8.4. Визначення дотичних напружень при згинанні

На відміну від чистого згинання при поперечному згинанні в перерізі бруса виникає не тільки згинальний момент, але й поперечна сила. Тому в поперечному перерізі поряд з нормальними напруженнями виникають також і дотичні напруження.

Досвід показує, що дотичні напруження виникають також і в поздовжніх перерізах і викликають зсув окремих волокон одне відносно одного.

Внаслідок зсуву гіпотеза плоских перерізів при поперечному згинанні порушується, плоскі до деформації перерізи злегка викривляються.

Теоретичні та експериментальні дослідження цього питання показали, що вплив зазначеного ефекта на величину нормальних напружень незначний і тому впливом зсуву на закон розподілу нормальних напружень нехтують. Таким чином, гіпотеза плоских перерізів умовно поширюється також і на поперечне згинання.

Тому для визначення нормальних напружень при поперечному згинанні застосовують ту ж саму формулу, що була отримана для чистого згинання (8.13).

Для виводу формули для дотичних напружень виріжемо з балки (Рис.8.11) елемент довжиною і додатковим поздовжнім перерізом розсічемо його на дві частини (Рис.8.12).

Рис.8.11

Розглянемо рівновагу однієї з відсічених частин, наприклад, верхньої, на яку з обох торців діють стискальні напруження (Рис.8.12,а).

Рис.8.12

З правого боку у кожній площадці нормальне напруження більше, ніж з лівого, на величину. Зважаючи на те, що згинальний момент праворуч більший, ніж ліворуч, на величину, то:

.

Стискальна сила, що діє на відсічену частину з правого боку, більша, ніж з лівого, на величину:

. (8.20)

Інтегрування поширюється на площу відсіченої частини , яка заштрихована на рис.8.11,в.

Інтеграл у виразі (8.20) являє собою статичний момент відсіченої частини відносно нейтральної лінії перерізу :

.

Тому

.

Для того, щоб відсічена частина елемента знаходилася в рівновазі, у поздовжньому перерізі до неї мають бути прикладені дотичні напруження(Рис.8.11,а). Ці напруження створюють дотичну силу, що за умовою рівновагиповинна дорівнювати силі:

,

або

. (8.21)

Однак для визначення напружень треба знати закон їх розподілу по ширині балки. Зробимо припущення, що напруженнярозподілені рівномірно по ширині перерізу. При такому припущенні силавизначається з виразу:

,

де  ширина поперечного перерізу в тій точці, у якій визначається дотичне напруження.

З огляду на рівняння (8.21), одержимо:

.

Але

,

тому остаточно маємо:

. (8.22)

Ця формула одержала назву формули Журавського, який вперше встановив наявність дотичних напружень при згинанняі.

Дмитро Іванович Журавський – російський механік і інженер – брав участь у будівництві Миколаївської залізниці з Петербурга в Москву, спроектував і побудував металевий шпиль Петропавлівського собору в Петербурзі. Його роботи присвячені застосуванню математичних методів у будівельній механіці. Він уперше дав визначення дотичних напружень у балках, що згинаються, і вивів формулу для визначення дотичних напружень при згинання.

На підставі закону парності дотичних напружень, відповідно до якого на двох взаємоперпендикулярних площинах діють однакові за величиною і протилежні за знаком дотичні напруження, отримана формула визначає дотичні напруження в поперечному перерізі балки в точках, що лежать на лінії (Рис.8.12,в).

З формули (8.22) видно, що дотичні напруження міняються по висоті перерізіу за тим самим законом, що і величина .

У прямокутному перерізі, у якого const, закон розподілу дотичних напружень по висоті перерізу буде таким самим, як і для статичного моменту площі відсіченої частини .

У будь-якому поперечному перерізі статичний момент площі відсіченої частини для самих віддалених точок дорівнює нулю, тому що . Тому і дотичні напруження в цих точках також дорівнюють нулю.

Розглянемо приклади побудови епюр дотичних напружень для деяких типів поперечних перерізів.

Приклад 8.4. Прямокутний переріз.

Визначити величину дотичного напруження при згинанні у точці К поперечного перерізу, якщо поперечна сила кН. Знайти максимальне дотичне напруження в перерізі і побудувати епюру розподілу дотичних напружень по висоті перерізу.

Розв’язок:

1. Спочатку одержимо закон розподілу дотичних напружень по висоті перерізу. Для цього візьмемо довільну точку К, яка розташована від нейтральної лінії перерізіу на відстані(Рис.8.13).

Рис.8.13

Проведемо через цю точку переріз, слід якого паралельний осі ; ширина цього перерізу буде. Статичний момент площі відсіченої (заштрихованої) частини дорівнює:

; ,

отже:

.

Як відомо,

.

Підставляючи отримані значення у формулу (8.22), одержимо:

. (8.23)

Формула (8.23) показує, що дотичні напруження по висоті перерізу змінюються за законом квадратної параболи. При одержимо, а прибудемо мати:

. (8.24)

На рис.8.13 наведений загальний вигляд епюри , при побудові якої ординати, що чисельно дорівнюють дотичним напруженням, відкладені перпендикулярно прямій, паралельній осі.

2. Знайдемо чисельне значення величини максимального дотичного напруження і напруження у точці К. Припустимо, що координата точки К дорівнює см. Скористаємося виразом (8.23):

МПа.