- •Міністерство освіти і науки, молоді та спорту україни
- •1. Основи теорії похибок
- •1.1. Фізичні виміри та принципи опрацювання їхніх результатів
- •1.2. Типи похибок
- •1.3. Основи теорії випадкової похибки
- •1.4. Вилучення промахів
- •1.5. Врахування приладової похибки
- •2. Опрацювання експериментальних результатів
- •2.1. Прямі виміри
- •2.1.1. Розрахунки з використанням ms Excel
- •2.1.2. Розрахунки з використанням калькулятора
- •2.2. Непрямі виміри
- •2.2.1. Відтворювані умови експерименту
- •2.2.2. Невідтворювані умови експерименту
- •2.2.3. Апроксимація методом найменших квадратів
- •2.2.4. Похибки при одноразовому непрямому вимірі
- •2.2.5. Похибки непрямих вимірів за відтворюваних умов
- •2.2.6. Похибки непрямих вимірів за невідтворюваних умов
- •3. Правила наближених обчислень
- •4. Тест самоконтролю
- •5. Коментарі до питань самоконтролю
- •6. Розрахунково-графічна робота. Похибки прямих вимірювань
- •6.1. Завдання
- •6.2. Приклад виконання завдання
- •7. Розрахунково-графічна робота. Похибки непрямих вимірювань
- •7.1. Завдання
- •7.2. Приклад виконання завдання
- •8. Розрахунково-графічна робота. Лінійна апроксимація
- •8.1. Завдання а для варіантів 01 – 25
- •8.2. Приклад виконання завдання а
- •8.3. Завдання b для варіантів 26 – 50
- •8.4. Приклад виконання завдання в
- •8.5. Завдання с для варіантів 51 - 75
- •8.6. Приклад виконання завдання с
- •8.7. Завдання d для варіантів 76 - 00
- •8.8. Приклад виконання завдання d
- •Література
1.3. Основи теорії випадкової похибки
У основі теорії випадкових похибок лежать два припущення:
а) при великій кількості вимірів похибки однакової величини, але різного знаку зустрічаються однаково часто;
б) імовірність появи похибки зменшується зі зростанням її величини (тобто, малі похибки зустрічаються частіше, великі – рідше).
Відповідно до цієї теорії, випадкові похибки підлягають закону нормального розподілу випадкових величин – закону Гаусса. Зміст його полягає в наступному. Припустимо, необхідно виміряти деяку фізичну величину, істинне значення якої нам невідоме. Через випадкові похибки ми, виконавшиокремих вимірювань, замістьодержуємо набір значень. Виявляється, що за допомогою закону розподілу ми, хоча і не можемо вказати точне значення , але можемо знайти, з якою ймовірністювеличинаопиниться всередині заданого числового інтервалу значень. Цей числовий інтервал значень називаєтьсядовірчим інтервалом, а ймовірність того, що результат вимірів потрапляє в заданій довірчий інтервал, називаєтьсянадійною ймовірністю (або надійністю). Рівень значущості дорівнює ймовірності того, що величинане потрапляє у вказаний числовий інтервал.
За законом Гаусса, функція густини розподілу випадкових помилок має вигляд (рис. 1.1):
, |
(3) |
а надійна імовірність потрапляння випадкової величини в інтервалвизначається так:
. |
(4) | |
| ||
|
Рис. 1.1. Функція розподілу Гаусса. |
Тут – набір значень, отриманих при вимірах,– їх середнє арифметичне, котре вважається найкращою оцінкою істинного значення результату вимірів. За міру розсіювання (розкиду) значень випадкової величини править дисперсія вибірки
, |
(5) |
що характеризує швидкість зменшення ймовірності появи похибки зі збільшенням величини цієї похибки. Для характеристики розсіювання результатів вимірів користуються поняттям стандартного відхилення або середньої квадратичної (стандартної) похибки окремого виміру , яка дорівнює кореню квадратному з дисперсії вибірки. Величина характеризує середню похибку результату окремого виміру (тобто похибку самого методу вимірів), і обчислюється за формулою:
. |
(6) |
Величина є мірою вірогідності результату виміру і входить до функції розподілу Гаусса. Гауссова крива має симетричний дзвіноподібний вигляд і характеризується двома параметрами: положенням вершини та“шириною” – відстанню між точками перегину (у яких друга похіднаобертається на нуль). Середнє арифметичнерезультатів окремих вимірів являє собою середину довірчого інтервалу, ахарактеризує вплив випадкових похибок на результат: чим менше, тим вужче крива розподілу похибок окремих вимірів, тим точніше проведений вимір. Однак, з іншого боку, чим більш широким вибирається довірчий інтервал, тим вище ймовірність потрапляння випадкового значенняу цей інтервал.
