![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Міністерство освіти і науки, молоді та спорту україни
- •1. Основи теорії похибок
- •1.1. Фізичні виміри та принципи опрацювання їхніх результатів
- •1.2. Типи похибок
- •1.3. Основи теорії випадкової похибки
- •1.4. Вилучення промахів
- •1.5. Врахування приладової похибки
- •2. Опрацювання експериментальних результатів
- •2.1. Прямі виміри
- •2.1.1. Розрахунки з використанням ms Excel
- •2.1.2. Розрахунки з використанням калькулятора
- •2.2. Непрямі виміри
- •2.2.1. Відтворювані умови експерименту
- •2.2.2. Невідтворювані умови експерименту
- •2.2.3. Апроксимація методом найменших квадратів
- •2.2.4. Похибки при одноразовому непрямому вимірі
- •2.2.5. Похибки непрямих вимірів за відтворюваних умов
- •2.2.6. Похибки непрямих вимірів за невідтворюваних умов
- •3. Правила наближених обчислень
- •4. Тест самоконтролю
- •5. Коментарі до питань самоконтролю
- •6. Розрахунково-графічна робота. Похибки прямих вимірювань
- •6.1. Завдання
- •6.2. Приклад виконання завдання
- •7. Розрахунково-графічна робота. Похибки непрямих вимірювань
- •7.1. Завдання
- •7.2. Приклад виконання завдання
- •8. Розрахунково-графічна робота. Лінійна апроксимація
- •8.1. Завдання а для варіантів 01 – 25
- •8.2. Приклад виконання завдання а
- •8.3. Завдання b для варіантів 26 – 50
- •8.4. Приклад виконання завдання в
- •8.5. Завдання с для варіантів 51 - 75
- •8.6. Приклад виконання завдання с
- •8.7. Завдання d для варіантів 76 - 00
- •8.8. Приклад виконання завдання d
- •Література
2.2.1. Відтворювані умови експерименту
Для
кожного результату прямих вимірів
знаходимо середнє значення
і граничну похибку
.
Середнє значення результату непрямих вимірювань
|
(29) |
де
– середні значення величин
,
виміряних безпосередньо.
Якщо
гранична похибка
середнього значення деякої величини
дається з рівнем значущості
,
а для
потрібен рівень значущості
,
то перераховуємо граничну похибку до
заданої надійної ймовірності за формулою
|
(30) |
де
– коефіцієнт Стьюдента [MS Excel
СТЬЮДРАСПОБР(
)]
для рівня значущості
і нескінченної кількості вимірювань,
– коефіцієнт Стьюдента для рівня
значущості
і нескінченної кількості вимірювань.
Гранична похибка результату непрямих вимірювань
|
(31) |
де
– частинні похідні від функції
,
взяті в точках середніх значень
.
Похідні
деяких найчастіше вживаних функцій
наведені в табл. 2.3.
Таблиця 2.3
Похідні деяких функцій
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дуже
часто функція
має вигляд
,
де
показники
степеня, які можуть бути як додатними,
так і від’ємними. Можна показати, що в
цьому випадку формула (31)
набуває вигляду:
|
(32) |
Результат непрямих вимірювань подаємо у вигляді:
|
(33) |
із зазначенням одиниці вимірювання і надійної ймовірності.
Відносна гранична похибка середнього значення вимірюваної величини
|
(34) |
2.2.2. Невідтворювані умови експерименту
У
кожному з
експериментів отримуємо незалежну
серію величин
.
Підставляючи дані кожної серії у вихідну
формулу
,
одержуємо
значень шуканої величини:
.
Далі знаходимо середнє арифметичне
значення
.
Межі довірчого інтервалу оцінюються
так само, як і для прямих вимірів, тобто
за формулами (8) і (9).
2.2.3. Апроксимація методом найменших квадратів
Часто
відомо, що між величинами
і
існує лінійна залежність
або
,
і треба знайти коефіцієнти
і
та стандартні похибки
і
отриманих значень коефіцієнтів. Так,
наприклад, коефіцієнт місцевого опоруζ
визначаємо експериментально, скориставшись
формулою Вейсбаха
.
