6.3. Аналіз напруженого стану при чистому зсуві

Дослідимо напружений стан при чистому зсуві: визначимо величину екстремальних нормальних напружень і їх напрямки. Для цього скористаємося отриманими в темі №3 виразами (3.19) для величин головних напружень і (3.20) для визначення їх напрямків.

Підставляючи у формули (3.19) ,, одержимо:. Звідки,.

Напрями головних напружень визначимо з формул (3.20):

. Звідки ;

. Звідки .

Для визначення положення головних площадок знайдені кути будемо відкладати від додатного напряму осі до нормалі до відповідної площадки (Рис.6.5).

Рис.6.5

Таким чином, при чистому зсуві головні напруження – стискальні і розтягальні – рівні між собою і чисельно дорівнюють екстремальним дотичним напруженням. Головні площадки складають з площадками чистого зсуву кут, який дорівнює 45⁰.

На рис.6.5 пунктиром показаний ромб , у який перетворився квадратв результаті деформації. Як видно з рис.6.5, змінилися прямі кути елемента, змінили свою довжину діагоналі елемента: діагональас під дією розтягальних напружень подовжилася, діагональ cd  скоротилася. Сторони ж елемента не змінюють своєї довжини, тому що на гранях елемента відсутні нормальні напруження. Очевидно, об’єм елемента в процесі деформації не змінився.

Дійсно, чистий зсув являє собою єдиний вид плоского напруженого стану, при якому відсутня зміна об’єму матеріалу, а будь-який виділений елемент змінює тільки форму. Щоб це показати, обчислимо за допомогою формули (3.82) відносну зміну об’єму приі:

.

Як і очікувалось, відносна зміна об’єму виявилася рівною нулю.

6.4. Закон Гука при чистому зсуві. Вивід залежності між модулями пружності першого і другого роду

Розглянемо деформацію елемента, обмеженого площадками чистого зсуву (Рис.6.6) [3].

Рис.6.6

Величину назвемо абсолютним зсувом. З трикутникавипливає що; з огляду на малість кута, можна прийняти, звідки маємо:

. (6.5)

Величину у формулі (6.5) назвемовідносним зсувом або кутом зсуву.

Розглянемо деякі результати експериментальних досліджень. Якщо скручувати тонкостінну трубу з пластичної сталі, то між дотичними напруженнями і кутом зсуву можна знайти залежність, графік якої являє собою так звану діаграму зсуву (Рис.6.7), яка нагадує собою діаграму напружень при осьовому розтяганні. Тут так само, як і на діаграмі напружень при розтяганні можна знайти такі характеристики міцності, як границя пропорційності , границя текучості, границя міцності. Так само, як і при розтяганні, при сталому напруженніспостерігається значне зростання зсувів (текучість при зсуві), яке змінюється потім стадією зміцнення.

Рис.6.7

З діаграми зсуву випливає, що в межах пружності між відносним зсувом і дотичними напруженнями існує лінійна залежність, яка може бути виражена у формі закону Гука при зсуві:

, (6.6)

де  модуль пружності при зсуві або модуль пружності другого роду. Розмірність модуля пружності  (МПа). Для кожного матеріалу модуль пружності має своє значення. Так, для сталі МПа; для алюмініюМПа. Величина модуля зсувувизначається експериментально.

Розрахунки показали, що для ізотропних матеріалів між модулем зсуву і модулем пружності при розтяганнііснує залежність. Знайдемо її. Для цього розглянемо деформацію елемента, що зазнає чистого зсуву (Рис.6.6). Виразимо довжину діагоналі АСчерез розмір сторони елемента:

.

Абсолютне подовження діагоналі елемента , виражене через абсолютний зсув, має вигляд:

.

Тоді відносне подовження діагоналі

.

Відносний зсув з закону Гука при чистому зсуві (6.6) дорівнює:

.

Підставляючи значення відносного зсуву, вираженого через величину дотичних напружень, у попередню формулу, одержимо:

. (6.7)

Для подальшого висновку скористаємося узагальненим законом Гука (3.73). Відповідно до цього закону найбільша відносна лінійна деформація збігається за напрямком з головним напруженням, що у свою чергу в розглянутому випадку напруженого стану діє уздовж діагоналі АС. Отже, отримане подовження(6.7) може бути обчислене як найбільша деформаціяз узагальненого закону Гука при:

.

З огляду на те, що при чистому зсуві , а, одержимо вираз дляв наступному вигляді:

. (6.8)

З порівняння формул (6.7) і (6.8) знайдемо:

. (5.9)

Формула (6.9) показує, що три пружні фізичні константи ізотропних матеріалів іпо'язані між собою. Якщо знайти з експерименту дві з них, можна третю порахувати за формулою (6.9). Наприклад, для сталі приМПа і коефіцієнті Пуассоназначення модуля зсуву знайдемо з формули (6.9):

МПа.

Це значення для модуля зсуву збігається з експериментальним значенням.

Запишемо вираз для абсолютного зсуву при чистому зсуві. Позначаючи площу грані елемента (Рис.6.6) через, рівнодіючу силу, одержимо:

, тобто . (6.10)

Формула (6.10) виражає закон Гука при зсуві в абсолютних величинах. Добуток модуля зсуву на площу в знаменнику формули (6.10) називається жорсткістю поперечного перерізу при зсуві.