Для генеральної сукупності результатів вимірів, коли , середнє арифметичнедорівнює істинному значеннювимірюваної величини, якщо, звичайно, результати вимірів не містять систематичної похибки.
Підставивши із (3) в (4), можна розрахувати надійну ймовірністьдля будь-якого довірчого інтервалу. Наприклад, при великій кількості вимірів (), вибравши, одержимо величину надійності(див. рис. 1.1). Це означає, що 68,3% усіх результатів вимірів належать до інтервалу. Аналогічно можна показати, що для інтервалунадійна ймовірність, а длявідповідно. Останнє означає, що за межами довірчого інтервалу півшириноюопиняється лише 0,3% результатів усіх вимірів.
Звідси випливає так зване “правило ”: помилку, що виходить за межі числового інтервалу , вважаютьпромахом (тому що ймовірність її появи всього 0,3%) і виключають результат відповідного виміру з подальшого розгляду. Проте слід нагадати, що це генеральне середньоквадратичне відхилення (для дуже великої кількості вимірів ), а отже у звичайних вимірах (для невеликої вибірки,) воно залишається невідомим. Тому при малих вибірках“правило ” застосовувати не слід. В інженерній практиці зазвичай вважають достатньою надійність , хоча в деяких випадках (для вимірів, за умовами яких потрібен надзвичайно високий ступінь надійності, наприклад, коли йдеться про життя людей) іноді задають значення надійної імовірності , тобто ступінь ризику (рівень значущості) становить лише 0,1%.
Для обмеженої вибірки середнє значення дещо відрізняється від. Сукупність середніх для деякої кількості вибірок (поокремих вимірів у кожній вибірці) теж описується функцією розподілу Гаусса
. |
(7) |
де середнє значення окремої вибірки, середня квадратична (стандартна) похибка середнього.
Основний сенс усереднення результатів багаторазових вимірів полягає в тому, що середнє значення фізичної величини має меншу випадкову похибку, ніж результати окремих вимірів. Операція усереднення не усуває цілком випадковий характер середнього результату, а лише зменшує ширину інтервалу його невизначеності. Як вказувалося вище, величина характеризує точність даного способу вимірів (міру розсіювання результатів окремих вимірів). Однак, середнє значення фізичної величиниє узагальненням результатів усіхвимірів, тому є всі підстави вважати, що воно є більш надійним, ніж результат кожного окремого виміру. Похибка середнього значення шуканої фізичної величини середня квадратична (стандартна) похибка середнього обчислюється за формулою:
. |
(8) |
Якщо в науковій роботі наводиться значення похибки і не вказується надійна ймовірність , то мається на увазі стандартна похибка середнього.
Отже, для характеристики величини випадкової похибки необхідно задати два числа: величину самої похибки (півширину довірчого інтервалу ) та величинунадійної ймовірності .
Наведені вище значення надійних ймовірностей для інтервалів,,справедливі лише длягенеральної сукупності вимірів – їхньої нескінченної безлічі. На практиці ж завжди здійснюється обмежена кількість вимірів – мала вибірка. Як же змінюється вірогідність результату в залежності від кількості вимірів?
