10.6. Матричний метод визначення переміщень за способом Мора-Сімпсона

З розвитком ЕОМ стало можливим виконувати громіздкі обчислення, пов'язані з визначенням переміщень, за допомогою електронних машин. Особливо зручно це робити в тому випадку, якщо обчислення переміщень припускає використовування таких простих арифметичних операцій, як перемножування і складання. Саме на використовуванні таких операцій заснований метод Мора-Сімпсона.

З курсу лінійної алгебри відомо, що матрицею називається таблиця, що містить інформацію у вигляді чисел, розташованих в певному порядку у вигляді рядків і стовпців. Наприклад, матриця має рядків і стовпців:

.

З матрицями можна виконувати деякі операції: складання, віднімання, множення, транспонування та ін. Транспонованою називається матриця, у якої стовпці і рядки міняються місцями:

.

Матриці А і В, що мають однакове число рядків і стовпців, можна складати. В результаті одержимо матрицю С, елементи якої мають вигляд:

,

де матриця має рядків і стовпців.

При перемножуванні матриць слід користуватися таким правилом: кількість стовпців матриці А повинна дорівнювати кількості рядків матриці В. Перемножимо, користуючись цим правилом, матриці А і D. Матриця має стовпців і рядків:

.

Перемножуючи матриці А і D, маємо:

При цьому закон переміщення не діє:

.

Представимо в матричному вигляді одиничні і вантажні згинальні моменти, наведені на рис.10.14 для однієї ділянки.

; .

Рис.10.14

Транспонуємо матрицю одиничних моментів:

і введемо ще одну матрицю В, яку назвемо матрицею піддатливості:

.

Перемножуючи матриці, , і , одержимо переміщення в матричному вигляді:

.

Легко побачити, що в результаті перемножування матриць переміщення набуває вигляд, який співпадає з формулою Мора-Сімпсона:

.

Сформулюємо тепер порядок визначення переміщень за методом Мора-Сімпсона матричним способом за наявності декількох ділянок і при необхідності визначення ряда переміщень, наприклад, прогинів і кутів повороту в декількох перерізах.

1. Зображаємо вантажний стан системи і стільки одиничних станів, скільки переміщень необхідно визначити. Нумеруємо ділянки балки, в межах кожної з яких проставляємо по три “характерні” перерізи: на лівому кінці ділянки, посередині і на правому кінці ділянки. Слід зазначити, що кількість ділянок та “характерних” перерізів на вантажному і одиничному станах балки повинне бути однаковим.

2. Будуємо епюри вантажних і одиничних згинальних моментів, де  кількість визначуваних переміщень.

3. Складаємо матриці вантажних та одиничних згинальних моментів:

; ,

де  кількість “характерних” перерізів.

Складаємо матрицю піддатливості В:

,

де  кількість ділянок.

4. Обчислюємо переміщення за формулою Мора-Сімпсона, записаною в матричному вигляді:

,

де  матриця результуючих переміщень:

.