7.4. Метод “характерних” перерізів

Диференціальні залежності між інтенсивністю розподіленого навантаження, поперечною силою і згинальним моментом і викладені вище наслідки з цих залежностей дозволяють не тільки контролювати правильність побудови епюр внутрішніх силових факторів при згинанні, але і будувати епюри поперечних сил і згинальних моментів за “характерними” перерізами. Цей метод істотно відрізняється від аналітичного методу, тому що в результаті його застосування не можна одержати рівняння розподілу внутрішніх силових факторів у межах розглянутої ділянки елемента конструкції, що згинається. За допомогою цього методу можна одержати лише величини поперечної сили і згинального моменту в тому або іншому перерізі. Однак такий підхід у сполученні з використанням наслідків з диференціальних залежностей між інтенсивністю розподіленого навантаження, поперечною силою і згинальним моментом дозволяє швидко і якісно будувати епюри різної складності. “Характерними” будемо називати поперечні перерізи, розташовані нескінченно близько до меж ділянок елемента конструкції, що зазнає деформації згинання.

Розглянемо застосування цього методу на прикладі.

Приклад 7.8. Побудувати епюри поперечних сил і згинальних моментівдля балки, зображеної на рис.7.16,а, з використанням методу “характерних” перерізів.

Рис.7.16

Розв’язок:

1. Визначаємо опорні реакції. Для цього складемо два рівняння рівноваги:

; (а)

. (б)

З рівняння (а) знаходимо величину реакції :

кН.

З рівняння (б) знаходимо величину реакції :

кН.

Виконуємо перевірку. Для цього складемо рівняння проекцій усіх сил, що діють на балку, на вертикальну вісь :

.

2. Розбиваємо балку на ділянки і проставляємо “характерні” перерізі №1№6 на межах ділянок.

3. Визначаємо величини для поперечної сили в кожному з “характерних” перерізів:

кН; кН;кН;

кН; кН;кН.

Відкладаємо від базисної лінії знайдені значення для поперечних сил у кожному з “характерних” перерізів і з'єднуємо отримані точки, керуючись наслідками з диференціальних залежностей між інтенсивністю розподіленого навантаження, поперечною силою і згинальним моментом.

На ділянці №1 розподілене навантаження відсутнє. Отже, на підставі першого наслідку з диференціальних залежностей поперечна сила буде сталою. З'єднуємо точки, що відповідають значенням поперечних сил, що були знайдені у перерізах №1 і №2, горизонтальною прямою. На другій ділянці діє розподілене навантаження сталої інтенсивності. Отже, на підставі наслідку №2 з диференціальних залежностей поперечна сила має мінятися за лінійним законом. Тому з'єднуємо точки, що відповідають значенням поперечних сил, знайденим у перерізах №3 і №4, похилою прямою. На ділянці №3 розподілене навантаження так само, як і на ділянці №1, відсутнє. Отже, на підставі першого наслідку з диференціальних залежностей поперечна сила на ділянці буде сталою. З'єднуємо точки, що відповідають значенням поперечних сил, що були знайдені у перерізах №5 і №6, горизонтальною прямою.

При побудові епюри поперечних сил варто звертати увагу на можливі стрибки в тих перерізах, де прикладені зосереджені сили. Так, у перерізах №2 і №3 значення для поперечних сил відрізняються на величину сили кН. У перерізах №4 і №5 значення для поперечних сил відрізняються на величину реакціїкН. У перерізі №6 також спостерігається стрибок на величину силикН в напрямку її дії при побудові епюри зліва направо.

4. Знаходимо значення для згинального моменту в кожному з “характерних” перерізів:

; кНм;кНм;

кНм; кНм;.

Відкладаємо від базисної лінії знайдені значення для згинальних моментів в кожному з “характерних” перерізів і з'єднуємо отримані точки, керуючись наслідками з диференціальних залежностей між інтенсивністю розподіленого навантаження, поперечною силою і згинальним моментом.

