8. Пересечение двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Чтобы построить эту линию, необходимо определить две общие точки, принадлежащие данным плоскостям. Рассмотрим несколько случаев решения этой задачи при различном задании пересекающихся плоскостей.

Если одна из плоскостей проецирующая (рис.31), то одна из проекций линии пересечения совпадает с ее проецирующим следом.

На рис.31

Рис. 31

одна из пересекающихся плоскостей – плоскость общего положения, задана треугольником (она может быть задана параллельными или пересекающимися прямыми), вторая плоскость фронтально- проецирующая, задана проецирующим следом f₂^ά (рис.31). Одна из проекций линии пересечения совпадает с проецирующим следом, а общие точки1и2лежат на сторонах треугольника. Прямая1-2– это линия пересечения плоскостейβ(АВС) иά(f₂^ά).

В случае, когда пересекающиеся плоскости обе являются плоскостями общего положения, для нахождения общих точек применяются вспомогательные секущие плоскости – посредники. В качестве плоскостей посредников выбирают две плоскости частного положения. Решение этой задачи состоит из трех последовательно выполняемых операций:

- рассечь плоскости двумя вспомогательными плоскостями,

- построить линии пересечения вспомогательных плоскостей с заданными,

-в каждой из плоскостей посредников, найти точки пересечения этих построенных линий и провести через них искомую прямую.

Рис. 32

На рис.32 показан пример решения задачи. Плоскости общего положения άиβрассечены вспомогательной горизонтальной плоскостьюε. Эта плоскость пересекает плоскостьάпо прямой1-2, а плоскостьβ– по прямой3-4. Прямые1-2и3-4лежат в плоскости ε и пересекаются в точкеК. Это и будет одна из искомых общих точек, принадлежащих обеим плоскостямάиβ. Повторив построение с помощью второй вспомогательной плоскости σ, получим вторую общую точкуL. ПрямаяКL– искомая линия пересечения плоскостейάиβ. На рис.32а построения показаны на наглядном изображении, на рис.32б – на ортогональном эпюре.

9. Пересечение прямой линии с плоскостью.

Задача на нахождениеточки пересечения прямой линии с плоскостьюявляется основной позиционной задачей начертательной геометрии. Она входит составной частью в решение многих задач в различных разделах курса. От того, насколько хорошо она будет освоена, зависит успешное изучение последующего материала. В общем виде решение этой задачи состоит из трех последовательно выполняемых операций:

- через данную прямую проводим вспомогательную проецирующую плоскость;

- строим линию пересечения данной плоскости и вспомогательной;

- определяем точку пересечения данной прямой с построенной линией пересеченияплоскостей.

На рис.33 показано решение задачи на ортогональном эпюре.

Д

Рис. 33

ана прямаяℓи плоскостьά(АВС). Через прямую проведена горизонтально-проецирующая плоскостьε. Горизонтальный след плоскости ε₁совпадает с горизонтальной проекцией прямойℓ. Построена прямая1-2линия пересечения данной плоскостиάи вспомогательной плоскости ε. Сначала отмечены горизонтальные проекции точек1₁и2₁затем по линиям проекционной связи фронтальные проекции1₂и2₂. Отмечена точкаК₂фронтальная проекция точки пересечения данной прямой с построенной прямой1-2, и по линии проекционной связи найдена ее горизонтальная проекцияК₁.

Р

Рис. 34

ешение задачи должно завершиться определением видимых и невидимых участков на проекциях данной прямой. Для этого на фронтальной проекции на прямыхАВиℓ возьмем конкурирующие точки3и4(рис.34) на фронтальной проекции точка4закрывает точку3, так как у нее координатаYбольше (см. на горизонтальную проекцию этих точек), поэтому прямаяℓвидимая до точки пересечения с плоскостью треугольникаАВС(т.К₂). Для установления видимости на горизонтальной проекции возьмем конкурирующие точки5и6на прямыхℓиВС. КоординатаZточки 5 меньше координатыZточки 6 (см. фронтальные проекции этих точек), следовательно точка 5 ниже точки 6, а это значит что прямаяℓневидимая до точки пересечения с плоскостью треугольникаАВС(т.К₁).

Следует отметить частный случай решения задачи на пересечение прямой с плоскостью, когда прямая занимает проецирующее положение. В этом случае одна из проекций искомой точки оказывается известной, остается определить положение второй проекции.

Н

Рис. 35

а рис.35, прямаяm в горизонтально-проецирующем положении. Горизонтальная проекцияК₁точки ее пересечения с плоскостью тоже известна – она находится в той точке, в которую проецируется вся прямая. Для определения фронтальной проекции искомой точки проводим произвольную плоскость∑₁. Находим линию1-2пересечения плоскости∑и плоскостиАВС, а затем находим фронтальную проекцию точкиА₂.

Задача. Построить линию пересечения 2-х плоскостей ά(∆ АВС) иβ(m//n) (рис 36).

Рис. 36

Решение задачи сводится к нахождению точек пересечения прямой nс плоскостьюάи прямойmс плоскостью ά.

10. Прямая, перпендикулярная плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в этой плоскости. Так как прямой угол между прямыми линиями проецируется на плоскость проекций без искажения, если одна из прямых параллельна этой плоскости проекций ( см. разд.3, рис. 16), то пересекающимися прямыми плоскости, которые нужно взять для построения перпендикуляра, могут быть только ее горизонталь и фронталь.

Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости, если ее фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости, а горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости.

Это правило проиллюстрировано на рис.37 в форме решения задачи:через точку А (А₁,А₂) провести прямую, перпендикулярную плоскости ά (Δ ВСD) (рис.37).

В

Рис. 37

плоскости ά проведены горизонталь h(h₂,h₁) и фронтальf(f₁,f₂) , затем через А₁проведена горизонтальная проекция перпендикуляраp₁под прямым углом кh₁, а через точку А₂фронтальная проекция перпендикуляраp₂под прямым углом к f₂. Прямыеp₁ иp₂есть проекции искомого перпендикуляраР.