6.7. Кручення. Крутний момент. Епюри крутних моментів

Крученням називається такий вид деформації стержня, при якому в його поперечних перерізах виникає тільки один внутрішній силовий фактор – крутний момент. Всі інші внутрішні зусилля – нормальна і поперечна сили, згинальний момент при крученні відсутні. Кручення зазнають багато деталей машин і споруд: вали двигунів і верстатів, осі моторних вагонів і двигунів, елементи просторових конструкцій та ін. Як показали дослідження, характер деформації стержня, що скручується, залежить від форми його поперечного перерізу. Особливе місце серед стержнів, що зазнають деформації кручення, належить стержням з круглим поперечним перерізом. Такі стержні, що зазнають деформацію кручення, називаються валами.

До стержня, що скручується, у різних його перерізах може бути прикладено кілька зовнішніх моментів. Розглянемо випадок, коли всі зовнішні моменти взаємно врівноважені і діють у площинах, перпендикулярних до осі стержня (Рис.6.9,а):

(6.25)

Рис.6.9

Для визначення крутного моменту у будь-якому перерізі стержня скористаємося правилом, отриманим при використанні методу перерізів, на підставі якого головний вектор і головний момент усіх внутрішніх сил, що діють у розглянутому перерізі на частину тіла, що залишилася, дорівнюють відповідно головному векторові і головному моментові всіх зовнішніх сил, прикладених до відкинутої частини тіла.

Таким чином, щоб визначити крутний момент , необхідно обчислити суму усіх зовнішніх моментів, які діють по один бік від перерізу, що розглядується. Ліворуч від перерізу III, у якому визначається крутний момент, діють зовнішні моментиі. Отже, крутний момент у перерізі III дорівнюватиме:

.

Тут і надалі при побудові епюр крутних моментів варто користуватися наступним правилом знаків: якщо дивитися на відкинуту частину з боку перерізу, у якому визначається крутний момент, то при обертанні зовнішнім моментом стержня за годинниковою стрілкою його треба брати зі знаком “”, і навпаки  при обертанні зовнішнім моментом вала проти годинникової стрілки крутний момент треба брати зі знаком “+”.

Розглянемо приклад побудови епюри крутних моментів.

Приклад 6.1. Побудувати епюру крутних моментів для вала, зображеного на рис.6.10,а.

Розв’язок:

1. Розіб'ємо вал на ділянки: I, II, III, IV і V.

2. Користуючись правилом для визначення крутних моментів, що було викладене вище, знаходимо:

; кНм;кНм;

кНм; .

Рис.6.10

Крутні моменти на ділянках I, II, III визначалися зліва, на ділянках IV, V  справа.

4. Відкладаємо отримані моменти від базисної лінії і будуємо епюру крутних моментів (Рис.6.10,б).

6.8. Виведення формул для напружень і деформацій при крученні валів

Розглянемо стержень круглого поперечного перерізу, на поверхні якого нанесена сітка, утворена системою утворюючих і кіл, що складають зовнішні контури перерізів (Рис.6.11).

Спостереження показують, що після закручування прямокутники, утворені сіткою, перекошуються, вісь стержня залишається прямолінійною, контури поперечних перерізів, круглі і плоскі до деформації, не змінюють своїх обрисів і після деформації. При крученні відбувається поворот одного перерізу стосовно іншого на кут, що називається кутом закручування. Відстань між поперечними перерізами практично не змінюється, а це вказує на відсутність поздовжніх деформацій. Якщо провести пряму уздовж радіуса поперечного перерізу вала в торцевому перерізі, то в процесі закручування ця пряма не викривляється.

Наведені спостереження дозволяють описати лише ті деформації, які відбуваються на поверхні вала, але не дозволяють робити будь-які висновки щодо деформацій внутрішніх волокон. У зв'язку з цим сформулюємо ряд гіпотез, які потім покладемо в основу наступних виводів. Ці гіпотези наступні:

1. Перерізи, плоскі до закручування, залишаються плоскими після закручування.

2. Радіуси, проведені у будь-якому поперечному перерізі, в процесі кручення не викривляються.

3. Поперечні перерізи, не віддаляючись один від одного в процесі деформації, лише ковзають один щодо іншого, у зв'язку з чим при крученні спостерігається деформація чистого зсуву.

