10.5. Обчислення інтегралів Мора за способом Сімпсона

Застосування методу Мора, як ми вже зуміли переконатися, вимагає обчислення інтегралів у процесі визначення переміщень. У більшості випадків при наявності великої кількості ділянок, на які поділяють конструкцію, розв’язання задачі стає громіздким. Тому в практиці розрахунків воліють мати справу з графічними методами, що дозволяють виключити інтегрування з процесу визначення переміщень. Такі методи бувають не завжди точними та універсальними, але їх простота і доступність робить їх досить популярними. До числа таких методів відноситься метод Мора-Сімпсона.

Ще у вісімнадцятому столітті англійським математиком Томасом Сімпсоном було запропоновано обчислювати інтеграли графічним методом. Виходячи з того, що інтеграл є сумою нескінченно малих величин, Сімпсон запропонував розбивати площу фігури, що утворюється під кривою підінтегральної функції, на вузькі смужки і підсумовувати площі цих смужок. Ним були сформульовані відповідні рекомендації і запропоновані різні формули, що дозволяють упорядкувати процес подібного інтегрування. Складність цих формул залежала від складності підінтегрального виразу. У більшості випадків запропонований ним підхід до інтегрування дає похибки, але існують такі функції, інтегрування яких за способом Сімпсона дає точне вирішення. Мова йде про гладкі унімодальні функції, порядок яких не перевищує трьох.

Досліджуючи функції, що входять у формулу Мора, можна зробити висновок, що функції згинальних моментів, складених для одиничних станів завжди лінійні. При дії на балку розподіленого навантаження сталої інтенсивності згинальний момент описується кривою другого порядку. При перемножуванні цих функцій під інтегралом Мора ми одержуємо криву третього порядку. Це означає, що, якщо обмежити клас розв'язуваних задач балками і рамами, навантаженими зосередженими силами і розподіленим навантаженням сталої інтенсивності, то при використанні для визначення переміщень методу Мора-Сімпсона можна одержувати точне вирішення.

Розглянемо інтегрування за способом Сімпсона функції, наведеної на рис.10.10, яка описується кубічною параболою.

Формула, якою пропонується користуватися в цьому випадку, має вигляд:

(10.32)

Рис.10.10

На рис 10.11 наведені вантажна (а) і одинична (б) епюри згинальних моментів для однієї ділянки.

Рис.10.11

Літерами А, С і В позначені згинальні моменти на лівому кінці ділянки, посередині і на правому кінці ділянки на вантажній епюрі. Літерами а, c і b позначені згинальні моменти на лівому кінці ділянки, посередині і на правому кінці ділянки на одиничній епюрі.

Інтеграл Мора для однієї ділянки має вигляд:

. (10.33)

Добуток моментів під інтегралом позначимо:

. (10.34)

Застосовуючи формулу Сімпсона до інтеграла Мора після відповідних замін і підстановок, одержимо:

.

При розв’язанні задач з кількома ділянками формула Мора-Сімпсона набуває вигляду:

. (10.35)

У разі, якщо обидві епюри згинальних моментів, вантажна та одинична, міняються за лінійним законом і являють собою трапеції на кожній з ділянок, можна виключити середні значення моментів і, з огляду на те, що вони можуть бути обчислені з виразів:

; .

Підставляючи ці значення у формулу (10.35), одержуємо формулу трапецій:

. (10.36)

Якщо обидві епюри є прямокутниками або трикутниками, зручно користуватися формулою, що легко випливає з формули (10.35):

. (10.37)