8.2. Визначення нормальних напружень при згинанняі

Розглянемо балку, що зазнає чисте згинання парами (Рис.8.3).

Рис.8.3

Розріжемо балку перерізіом не дві частини і розглянемо умови рівноваги однієї з них, наприклад, лівої, показаної на рис.8.3. Для простоти креслення балка має прямокутний переріз. Зважаючи на те, що практично викривлення балки незначні у порівнянні з її розмірами, відсічена частина зображена недеформованою.

Лінія перетинання площини симетрії балки з площиною перерізу прийнята за вісь . Нейтральна лінія перерізу прийнята за вісь, причому положення її по висоті балки поки невідоме. Вісьузята уздовж нейтрального шару перпендикулярно осямі.

У кожній точці поперечного перерізу діють нормальні напруження . Виділивши навколо будь-якої точки з координатамиіелементарну площадку, позначимо силу, що діє на цій площадці, як.

Відсічена частина балки знаходиться у рівновазі під дією зовнішніх сил, що утворюють пари , і нормальних зусиль, що замінюють відкинуту частину балки. Для рівноваги ця система повинна задовольняти шести рівнянням статики. Складемо спочатку рівняння проекцій на три координатні осі,та.

З огляду на те, що проекція пари на будь-яку вісь дорівнює нулю, ці рівняння дають рівність нулю суми проекцій нормальних зусильна осіта. Обчислимо суму проекций нормальних зусиль на вісь. Заміняючи підсумовування цих зусиль по всій площі перерізу інтегруванням, одержимо:

. (8.3)

і обертаютьсяна тотожності , тому що зусилляпроектуються на ці осі в точку.

Складемо тепер рівняння моментів відносно осей ,і. Зауважимо при цьому, що паралежить у площині, і тому моментів відносно осейіне дає.

обертається на тотожність, тому що зусилля паралельні осі.

; ,

звідки

; (8.4)

; . (8.5)

Таким чином, з шести рівнянь рівноваги можна використати тільки три:

або , (8.6)

; або , (8.7)

; або . (8.8)

Отриманих трьох рівнянь статики недостатньо для визначення величини нормальних напружень, тому що змінюється в залежності від відстаніплощадкидо нейтральної лінії за невідомим поки законом. Ця відстаньтеж поки невідома, тому що невідоме положення нейтральної лінії.

Задача виявляється статично невизначуваною, тому розглянемо деформації балки. Для цього двома нескінченно близькими перерізами івиділимо з балки елемент довжиною. Вигляд цього елемента до і після деформації наведений на рис.8.4.

Обидва поперечні перерізи, залишаючись плоскими, повернулися навколо нейтральної лінії (на рисунку точки і) і утворили кут. Нейтральний шар показаний пунктиром. Лінія, що належить нейтральному шарові, після деформації зберігає свою первісну довжину. Усі волокна, що знаходяться вище нейтрального шару, скорочуються, а нижче подовжуються.

Рис.8.4

Знайдемо подовження якого-небудь волокна, розташованого на відстані від нейтрального шару і розтягнутого напруженнями. Первісна довжина волокна, що належить нейтральному шарові, дорівнює. Після деформації довжина розглянутого волокна дорівнює. Абсолютне подовження волокна. Відносне подовження дорівнює

,

тобто подовження волокон пропорційні їх відстаням до нейтрального шару.

Тут  радіус кривизни нейтрального шару, величину якого для виділеного (нескінченно малого за довжиною) елемента можна вважати сталою. Припустивши, що при згинанняі волокна одне на одне не тиснуть і що кожне волокно зазнає просте розтягання або стискання, для обчислення напружень можемо скористатися законом Гука при розтяганні:

або . (8.9)

Рівняння (8.9) показує, що величина нормальних напружень при згинанні міняється прямо пропорційно відстані розглянутої точки перерізіу від нейтрального шару . З цього випливає, що напруження розподілені по висоті перерізу за лінійним законом. У нейтральному шарі принапруження, у стиснутій зоні (при) напруження стають від’ємними, у розтягнутій зоні (при ) напруження стають додатними. В залежності від віддалення від нейтрального шару напруження зростають за абсолютною величиною і досягають максимальних значень при, тобто в самих віддалених від нейтрального шару волокнах.