На ділянці №1 розподілене навантаження відсутнє. Отже, на підставі першого наслідку з диференціальних залежностей згинальний момент буде мінятися за лінійним законом. З'єднуємо точки, що відповідають значенням згинальних моментів, знайдених у перерізах №1 і №2, похилою прямою. На другій ділянці діє розподілене навантаження сталої інтенсивності. Отже, на підставі наслідку №2 з диференціальних залежностей згинальний момент має мінятися за законом квадратної параболи. При цьому на підставі наслідку №4 опуклість на епюрі згинальних моментів має бути повернена назустріч розподіленому навантаженню, тобто вгору. З'єднуємо точки, що відповідають значенням згинальних моментів, що були знайдені у перерізах №3 і №4 параболою, поверненою опуклістю вгору. На ділянці №3 розподілене навантаження так само, як і на ділянці №1, відсутнє. Отже, на підставі першого наслідку з диференціальних залежностей згинальний момент буде мінятися за лінійним законом. Тому з'єднуємо точки, що відповідають значенням згинальних моментів, що були знайдені у перерізах №5 і №6, похилою прямою. Стрибків на епюрі згинальних моментів не спостерігається, тому що відсутні зосереджені моменти, прикладені до балки. Варто звернути увагу, що в перерізах, у яких є стрибки на епюрі поперечних сил, на епюрі згинальних моментів мають бути злами.

Знайдемо величину максимального згинального моменту . На другій ділянці балки поперечна сила змінює знак, перетинаючи базисну лінію. Переріз, у якому поперечна сила дорівнює нулю, також вважається “характерним”. У цьому перерізі згинальний момент сягає екстремальної величини на розглянутій ділянці. Для розглядуваної балки згинальний момент буде максимальним на підставі диференціальної залежності (7.15), тому що інтенсивність розподіленого навантаження.

Для визначення максимального згинального моменту спочатку визначимо координату перерізу, у якому момент є максимальним. Для цього на епюрі поперечних сил сформуємо два трикутники (контур одного з трикутників показаний пунктиром). Один з розглянутих трикутників має невідомий катет довжиною , який і треба визначити. Виділені трикутники є подібними за трьома кутами. Складемо пропорцію:, розв’язуючи яку відносно , одержимо.

Максимальний згинальний момент можна визначити двома способами:

1. Розташовуючи початок координат у точці А балки на лівому її кінці, обчислимо координату перерізу, у якому згинальний момент сягає максимальної величини: м, складаємо вираз для згинального моменту для зазначеного перерізу і підставляємо в цей вираз координатум. Одержимо:

кНм.

2. Використовуючи наслідок №5 з диференціальних залежностей між інтенсивністю розподіленого навантаження, поперечною силою і згинальним моментом, максимальний згинальний момент знайдемо, додавши до значення величини згинального моменту в перерізі С площу епюри поперечної сили на ділянці довжиною:

кНм.

Останній спосіб визначення згинальних моментів у деяких випадках має перевагу, тому що істотно заощаджує час.

Приклад 7.9. Використовуючи метод “характерних” перерізів, побудувати епюри розподілу поперечних сил , згинальних моментіві поздовжньої силидля статично визначуваної рами, зображеної на рис.7.17.

Розв’язок:

1.Визначаємо опорні реакції:

; (а)

; (б)

. (в)

З рівняння (а) знаходимо реакцію :

кН.

З рівняння (б) знаходимо реакцію :

кН.

Рис.7.17

З рівняння (в) знаходимо реакцію :

кН.

Реакції є додатними. Отже, їх напрямки обрані правильно.

Виконуємо перевірку. Для цього складемо суму проекцій усіх сил на вісь . Ця сума має тотожно дорівнювати нулю:

2. Розставляємо реакції, розбиваємо раму на ділянки, вибираємо точку спостереження, розставляємо знаки на кожній ділянці для поперечних сил і згинальних моментів і розставляємо номери “характерних” перерізів зліва направо. При цьому знак “+” має знаходитися над ділянкою, знак “” – під ділянкою.

3. Визначаємо значення поперечних сил в “характерних” перерізах рами:

; кН;кН;кН;кН;кН;кН;кН.

Будуємо епюру поперечних сил (Рис.7.18):

Рис.7.18

4. Визначаємо значення для згинальних моментів в “характерних” перерізах рами:

; кНм;;кНм;

кНм; кНм;

кНм; .

