7.2. Диференціальні залежності при згинанні

Виділимо з балки (Рис.7.10) відрізок нескінченно малої довжини (Рис.7.11) і розглянемо його рівновагу:

; (7.11)

. (7.12)

Рис.7.10

Рис.7.11

З рівняння (7.11) після взаємних скорочень одержимо наступну диференціальну залежність:

. (7.13)

З рівняння (7.12), нехтуючи величиною другого порядку малості , після взаємних скорочень одержуємо:

. (7.14)

Використовуючи залежності (7.13)(7.14), одержуємо ще одну диференціальну залежність:

. (7.15)

Наведені диференціальні залежності встановлюють зв'язок між інтенсивністю розподіленого навантаження , поперечною силоюта згинальним моментомі дозволяють контролювати якість побудови епюр поперечних сил і згинальних моментів.

7.3. Наслідки з диференціальних залежностей

Контроль якості епюр іздійснюється за допомогою наступних наслідків з диференціальних залежностей:

1. Якщо на ділянці балки відсутнє розподілене навантаження, поперечна сила на цій ділянці буде величиною сталою, а згинальний момент буде мінятися за лінійним законом. Покажемо це.

Розглянемо диференціальну залежність (7.13). Перепишемо її у вигляді

і проінтегруємо. Інтеграл візьмемо невизначений. В результаті інтегрування одержимо:

, (7.16)

де  стала інтегрування.

З виразу (7.16) випливає, що при відсутності розподіленого навантаження () поперечна сила буде величиною сталою.

Розглянемо тепер диференціальну залежність (7.14). Перепишемо її у вигляді:

і проінтегруємо. В результаті інтегрування одержимо:

. (7.17)

Підставляючи в (7.16) вираз для поперечної сили (7.16) і інтегруючи, одержуємо:

. (7.18)

Тут  стала інтегрування.

З виразу (7.18) випливає, що при згинальний момент є лінійною функцією поздовжньої координати.

2. Якщо на ділянці балки діє розподілене навантаження сталої інтенсивності, то поперечна сила міняється за лінійним законом, а згинальний момент міняється за законом квадратної параболи.

Для доведення досить розглянути вирази (7.16) і (7.18) при .

3. Якщо у будь-якому перерізі на ділянці балки епюра поперечної сили перетинає базисну лінію (), то згинальний момент у цьому перерізі досягає екстремальної величини на ділянці.

Доведення цього наслідку одержимо з виразу (7.14). Залишається тільки з'ясувати, який екстремум виникає: максимум або мінімум. Для цього розглянемо наслідок №4.

4. Опуклість на епюрі згинальних моментів завжди повернена в сторону, протилежну дії розподіленого навантаження.

Сформульований наслідок випливає з аналізу диференціальної залежності (7.15). Розглянемо поведінку епюри згинальних моментів для двох випадків дії розподіленого навантаження сталої інтенсивності (Рис.7.12,а,б).

Рис.7.12

Аналізуючи залежність (7.15), дістаємо висновку, що при від’ємній інтенсивності (Рис.7.12,а) згинальний момент у тому перерізі, де поперечна сила дорівнює нулю, сягаємаксимального значення, тому що друга похідна від функції згинального моменту відповідно до виразу (7.15) буде від’ємною. У цьому випадку опуклість на епюрі згинального моменту буде повернена вгору, тобто назустріч напрямкові розподіленого навантаження. На рис.7.12,б інтенсивність розподіленого навантаження є додатною. У цьому випадку друга похідна від функції згинального моменту також буде додатною відповідно до виразу (7.15). Отже, згинальний момент у тому перерізі, де поперечна сила дорівнює нулю, сягаємінімального значення. Опуклість на епюрі згинального моменту, як і в попередньому випадку, буде повернена назустріч напрямкові інтенсивності розподіленого навантаження.