Формула (8.9) дає характер розподілу нормальних напружень по висоті перерізу (Рис.8.5), але нею не можна скористатися для обчислення величини напружень, тому що ні , ніневідомі, оскільки невідоме розташування нейтрального шару по висоті перерізу.

Рис.8.5

Для визначення величини нормальних напружень в залежності від величини згинального моменту звернемося до спільного вирішення отриманого з розгляду деформації рівняння (8.9) і рівнянь статики (8.6)(8.8).

Підставляючи значення з виразу (8.9) у рівняння (8.6), одержимо:

або .

Вважаючи, що , маємо:

.

Цей інтеграл являє собою статичний момент площі відносно нейтральної лінії перерізу. Зважаючи на те, що він дорівнює нулю, нейтральна лінія перерізу проходить через центр ваги перерізу. З огляду на те, що центр ваги лежить на осі симетрії , точка перетинання цих двох осейє центром ваги перерізу, а вісь нейтральною віссю балки.

Таким чином, положення нейтральної осі і нейтрального шару цілком визначені. Нейтральний шар містить в собі центри ваги всіх перерізів балки.

Підставимо вираз (8.9) у рівняння (8.7). Одержимо:

, або,

звідки випливає, що:

.

Отриманий інтеграл являє собою відцентровий момент інерції. Відомо, що осі, відносно яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, є головними осями інерції. Отже, нейтральна лінія перерізу є головною віссю інерції перерізу. А це означає, що осьовий момент інерції відносно цієї лінії досягає екстремальної величини.

Скористаємося останнім рівнянням рівноваги (8.8), підставивши в нього вираз (8.9). Одержимо:

; або. (8.10)

Вираз являє собою момент інерції перерізу відносно нейтральної лініїі позначається буквою.

Таким чином, (8.10) можна переписати у вигляді:

. (8.11)

Перетворимо цей вираз до вигляду:

. (8.12)

З формули (8.12) видно, що чим більший при даному згинальному моменті осьовий момент інерції , тим більшим виявиться радіус кривизни нейтрального шару, а, отже, і осі балки, тобто тим менше балка зігнеться.

Величина моменту інерції є геометричним чинником жорсткості балки при згинанні, тому що характеризує здатність балки викривлятися в залежності від розмірів і форми поперечного перерізу балки. Добуток називаєтьсяжорсткістю балки при згинанні, і чим вона більша, тим менше зігнеться балка при дії даного згинального моменту.

Підставимо у вираз (8.12) значення . Одержимо:

. (8.13)

Таким чином, нормальні напруження в будь-якій точці перерізу прямо пропорційні величині згинального моменту і відстані точки від нейтральної лінії перерізу і зворотно пропорційні моментові інерції перерізу відносно нейтральної лінії. Знак “” у формулі (8.13) дозволяє автоматично одержувати знак напруження в залежності від координати точки, в якій це напруження обчислюється.

Розглянемо приклад визначення напружень в довільній точці перерізіу балки, що згинається.

Приклад 8.1. Визначити нормальне напруження при згинанні балки (в МПа) у точці А поперечного перерізу, віддаленої від нейтральної лінії перерізу на 12 см. (Рис.8.6), якщо згинальний момент 10 кНм.

Рис.8.6

Розв’язок:

1. Визначаємо момент інерції перерізу відносно осі :

см⁴.

2. Підставляємо значення згинального моменту, осьового моменту інерції та координати точки А у формулу для нормальних напружень (8.13), знайдемо напруження:

МПа.

Отже, у точці А поперечного перерізу балки діє стискальне нормальне напруження МПа.