- •1.1. Комплексне креслення точки і прямої 6
- •1.1. Комплексне креслення точки і прямої
- •Умова паралельності прямих:
- •Умова перетину прямих:
- •Умова схрещування двох прямих:
- •Умова паралельності прямої і площини:
- •Аналіз задачі:
- •Положення геометричних образів при яких відстані
- •Розв’язання
- •3.2. Побудова розгорток поверхонь
- •3.2.1. Спосіб трикутників
- •Розгортка складається із чотирьох рівнобедрених
- •3.2.2. Спосіб розкатки
- •3.2.3. Спосіб нормального перерізу
- •Вправи для самостійного дослідження
- •3.3.4. Конічні перерізи.
- •3.4.3. Перетин прямої з похилим циліндром
- •Тема 3.5. Взаємний перетин поверхонь. Загальний алгоритм побудови лінії перетину поверхонь. Способи побудови лінії перетину поверхонь
- •Загальний алгоритм побудови лінії перетину поверхонь
- •3.5.2.А. Співвісні поверхні обертання і їх лінії перетину
- •Спосіб концентричних сфер
- •Геометричний алгоритм розв’язання задачі
- •Спосіб ексцентричних сфер
- •Геометричний алгоритм рішення задачі
- •У точковому численні прийнято позначати параметр t через q, а його доповнення до одиниці – через р. Рівняння прямої, записане у вигляді:
- •4.7.2. Основа перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.
- •4.7.3. Точка виходу з площини та її геометрична інтерпретація.
- •Викладки цього розділу є розрахунковою основою одного із епюрів з курсу нарисної геометрії.
- •Розділ 5. Теоретичні основи аксонометрії
- •Ортогональні проекції точок на будь-яку площину проекцій, які супроводжуються числами, що визначають відстань точок від їхніх проекцій, називаються проекціями з числовими позначками.
4.7.2. Основа перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.
Визначимо точку Н через метричні оператори (рис. 9). З геометричного змісту метричних операторів випливає:
Розділивши другу рівність на першу, одержимо:
Далі, застосовуючи точкове числення, одержимо:
4.7.3. Точка виходу з площини та її геометрична інтерпретація.
ТОЧКА ВИХОДУ З ПЛОЩИНИ НА ВІДСТАНЬ d.
Для побудов над площиною загального положення АВС уведемо поняття точки виходу з площини на задану відстань d.
ВИЗНАЧЕННЯ. Точкою виходу з площини, заданої трикутником АВС, називається точка S(syz, szx, sxy) – координатами якої є дійсні числа рівні подвоєним площам проекцій цього орієнтованого трикутника.
Точка S має наступні властивості:
1. Довжина відрізка OS чисельно дорівнює площі трикутника АВС.
2. Пряма OS перпендикулярна площині трикутника АВС.
Такі ж властивості має векторний добуток двох векторів, утворених направленими відрізками сторін орієнтованого трикутника АВС. Отже, точка виходу є точковим аналогом векторного добутку векторів. Через координати вершин точка виходу з площини трикутника АВС визначається співвідношеннями:
Точка D розташована на прямій OS, для якої відрізок OD по довжині дорівнює числу d, одержала назву точки виходу з площини АВС на величину d:
де sABC – подвоєна площа трикутника АВС.
Точка D успішно використовується для побудов над площиною загального положення. Точка D (рис. 4.10), що піднімається над площиною від точки А на висоту d, визначається з паралелограма OAKD сумою точок:
K = A + D
4.7.4. ПЛОЩА ТРИКУТНИКА, РОЗТАШОВАНОГО
В ПЛОЩИНІ ЗАГАЛЬНОГО ПОЛОЖЕННЯ.
Для визначення точки D необхідно мати подвійну площу трикутника АВС. Оскільки довжина відрізка OS, по визначенню, дорівнює цій подвійній площі, то через метричний оператор одержимо:
Здобувши корінь квадратний, знаходимо шукану подвійну площу.
4.7.5. ВИЗНАЧЕННЯ ВЕРШИНИ ПІРАМІДИ ПО ЗАДАНІЙ ОСНОВІ І ВИСОТІ.
Розглянемо практичну задачу конструювання піраміди АВСК, по заданій основі АВС і висоті d, що проекціюється в центр ваги основи.
Конструювання піраміди зводиться до визначення вершини К.
Визначимо центр Т ваги трикутника АВС:
Обчислюємо подвійні площі проекцій трикутника АВС:
Визначаємо площу трикутника АВС, розташованого в площині загального положення:
Знаходимо точку виходу з площини на висоту d:
Обчислюємо координати шуканої вершини К:
Підводячи підсумок цієї лекції, відзначимо, що метричний оператор трьох точок споріднений скалярному добуткові векторів, точка виходу з площини – векторному добуткові двох векторів, а об’єм піраміди – змішаному добуткові трьох векторів.
Точкове числення, це математичний апарат інженера, що дозволяє конструювати геометричні об’єкти, а також лінійні і не лінійні форми. Розглянемо, як приклад, побудову піраміди.
4.8. ПОБУДОВА ВЕРШИНИ ТРИКУТНОЇ ПІРАМІДИ ПО ЗАДАНІЙ ОСНОВІ,
ВИСОТА ЯКОЇ ПРОЕКЦІЮЄТЬСЯ В ЦЕНТРОИД ОСНОВИ.