Тема 7 внутрішні силові фактори згинання

7.1.Плоске поперечне згинання. Поперечна сила і згинальний момент

Плоского поперечного згинання зазнають такі стержневі конструкції як балки, рами, арки. Однією з необхідних умов виникнення плоского поперечного згинання є наявність площини симетрії у поперечного перерізу елемента конструкції. У тому випадку, якщо всі зовнішні сили лежать у площині симетрії або рівнодіюча зовнішніх сил лежить у площині симетрії, згинання буде плоским, зігнута вісь елемента залишається плоскою кривою, що перебуває у площині симетрії, яка збігається з силовою площиною. Такий вид згинання вважається простим видом деформації. Якщо при цьому у поперечних перерізах елемента, що згинається, виникають такі внутрішні силові фактори як поперечна сила і згинальний момент, то такий вид згинання називаєтьсяплоским поперечним згинанням.

Таким чином, при плоскому поперечному згинанні в поперечних перерізах елемента, що згинається, виникають тільки поперечна сила і згинальний момент.

Розглянемо згинання балки (Рис.7.1).

Рис.7.1

Розсічемо балку довільним перерізом у межах другої ділянки (Рис.7.2) і застосуємо наслідок з методу перерізів, відповідно до якого,головний вектор і головний момент усіх внутрішніх сил, що діють у розглянутому перерізі на частину балки, що залишилася, дорівнюють відповідно головному векторові і головному моментові всіх зовнішніх сил, які прикладені до відкинутої частини.

Рис.7.2

Тоді поперечна сила в перерізі дорівнюватиме:

(7.1)

Поперечна сила, що є проекцію головного вектора усіх внутрішніх сил, прикладених до частини тіла, що залишилася, чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій усіх зовнішніх сил, що діють по один бік від перерізу, на нормаль до поздовжньої осі балки. У даному випадку ми розглядали праву частину тіла як ту, що залишилася, а ліву  у якості відкинутої. Для практичних розрахунків значення не має, яку частину тіла приймати як ту, що залишилася, а яку  у якості відкинутої, тому що поперечна сила, що діє у перерізі (Рис.7.2) і характеризує вплив відкинутої частини на ту, що залишилася, і тієї, що діє на відкинуту частину тіла, за третім законом Ньютона є рівними за величиною. Це ж саме відноситься і до згинального моменту. Подібний підхід дозволяє визначати величину поперечної сили і згинаюльного моменту з різних сторін балки, що у ряді випадків суттєво спрощує розв’язання задачі.

Знак поперечної сили приймається додатним, якщо ліворуч від перерізу поперечна сила діє вгору або праворуч від перерізу діє униз. У протилежному випадку поперечна сила вважається від’ємною. Це правило ілюструється на мнемосхемі, зображеній на рис. 7.3.

Рис.7.3

Згинальний момент у перерізі у відповідності до наслідку з методу перерізів, який був викладений вище,являє собою головний момент усіх внутрішніх сил, прикладених до частини балки, що залишилася, чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моментів усіх зовнішніх сил, що діють з одного боку від розглянутого перерізу, відносно центра ваги цього перерізу.

(7.2)

Згинальний момент вважається додатним, якщо ліворуч від перерізу він діє за годинниковою стрілкою або праворуч  проти. У протилежному випадку згинальний момент вважається від’ємним (Рис.7.4).

Рис.7.4

Запропоноване правило знаків для згинального моменту має кінематичну ознаку. Тобто відповідно до цієї ознаки можна судити про знак згинального моменту за напрямком обертання перерізу. Крім цієї ознаки можна використовувати геометричну ознаку при визначенні знаку згинального моменту. Відповідно до цієї ознаки про знак згинального моменту судять по поведінці зігнутої осі балки. Якщо балка згинається опуклістю вниз, вважають, що згинальний момент, що діє в перерізі, є додатним. Якщо балка згинається опуклістю вгору, то згинальний момент вважається від’ємним. Це правило одержало назву правила парасольки: якщо вода збирається в парасольці  згинальний момент вважається додатним; якщо вода стікає вниз по поверхні парасольки  згинальний момент вважається від’ємним.

При розрахунку стержневих систем, що згинаються, зокрема, балок зазвичай будують епюри розподілу внутрішніх силових факторів уздовж балки. Це робиться з метою встановлення небезпечного перерізу, у якому внутрішні силові фактори можуть досягати екстремальних значень. Розглянемо кілька прикладів побудови епюр поперечних сил і згинальних моментів.

Приклад 7.1. Побудувати епюри поперечних сил і згинальних моментів для балки, зображеної на рис.7.5,а.

Рис.7.5

Розв’язок:

1. З умови рівноваги визначаємо реакції опор: ;.

2. Розсікаємо балку у довільному перерізі і складаємо рівняння для поперечної сили:

. (7.3)

Вираз (7.3) надає закон зміни поперечної сили в межах балки. З нього випливає, що поперечна сила не залежить від поздовжньої координати . Приі. Отже, поперечна сила в межах балки буде сталою (Рис.7.5,б).

3. Складаємо рівняння для згинального моменту:

. (7.4)

Вираз (7.4) є законом зміни згинального моменту від поздовжньої координати . При; при0. Згинальний момент змінюється уздовж балки за лінійним законом (Рис.7.5,в).