Рис.6.11

Прийняті гіпотези дозволяють припустити, що при крученні круглого стержня в результаті зсуву виникають тільки дотичні напруження, а нормальні дорівнюють нулю.

Для виводу формули для дотичних напружень при крученні валів розглянемо вал радіуса , защемлений одним кінцем (Рис.6.12), на вільному кінці якого прикладемо пару сил з моментом.

На бічній поверхні вала проведемо утворюючу AD, яка після закручування займе положення АD₁. Під дією зовнішнього моменту переріз II повернеться на кут щодо жорсткого защемлення. Переріз II–II повернеться на кут. Таким чином, взаємний кут повороту перерізів I–I та II–II складатиме.

Розглянемо окремо елемент вала довжиною . Лівий переріз елемента будемо вважати нерухомим (Рис.6.13). Утворююча ВС нахилиться на малий куті займе положення ВС₁. Кут зсуву волокна, що належить поверхні вала, знайдемо з рівняння:

.

Рис.6.12

Для довільного волокна, що відстоїть від центра ваги на відстані , кут зсуву дорівнюватиме:

.

Рис.6.13

Застосовуючи для двох точок С₁ і D₁ закон Гука при зсуві (6.6), запишемо вираз для дотичних напружень:

; (6.26)

. (6.27)

Порівнюючи формули (6.26) і (6.27), приходимо до висновку, що дотичні напруження при крученні вала пропорційні відстані від осі вала. Найбільші напруження виникають у точках, найбільш віддалених від центра ваги перерізу.

Рис.6.14

Формула (6.27) являє собою закон зміни дотичних напружень уздовж радіуса поперечного перерізу вала. На рис.6.14 наведений графік зміни дотичних напружень.

Виділимо навколо точки на відстані від центра ваги площадкута обчислимо момент сили, що діє на цій площадці, відносно осі вала:

.

Повний крутний момент дорівнюватиме:

. (6.28)

Підставляючи у формулу (6.28) значення з формули (6.27), одержимо:

(6.29)

У формулі (6.29) величина для всіх точок поперечного перерізу однакова, тому її можна винести за знак інтеграла. Під знаком інтеграла залишиться величина, що являє собою полярний момент опору поперечного перерізу. Тоді вираз (6.29) перетвориться до вигляду:

або

. (6.30)

Підставляючи вираз для у формулу (6.27), одержимо:

. (6.31)

Вираз (6.31) є законом розподілу дотичних напружень уздовж радіуса перерізу і дозволяє визначити дотичне напруження у будь-якій точці поперечного перерізу. При , тобто в центрі ваги поперечного перерізу, дотичні напруження дорівнюють нулю. Максимальні напруження в перерізі виникають у найбільш віддалених волокнах від центра ваги перерізу при:

. (6.32)

Вираз (6.31) так само, як і вираз (6.27), встановлює прямо пропорційну залежність величини дотичних напружень від відстані точки до центра ваги перерізу. Графічно цей закон наведений на рис.6.14.

Величина називаєтьсяполярним моментом опору суцільного круглого перерізу при крученні і характеризує вплив розмірів перерізу на здатність елемента, що скручується, чинити опір зовнішнім навантаженням, не руйнуючись.

Кут закручування поперечного перерізу можна визначити з формули (6.30):

.

Інтегруючи цей вираз по всій довжині вала, одержимо:

. (6.33)

Якщо вал має постійний діаметр, а крутний момент по всій довжині вала не змінюється, то після інтегрування виразу (6.33), кут закручування виглядатиме так:

. (6.34)

Величина називаєтьсяжорсткістю поперечного перерізу вала при крученні і характеризує вплив геометричних розмірів поперечного перерізу і фізичних характеристик матеріалу на здатність вала чинити опір закручуванню.

Для східчастих валів або ж валів, у яких крутний момент змінюється за довжиною стрибкоподібно, кут закручування між початковим і кінцевим перерізами вала визначається як сума кутів закручування зі сталим відношенням :

, (6.35)

де  кількість ділянок вала.

Повний кут закручування не завжди може характеризувати жорсткість вала при крученні. Якщо уздовж вала крутні моменти мають різні знаки, то повний кут закручування може виявитися незначним, у той час як на окремих ділянках кут закручування може бути значним. У зв'язку з цим для оцінки жорсткості вала застосовується інша міра - відносний кут закручування

. (6.36)

Розмірність відносного кута закручування або.