Англійський математик В.С. Госсет, який публікував свої роботи під псевдонімом Стьюдент, у 1908 році вивів розподіл похибок середніх значень при малій кількості вимірів. Для великих вибірок () цей розподіл практично збігається з розподілом Гаусса. Розподіл Стьюдента дозволяє за надійною ймовірністюта кількістю виміріввизначати відповідний довірчий інтервал. Для цього користуються спеціальною таблицею коефіцієнтів Стьюдента, що залежать відта (табл. 1.1). Коефіцієнти Стьюдента показують, у скільки разів потрібно збільшити стандартний довірчий інтервал, щоб при заданій кількості вимірів одержати необхідну надійність результату. За стандартний приймається довірчий інтервал.
Якщо результати окремих вимірів підлягають нормальному розподілу Гаусса і є однаково точними – тобто виконані на одній апаратурі, з однаковою старанністю і тим самим методом – то випадкова похибка шуканої величини визначають за формулою:
. |
(9) |
Таблиця 1.1
Коефіцієнти Стьюдента
2 |
1,84 |
6,31 |
12,71 |
31,82 |
63,66 |
212,21 |
3 |
1,32 |
2,92 |
4,30 |
6,96 |
9,92 |
18,22 |
4 |
1,20 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
5,84 |
8,89 |
5 |
1,14 |
2,13 |
2,78 |
3,75 |
4,60 |
6,43 |
6 |
1,11 |
2,02 |
2,57 |
3,36 |
4,03 |
5,38 |
7 |
1,09 |
1,94 |
2,45 |
3,14 |
3,71 |
4,80 |
8 |
1,08 |
1,89 |
2,36 |
3,00 |
3,50 |
4,44 |
9 |
1,07 |
1,86 |
2,31 |
2,90 |
3,36 |
4,20 |
10 |
1,06 |
1,83 |
2,26 |
2,82 |
3,25 |
4,02 |
11 |
1,05 |
1,81 |
2,23 |
2,76 |
3,17 |
3,89 |
12 |
1,05 |
1,80 |
2,20 |
2,72 |
3,11 |
3,79 |
13 |
1,04 |
1,78 |
2,18 |
2,68 |
3,05 |
3,71 |
14 |
1,04 |
1,77 |
2,16 |
2,65 |
3,01 |
3,64 |
15 |
1,04 |
1,76 |
2,14 |
2,62 |
2,98 |
3,58 |
16 |
1,04 |
1,75 |
2,13 |
2,60 |
2,95 |
3,54 |
17 |
1,03 |
1,75 |
2,12 |
2,58 |
2,92 |
3,49 |
18 |
1,03 |
1,74 |
2,11 |
2,57 |
2,90 |
3,46 |
19 |
1,03 |
1,73 |
2,10 |
2,55 |
2,88 |
3,43 |
20 |
1,03 |
1,73 |
2,09 |
2,54 |
2,86 |
3,40 |
21 |
1,03 |
1,72 |
2,09 |
2,53 |
2,85 |
3,38 |
22 |
1,03 |
1,72 |
2,08 |
2,52 |
2,83 |
3,35 |
23 |
1,02 |
1,72 |
2,07 |
2,51 |
2,82 |
3,34 |
24 |
1,02 |
1,71 |
2,07 |
2,50 |
2,81 |
3,32 |
25 |
1,02 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,80 |
3,30 |
26 |
1,02 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,79 |
3,29 |
27 |
1,02 |
1,71 |
2,06 |
2,48 |
2,78 |
3,27 |
28 |
1,02 |
1,70 |
2,05 |
2,47 |
2,77 |
3,26 |
29 |
1,02 |
1,70 |
2,05 |
2,47 |
2,76 |
3,25 |
30 |
1,02 |
1,70 |
2,05 |
2,46 |
2,76 |
3,24 |
40 |
1,01 |
1,68 |
2,02 |
2,43 |
2,71 |
3,17 |
50 |
1,01 |
1,68 |
2,01 |
2,40 |
2,68 |
3,12 |
60 |
1,01 |
1,67 |
2,00 |
2,39 |
2,66 |
3,10 |
1,00 |
1,64 |
1,96 |
2,33 |
2,58 |
2,97 |
При зі зростанням числа вимірювань коефіцієнти Стьюдента зменшуються мало. Тому виконувати вимірювання більше 30 разів недоцільно це не призведе до скільки-небудь помітного зменшення випадкової похибки результату серії вимірювань.