10.7. Теореми про взаємність робіт та взаємність переміщень

Встановимо залежність між деформаціями в різних перерізах балки, користуючись уявленням потенціальної енергії.

Рис.10.15

Якщо до балки, навантаженої силою в перерізі №1 (Рис.10.15), прикласти потім статично силув перерізі №2, то до прогину точки прикладення силивід цієї ж силидодасться прогин від сили, рівний. Порядок індексації переміщень описаний вище.

Повна робота зовнішніх сил буде складатися з трьох частин: роботи сили на спричиненому нею переміщенні, тобто; роботи силина спричиненому нею переміщенні, тобто; роботи силина переміщення точки її прикладення від сили, тобто.

Таким чином, накопичена в балці при дії обох сил енергія дорівнюватиме:

. (10.38)

Як відзначалося вище, величина енергії деформації залежить лише від кінцевих значень сил і прогинів і не залежить від порядку навантаження.

Якщо тепер до балки, навантаженої силою , прикласти силу, то повторивши ланцюг обчислень, одержимо:

. (10.39)

Порівнюючи обидва значення потенціальної енергії , маємо:

. (10.40)

Вираз (10.40) являє собою теорему про взаємність робіт, яка була виведена італійським вченим Енріко Бетті (18231892) і формулюється таким чином: робота сили (або першої групи сил) на переміщеннях, спричинених силою(другою групою сил), дорівнює роботі силина переміщеннях, спричинених силою.

Ця теорема має важливе практичне застосування. Якщо , то. Користуючись цією властивістю взаємності, можна спростити виконання експериментів з визначення переміщень.

Припустимо, що ми хочемо експериментальним шляхом знайти прогини в перерізах №1, №2, №3 і №4 балки, затисненої одним кінцем (А) і навантаженої на іншому кінці (В) силою (Рис.10.16).

Замість того, щоб ставити у кожній точці свій прилад для виміру переміщень (прогиновимірювач) (Рис.10.16,а) або переносити прилад, що завжди незручно і може призвести до похибок виміру, можна зробити інакше. Поставимо прогиновимірювач у перерізі В, а силу будемо послідовно прикладати у перерізах №1, №2, №3 і №4 (Рис.10.16,б). Обмірювані у перерізі В прогини і будуть за теоремою Бетті дорівнювати прогинам перерізів №1, №2, №3 і №4 від сили, прикладеної в перерізі В.

Рис.10.16

Застосоуємо теорему Бетті до окремого випадку навантаження, коли в обох станах прикладено по одній одиничній узагальненій силі тау перерізах №1 і №2 (Рис.10.15). На підставі формули (10.40):

,

а оскільки , то:

. (10.41)

Вираз (10.41) є теоремою про взаємність переміщень (теоремою Джеймса Клерка Максвелла) і формулюється таким чином: переміщення точки прикладення першої одиничної сили за її напрямком, спричинене дією другої одиничної сили, дорівнює переміщенню точки прикладення другої одиничної сили за її напрямком, що було спричинене дією першої одиничної сили.

Теореми про взаємність робіт і переміщень мають велике значення в загальній теорії дослідження напруженого і деформованого стану стержнів, пластинок, оболонок та інших конструкцій. Їх застосування суттєво спрощує розв’язання багатьох задач будівельної механіки, а також, як уже відзначалося вище, виконання експериментів з визначення переміщень.