Іноді функціональну залежність можна
лінеаризувати, тобто представити у
вигляді лінійної функції. Так, логарифмуючи
формулу витрати через трикутний водозлив
|
(35) |
отримуємо
|
(36) |
Розглянемо
спочатку випадок, коли відомо, що
функціональна залежність має вигляд
.
Маємо
пар значень
.
Тоді
|
(37) |
|
(38) |
|
(39) |
Розглянемо
тепер випадок, коли відомо, що функціональна
залежність має вигляд
.
Маємо
пар значень
.
Тоді
|
(40) |
|
(41) |
|
(42) |
|
(43) |
|
(44) |
Розглянемо на прикладі, як можна здійснити апроксимацію за допомогою MS Excel. Експериментальні точки залежності витрати Q через трикутний водозлив від напору H наведені в табл. 2.4.
Таблиця 2.4
Експериментальні дані залежності витрати Q від напору H
H, m |
0,05 |
0,10 |
0,15 |
0,20 |
0,25 |
Q, m3/s |
0,78·10-3 |
4,5·10-3 |
12·10-3 |
26·10-3 |
44·10-3 |
Відомо,
що залежності витрати Q
від напору H
описується формулою (35), яка після
лінеаризації має вигляд (36) або
.
Треба знайти константи α
(показник степеня) і M.
У вікні MS Excel уводимо експериментальні значення з табл. 2.4 у блок комірок B1:F2, як це показано на рис. 2.7. У комірку В3 вводимо формулу = LN(B1), у комірку В4 формулу =LN(B2). Виділяємо діапазон комірок В3:В4 і протягуванням заповнюємо діапазон комірок С3:F4.
Виділяємо діапазон комірок A3:F4 і виконуємо команду Вставка | Диаграмма…. У вікні Мастер диаграмм установлюємо параметри, як показано на рис. 2.8.
Клацнувши
кілька разів кнопку Далее,
а потім
Готово,
отримуємо
графік, який після деяких додаткових
дій набуває вигляду показаного на
рис. 2.7.
Найголовніші з цих дій такі. Клацаємо
правою клавішею миші по одній із точок
на графіку і в контекстному меню вибираємо
команду Добавить
линию тренда…
. У вікні
Линия
тренда
виконуємо
команду Тип
|
Линейная
|
OK.
Клацаємо
правою клавішею миші по лінії тренда
на графіку і в контекстному меню вибираємо
команду Формат
линии тренда.
У вікні
Формат
линии тренда
виконуємо
команду Параметры
|
показывать
уравнение на диаграмме |
OK.
На діаграмі
з’являється
рівняння
з числовими значеннями коефіцієнтів.
У
комірку І3 заносимо значення
,
у комірку І4
значення
.
Уводимо формули в комірки: І6
=I3,
I7
=EXP(I4),
B5
=B4-$I3*B3-$I4
{(43)} і протягуємо її на діапазон B5:F5,
K1
=СУММКВ(B5:F5),
K2
=СРЗНАЧ(B3:F3)
{(40)}, B6
=B3-$K2
і протягуємо її на діапазон B6:F6,
K5
=СУММКВ(B6:F6)
{(41)}, K3
=КОРЕНЬ(K1/(5-2)/K5)
{(44)}, K4
КОРЕНЬ((1/5+K2*K2/K5)*K1/(5-2))
{(44)}, K6
K3*СТЬЮДРАСПРОБР(1-0,9;5-1)/КОРЕНЬ(5)
{(8), (9)}, K7
=I7*K4*
СТЬЮДРАСПРОБР(1-0,9;5-1)/КОРЕНЬ(5)
{(8), (9); оскільки
,
то
},M6
=K6/I6,
N7
=K7/I7
{(15)}. Формули MS Excel показані на рис. 2.9.
У
комірках I6
та І7
з’являються значення
і
,
у коміркахK6
та K7
значення
і
,
у комірках
M6
та M7
значення
і
.
|
Рис. 2.7. Лінеаризація з використанням MS Excel. |
|
Рис. 2.8. Побудова графіка з використанням MS Excel. |
|
Рис. 2.9. Формули в MS Excel. |