5. Збільшення функції згинального моменту на розглянутій ділянці чисельно дорівнює площі епюри попреречних сил на цій ділянці з відповідним знаком. При побудові епюри для згинального моменту зліва направо знаки збільшення функції згинального моменту і площі епюри поперечних сил збігаються. При побудові епюри для згинального моменту справа наліво знаки збільшення функції згинального моменту і площі епюри поперечних сил протилежні. Покажемо це.

На рис.7.13 зображені епюри поперечних сил (Рис.7.13,а) і згинальних моментів (Рис.7.13,б). Скористаємося диференціальною залежністю (7.14) для визначення згинального моменту у перерізі В, якщо значення згинального моменту в перерізі А відоме. Проінтегруємо вираз (7.14) у межах довжини ділянки :

(7.19)

Рис.7.13

Тут  за визначенням для визначеного інтеграла є площею епюри поперечних сил на ділянці довжиною.

Таким чином, згинальний момент у перерізі В може бути знайдений з виразу:

. (7.20)

Знак збільшення функції згинального моменту в даному випадку додатний, тому що епюра згинальних моментів була побудована зліва направо, і знак площі епюри поперечних сил на всій розглянутій ділянці є додатним.

Скористаємося викладеними наслідками з диференціальних залежностей для контролю якості правильності побудови епюр поперечних сил і згинальних моментів. Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 7.6. Яка з епюр поперечних сил, зображених на рис.7.14, побудована правильно?

Аналізуючи епюри для поперечних сил, наведені на рис.7.14, дістаємо висновку, що правильною виявляється епюра, наведена під номером 2. При аналізі правильності побудови епюри для поперечної сили варто використовувати наслідки про стрибки, викладені в підрозділі 7.1, і наслідки з диференціальних залежностей, викладені в даному підрозділі.

Починати аналіз треба або з визначення опорних реакцій і проставлення їх на схемі балки, або з вибору можливих напрямків опорних реакцій без попереднього визначення їх величини. Потім варто задати собі питання: чи можливий в перерізі А стрибок на величину реакції ?

Рис.7.14

Так, стрибок можливий у напрямку реакції на її величину. Цьому випадкові відповідають епюри, зображені під номерами 1, 2, і 4. Отже, з подальшого розгляду варто виключити варіант №3. Далі варто звернути увагу на наявність розподіленого навантаження на першій ділянці. Розподілене навантаження на першій ділянці відсутнє, отже, на підставі наслідку №1 з диференціальних залежностей поперечна сила на першій ділянці балки має бути сталою. Цій умові відповідають усі три з варіантів, що залишилися. У перерізі С до балки прикладена зосереджена сила. На підставі першого наслідку про стрибки в цьому перерізі має бути стрибок на величину силиу напрямку її дії. Цьому випадкові з варіантів, що залишилися, відповідають варіанти №1 і №2. Таким чином, варіант №4 відпадає. Далі досліджуємо поведінку епюри для поперечної сили на другій ділянці. На цій ділянці діє розподілене навантаження інтенсивності. На підставі другого наслідку з диференціальних залежностей на ділянці, де діє розподілене навантаження, поперечна сила має мінятися за лінійним законом. Цьому випадку відповідає тільки варіант №2 з двох варіантів, що залишилися. Таким чином, з чотирьох можливих варіантів нами обраний варіант епюри для поперечних сил під номером 2. Простежимо подальшу поведінку епюри поперечних сил для варіанта №2. У перерізі В діє опорна реакція. Тому на епюрі поперечних сил має спостерігатися стрибок на величину цієї реакції в напрямку її дії. Такий стрибок дійсно спостерігається. На третій ділянці балки відсутнє розподілене навантаження. Отже, поперечна сила на цій ділянці має бути сталою, що і спостерігається на епюрі для поперечної сили під номером 2. І, нарешті, у перерізі D на епюрі для поперечної сили має бути стрибок на величину сили, що діє в цьому перерізі, у напрямку дії цієї сили. Дійсно, такий стрибок на епюрі поперечної сили в перерізі D спостерігається.

