Геометричний алгоритм розв’язання задачі

1. Визначаємо опорні точки (1 і 4) перетину окреслень поверхонь.

2. Визначаємо центр концентричних сфер (точка перетину осей – O(O₂)).

3. Визначаємо мінімально допустиму сферу на основі проведення нормалей до нарисових ліній поверхонь і вибору більшого з двох відрізків.

4. Будуємо точки лінії перетину за допомогою мінімальної сфери – (3(3₂)).

5. Визначаємо максимально припустиму сферу, беручи в якості радіуса відстань до найбільш віддаленої проекції точки.

6. Проводимо проміжну сферу:

а) будуємо перетин першої поверхні і сфери (a(a₂));

б) будуємо перетин сфери з другою поверхнею (b(b₂));

7. Визначаємо проміжну точку 2(2₂).

8. Будуємо лінію перетинання поверхонь, з'єднуючи отримані точки плавної кривої по лекалу.

Лінія перетину, у цьому прикладі, розпалася на дві частини просторової кривої. В наслідок загальної площини симетрії в фігурах, що перетинаються, проектуються на цю площину (або паралельну їй площину) у виді кривої другого порядку. Якщо ж потрібно побудувати проекції цієї лінії на інші площини, то це легко зробити, зв'язавши кожну точку лінії перетину з колом, що лежить на тій чи іншій поверхні обертання.

Розглянемо варіант, коли мінімальна сфера дотикається до двох поверхонь обертання. У цьому випадку для побудови лінії перетину поверхонь використовується теорема Г. Монжа, що формулюється так:

Якщо дві поверхні другого порядку описані біля третьої або вписані в неї, то лінія їхнього перетину розпадається на дві плоскі криві другого порядку. Площини цих кривих проходять через пряму, що з'єднує точки перетину ліній дотику.

Відповідно до цієї теореми лінії перетину конуса і циліндра, описаних навколо сфери (рис.15), будуть плоскими кривими – еліпсами, фронтальні проекції яких зображуються прямими A₂B₂ і C₂D₂.

Теорема Монжа знаходить ефективне застосування при конструюванні трубопроводів. Можливість вписування сфери в циліндри однакового діаметра дозволяє дуже швидко запроектувати їх перетин (рис.16).

Вправа:

Побудувати перетин двох конусів обертання, осі яких перетинаються і паралельні П₂ (рис.3.28).

Спосіб ексцентричних сфер

Ц

Рис.6

ей спосіб може бути використаний для побудови лінії перетину двох поверхонь, що мають загальну площину симетрії. При цьому кожна поверхня повинна мати сімейство кіл. Як і в способі концентричних сфер, площина симетрії повинна бути паралельна однієї з площин проекцій. Сутність способу легко усвідомити з наступних прикладів.

Приклад 1. Побудувати лінію перетину конуса зі сферою (рис.3.29).

Вісь конуса і центр сфери розташовані в одній фронтальній площині. Будь-які дві сфери перетинаються по колу. Тому, якщо ми візьмемо будь-як допоміжну сферу радіуса R з центром на осі конуса, то вона перетне і дану сферу і даний конус по колах. У перетині цих кіл ми одержимо точки лінії перетину даних поверхонь. Для побудови наступних точок можна брати інші допоміжні сфери з різними положеннями центрів на осі конуса.

Приклад 2. Побудувати лінію перетину конуса з кільцем (рис.3.30).