Аналізуючи побудовані епюри, дістаємо висновку, що небезпечним є переріз балки А, у якому діє найбільший за абсолютною величиною згинальний момент .

Приклад 7.2. Побудувати епюри поперечних сил і згинальних моментів для балки, зображеної на рис. 7.6,а.

Рис. 7.6

Розв’язок:

1. З умови рівноваги визначаємо реакції опор: .

2. Розсікаємо балку у довільному перерізі і складаємо рівняння для поперечної сили:

. (7.5)

Вираз (7.5) являє собою закон зміни поперечної сили уздовж балки, з якого випливає, що поперечна сила є лінійною функцією поздовжньої координати . При; при. Епюра для поперечної сили наведена на рис. 7.6,б.

3. Складаємо рівняння для згинального моменту:

. (7.6)

З виразу (7.6) випливає, що згинальний момент є квадратичною функцією поздовжньої координати . При0; при; при0. Епюра для згинального моменту наведена на рис.7.6,в.

Аналізуючи побудовані епюри, дістаємо висновку, що небезпечним є переріз посередині балки, у якому діє найбільший за абсолютною величиною згинальний момент .

Приклад 7.3. Побудувати епюри поперечних сил і згинальних моментів для балки, зображеної на рис. 7.7,а. Перетворимо розрахункову схему балки, зображену на рис.7.6,а. Для цього замінимо розподілене навантаження інтенсивності рівнодіючоюі прикладемо цю рівнодіючу посередині балки.

Рис.7.7

Розв’язок:

1. З умови рівноваги визначаємо реакції опор: . Як і очікувалось, опорні реакції залишилися за величиною такими ж самими.

2. Розіб'ємо балку на ділянки.

3. Розсічемо балку на першій ділянці перерізом і запишемо рівняння для поперечної сили:

. (7.7)

З рівняння (7.7) випливає, що поперечна сила від поздовжньої координати не залежить і є сталою на першій ділянці балки. Приі.

4. Рівняння для згинального моменту на першій ділянці запишемо у вигляді:

. (7.8)

З рівняння (7.8) випливає, що згинальний момент на першій ділянці балки є лінійною функцією поздовжньої координати . При0; при.

5. Для побудови епюр іна другій ділянці розташуємо початок координат у точці В. Поперечна сила на другій ділянці дорівнюватиме:

. (7.9)

З рівняння (7.9) випливає, що поперечна сила від поздовжньої координати не залежить і є сталою на другій ділянці балки. Приі.

Рівняння для згинального моменту на другій ділянці набуває вигляду:

. (7.10)

З рівняння (7.10) випливає, що згинальний момент на другій ділянці балки є лінійною функцією поздовжньої координати . При0; при. Епюри для поперечної сили та для згинального моменту зображені на рис.7.7,б та 7.7,в.

Аналізуючи епюри і, наведені на рис.7.7, і порівнюючи їх з відповідними епюрами, побудованими для балки у прикладі 7.2, можна зробити наступні висновки:

1. При заміні розподіленого навантаження зосередженою силою змінився характер розподілу внутрішніх силових факторів уздовж балки.

2. Величина максимального згинального моменту у прикладі 7.3 виявилася в два рази більшою за величину максимального згинального моменту у прикладі 7.2.

Отже, при побудові епюр поперечних сил і згинальних моментів не можна замінювати розподілене навантаження зосередженою силою. Така заміна може призвести до значних похибок при визначенні розрахункових значень внутрішніх силових факторів.

Приклад 7.4. Побудувати епюри поперечних сил і згинальних моментів для балки, зображеної на рис. 7.8,а.

Рис.7.8

Розв’язок:

1. З умови рівноваги визначаємо реакції опор: ;.

2. Поперечна сила уздовж всієї балки дорівнює нулю: .

3. Згинальний момент на першій ділянці . На другій ділянці згинальний момент знайдемо справа:. Згинальний момент на кожній з ділянок від поздовжньої координати не залежить. Отже, згинальний момент на кожній з ділянок балки буде величиною сталою. Епюра згинальних моментів зображена на рис.7.8,б.

Приклад 7.5. Написати вираз для поперечної сили і згинального моментув перерізідля балки, зображеної на рис.7.9.

Рис.7.9

Розв’язок:

1. Рівняння для поперечної сили має вигляд:

.

2. Рівняння для згинального моменту набуває вигляду:

.

У прикладах 7.17.5 застосовувався аналітичний метод побудови епюр поперечних сил і згинальних моментів. Аналізуючи епюри і, побудовані для балок у прикладах 7.17.4, можна сформулювати два наслідки про стрибки:

1. Якщо на балку у будь-якому перерізі діє зосереджена сила, то на епюрі поперечних сил у цьому перерізі спостерігається стрибок на величину цієї сили у напрямку її дії при побудові епюри зліва направо. На епюрі згинальних моментів у цьому перерізі спостерігається злам.

2. Якщо на балку в будь-якому перерізі діє зосереджена пара сил, то на епюрі згинальних моментів у цьому перерізі спостерігається стрибок на величину момента цієї пари. На епюрі поперечних сил у цьому перерізі ніяких змін не спостерігається.