Розглянемо приклад аналізу правильності побудови епюри для згинального моменту з використанням наслідків про стрибки і наслідків з диференціальних залежностей.

Приклад 7.7. Яка з епюр згинальних моментів, зображених на рис.7.15, побудована правильно?

Рис.7.15

На рис.7.15 варіанти епюр згинальних моментів позначені цифрами 1, 2, 3, 4. Який з цих варіантів правильний? Аналіз почнемо з визначення величини згинального моменту в перерізі А. У цьому перерізі згинальний момент має дорівнювати нулю. Такий результат відповідає усім варіантам. На першій ділянці відсутнє розподілене навантаження і відповідно до першого наслідку з диференціальних залежностей згинальний момент має на цій ділянці змінюватися за лінійною залежністю. Дійсно, для всіх чотирьох варіантів цей наслідок виконується. Однак, відповідно до п'ятого наслідку з диференціальних залежностей на першій ділянці має спостерігатися підйом на епюрі згинальних моментів, тому що поперечна сила на цій ділянці є додатною. Нагадаємо, що відповідно до п'ятого наслідку збільшення функції згинального моменту на ділянці чисельно дорівнює площі епюри поперечних сил. Знак збільшення функції згинального моменту збігається зі знаком площі епюри поперечних сил при побудові епюри зліва направо. Таким чином, з урахуванням цього наслідку варіант епюри для згинального моменту під №1 відпадає, тому що на першій ділянці на епюрі згинальних моментів спостерігається не підйом, а спуск. У перерізі С на епюрі поперечних сил спостерігається стрибок, тому на епюрі згинальних моментів в цьому перерізі має спостерігатися злам. Для епюр згинальних моментів з номерами 2 і 3 цей злам незначний, для варіанту №4 цей злам виявляється досить значним. На другій ділянці діє розподілене навантаження сталої інтенсивності. У відповідності до другого наслідку з диференціальних залежностей на цій ділянці епюра згинальних моментів має мінятися за законом квадратної параболи. Дійсно, для усіх варіантів, що залишилися, згинальний момент на другій ділянці міняється за законом квадратної параболи, але відповідно до четвертого наслідку з диференціальних залежностей на цій ділянці опуклість на епюрі згинальних моментів має бути повернена назустріч напрямкові інтенсивності розподіленого навантаження. Це явище ми спостерігаємо на епюрах під номерами 2 і 3. На епюрі згинального моменту під номером 4 опуклість повернена в той самий бік, що й інтенсивність розподіленого навантаження. Тому варіант епюри згинальних моментів під номером 4 є неправильним. Таким чином, залишаються варіанти під номерами 2 і 3. Який з цих варіантів є правильним? Звернемося до перерізу С. У цьому перерізі діє зосереджена пара сил з моментом . У відповідності до другого наслідку про стрибки в цьому перерізі має спостерігатися стрибок на епюрі згинальних моментів на величину зовнішнього моменту. На епюрі з номером 3 такий стрибок є. На епюрі згинального моменту з номером 2 стрибок відсутній. На підставі викладеного робимо висновок, що варіант епюри згинального моменту з номером 2 є неправильним. Правильним виявився варіант з номером 3. Простежимо, як поводиться епюра згинальних моментів на третій ділянці балки. Поперечна сила на цій ділянці є додатною, а це є ознакою того, що на епюрі згинальних моментів на цій ділянці має спостерігатися підйом, що ми і бачимо на епюрі під номером 3.

У наведених прикладах проілюстрована можливість аналізу правильності побудови епюр поперечних сил і згинальних моментів. Використання наслідків про стрибки і наслідків з диференціальних залежностей між інтенсивністю розподіленого навантаження, поперечною силою і згинальним моментом дозволяє будувати “якісні” (без розрахунку) епюри і. У деяких випадках швидка “якісна” побудова епюр поперечних сил і згинальних моментів дозволяє інженерові заощаджувати час і дає можливість виділити небезпечні перерізи і прийняти відповідне рішення.