, что с ее помощью можно найти собственную частоту , задаваясь формой колебаний (x). При этом в решение вностися более или менее серьезный элемент приближенности. По этой причине формулу Рэлея иногда называют приближенной.
Пример:
y
m=cosnt Примем в качестве формы колебаний функцию:(x)=ax2, которая удовлетворяет кинематическим граничным условиям задачи.
x EI
l
Определяем:
|
|
|
65 |
|
|
|
l |
2 |
|
l 2 |
|||
EI f dx EI 4a dx EI4a2l2 |
||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
д |
д |
|
|
|
ma2l5 |
|
mf 2dx ma2 x4dx |
|
|
||||
|
||||||
0 |
0 |
|
5 |
|
||
|
|
|
|
|
||
По формуле (8) |
|
|
20EI |
|
|
|
|
2 |
|
. |
|||
|
|
|||||
|
|
|
ml4 |
|||
Этот результат значительно отличается от точного
2 |
|
12,36EI |
. |
|
|||
|
|
ml4 |
|
Более точной является формула Граммеля, которая до сих пор еще не стала такой популярной, как формула Рэлея (возможно, вследствие своей относительной "молодости" - она предложена в 1939 году).
Снова остановимся на той же задаче о свободных изгибных колебаниях стержня. Пусть (x) - задаваемая форма свободных колебаний стержня. Тогда интенсивность
максимальных сил инерции определяется выражением m 2 , где по прежнему m=m(x) - интенсивность распределенной массы стержня; 2 - квадрат собственной частоты. Эти силы достигают указанного значения в тот момент, когда прогибы максимальны, т.е. определяются функцией (x).
Запишем выражение наибольшей потенциальной энергии изгиба через изгибающие моменты, вызываемые максимальными силами инерции:
|
1 l |
М |
2 |
dx |
|
||
|
изг |
|
|||||
П |
|
|
|
|
|
. |
(10) |
2 |
|
|
|
||||
|
0 |
EI |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь Мизг Мизг (x) - изгибающие моменты, вызываемые нагрузкой m 2 .
Обозначим М изг - изгибающий момент, вызываемый условной нагрузкой m , т.е. в 2 раз меньший, чем силы инерции.
Тогда:
Мизг 2 |
М |
изг , |
|
|
|
|
||||
и выражение (10) можно записать в виде: |
|
|
|
2 dx |
||||||
|
|
|
4 |
l |
|
|
||||
|
|
|
М |
|||||||
|
|
П |
|
|
|
изг |
. |
|||
|
|
2 |
|
EI |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Наибольшая кинетическая энергия, как и выше |
||||||||||
2 |
l |
|
|
|
|
|
||||
T |
|
mf 2dx . |
||||||||
|
||||||||||
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11)
(12)
(13)
Приравнивая выражения (12) и (13) приходим к формуле Граммеля:
l
mf 2dx
2 |
0 |
|
|
|
|
(14) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
l |
М 2 |
dx |
||||
|
0 |
|
изг |
|
|
|
|
|
EI |
|
|
|
|||
Для вычислений по этой формуле необходимо прежде всего задаться подходящей функцией (x). После этого определяется условная нагрузка m =m(x) (x) и записываются
66
выражения М изг вызываемые условной нагрузкой m . По формуле (14) определяют частоту собственных колебаний системы .
Пример: (рассматриваем предыдущий)
Условная нагрузка: m(x)=m=const; (x)=ax2
y
m(x)· (x)=max2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ma |
x4 4xl3 3l4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
М |
изг |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
ma2 l5 |
|
|
|
|
|
||||||||||
mf |
|
2 dx ma2x4dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
l |
|
|
|
2 dx L m2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13m2a2 l9 |
|||||||||||||||
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
изг |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x4 |
4xl3 |
3l4 |
dx |
|
||||||||||||
|
|
|
EI |
|
|
144EI |
810EI |
||||||||||||||||||||||
Находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mf 2dx |
2 |
l |
5 |
810 |
|
|
1246.EI |
|
|||||||||||||
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ma |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ml |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
М 2 dx 5 13m2 a2l3 |
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
изг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 1246.EI ml4
Лекция 18. Метод замены распределенных масс сосредоточенными
Этот метод основан на идее приближенной замены системы с бесконечной степень свободы системой с конечной степенью, путем замены распределенной массы сосредоточенными, что может быть выполнено двумя способами.
По первому способу распределенная масса разбивается на участки, и на каждом участке распределенная масса заменяется сосредоточенной массой, располагаемой в центре тяжести участка (см. рис. а).
По второму способу массы на участках распределяются по закону рычага (рис. б)
67
m(x)
m1 m2 m3 m4
а)
m1
m2 m3 
б)
Часто второй способ дает более простую систему с меньшим числом степеней свободы, чем первый.
Метод переноса масс для определения первой частоты свободных колебаний
Рассмотрим систему с одной степенью свободы, в виде невесомой балки с одной
1
сосредоточенной массой mi. Частота колебаний такой системы 2 mi ii
mi |
|
mi i |
Xi P=1 |
a |
P=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
aa |
Перенесем массу mi с некоторым поправочным коэффиентом в другое место на балке, |
|||
получим новую систему с частотой 2 |
|
1 |
. Потребуем, чтобы обе системы имели |
|
|||
imi ii
одинаковую частоту, т.е.
1 1
mi ii imi aa .
Отсюда и получаем значение поправочного коэффициента i при переносе массы с одного места на другое
i ii aa .
Если теперь мы имеем аналогичную систему с n степенями свободы, то собирая все массы в одну точку, заменим приближенно такую сисетму системой с одной степенбю свободы.
68
m1 m2 |
mi |
|
|
a
M
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|||
|
M |
|
|
|
|
ii |
|
|
|||
|
imi mi |
|
|
|
|||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
i 0 |
aa |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Приближенно частота колебаний |
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M aa |
|
n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
mi ii |
|
|
|
||||
Обратная ей величина |
|
|
i 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
mi ii |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
||||
Формула |
весьма проста. |
Она не требует выбора места расположения приведенной |
|||||||||
массы M, ни |
определения |
|
ее |
величины, |
чем достигается однозначность решения. |
||||||
Достоинство формулы еще и в том, что она всегда дает заниженное значение определяемой частоты, как говорят, дает приближение снизу.
Недостаток формулы состоит в том, что она иногда дает грубое приближение. Если наряду с сосредоточенными массами система имеет распределенные массы, то
формула для определения частоты собственных колебаний запишется
1 n
2 i 1 mi ii l m x xxdx
где xx - перемещение бесконечно малой массы m(x)dx от единичной силы, приложенной в точке с координатой x.
69
Учебное издание
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине «СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА»
(для студентов строительных специальностей) Часть 3
МУЩАНОВ ВЛАДИМИР ФИЛИППОВИЧ ЖУК НИКОЛАЙ РОМАНОВИЧ