Будуємо епюру згинальних моментів (Рис.7.19):

Рис.7.19

5. Виконуємо статичну перевірку. Статична перевірка полягає у кінематичній перевірці рівноваги вузлів рами. Виріжемо перерізами №2, №4 і №5 перший вузол С і зобразимо його на рис.7.20,а. Прикладемо до вузла моменти, що характеризують вплив відкинутої частини рами на вузол. Ці моменти чисельно дорівнюють значенням згинальних моментів відповідно в перерізах №2, №4 і №5. Напрямки дії цих моментів визначаються правилом знаків для згинальних моментів. Значення моментів на рис.7.20 наведені в кНм.

Рис.7.20

Розглядаючи рівновагу вузла С, виділеного з рами перерізами №2, №4 і №5, складемо рівняння рівноваги для суми моментів відносно центра вузла. У даному випадку варто враховувати, що на вузол С діє заданий зовнішній момент .

. (а)

Як випливає з рівняння (а), вузол знаходиться у рівновазі. Виконаємо перевірку вузла D, виділеного з рами перерізами №6 і №7 (Рис.7.20,б). Складемо суму моментів, що діють на вузол D:

(б)

Як випливає з рівняння (б), вузол D також знаходиться у рівновазі.

6. Визначаємо величину поздовжньої сили в стержнях рами. Для цього виріжемо перерізами №2, №4 і №5 вузол C і зобразимо його на рис.7.21,а. Прикладемо до вузла C поздовжні зусилля і поперечні сили, що характеризують вплив відкинутої частини рами на вузол. Ці зусилля чисельно дорівнюють значенням відповідно поздовжніх і поперечних сил у перерізах №2, №4 і №5. Напрямки дії цих зусиль визначаються правилом знаків для поздовжніх зусиль і поперечних сил. Значення поперечних сил на рис.7.21 наведені в кН.

Складемо суми проекцій сил, прикладених до вузла C, на осі і:

(в)

(г)

Рис.7.21

Розглядаючи рівняння (в), виявляємо, що в цьому рівнянні є дві невідомі поздовжні сили і. Розв’язати це рівняння щодо зусиль інеможливо. Знайдемо спочатку зусилля, розглянувши рівновагу ділянки рами, обмеженої перерізами №3 і №4 (Рис.7.22).

Рис.7.22

Складемо для зображеного на рис.7.22 стержня умову рівноваги прикладених до стержня сил, проектуючи сили на вісь :

, (д)

звідки .

Але зусилля , тому що в перерізі №3 відсутні сили, що діють уздовж ділянки стержня 34 (Рис.7.17). Отже, зусилля . Тепер можна визначити інші поздовжні зусилля, що діють у вузлі C. З рівняння (в) знаходимо:

кН.

З рівняння (г) знайдемо зусилля :

кН.

Знайдемо поздовжні зусилля у перерізах №6 і №7. Для цього складемо рівняння рівноваги сил, прикладених до вузла D на горизонтальну і вертикальну вісі координат і(Рис.7.21,б). При складанні цих рівнянь не слід забувати, що у вузлі D діє зосереджена сила.

; (е)

. (ж)

З рівняння (е) знаходимо поздовжню силу в перерізі №6:

кН.

З рівняння (ж) знаходимо поздовжню силу в перерізі №7:

кН.

Відкладаємо знайдені значення для поздовжньої сили від базисної лінії і будуємо епюру поздовжніх зусиль (Рис.7.23).

Рис.7.23

Наведені приклади побудови епюр поперечних сил і згинальних моментів для балок і епюр поперечних сил, згинальних моментів і поздовжніх зусиль для рам дозволяють одержати наочну уяву про переваги і недоліки методу “характерних” перерізів. До числа переваг цього методу можна віднести простоту визначення внутрішніх силових факторів. До числа недоліків – відсутність аналітичних законів розподілу внутрішніх силових факторів уздовж елементів конструкції. Однак, використання диференціальних залежностей між інтенсивністю розподіленого навантаження, поперечною силою і згинальним моментом для аналізу поведінки розподілу внутрішніх зусиль і наслідків з них значною мірою компенсує останній недолік.