З огляду на те, що

, а ,

умову стійкості, одержимо у вигляді:

. (13.26)

Таблиця 13.2

Гнучкість	Коефіцієнт поздовжнього згинання для
	Ст.2, Ст.3, Ст.4	Ст.5	чавуну	деревини
0	1,00	1,00	1,00	1,00
10	0,99	0,98	0,97	0,99
20	0,96	0,95	0,91	0,97
30	0,94	0,92	0,81	0,93
40	0,92	0,89	0,69	0,87
50	0,89	0,86	0,57	0,80
60	0,86	0,82	0,44	0,71
70	0,81	0,76	0,34	0,60
80	0,75	0,70	0,26	0,48
90	0,69	0,62	0,20	0,38
100	0,60	0,51	0,16	0,31
110	0,52	0,43		0,25
120	0,45	0,36		0,22
130	0,40	0,33		0,18
140	0,36	0,29		0,16
150	0,32	0,26		0,14
160	0,29	0,24		0,12
170	0,26	0,21		0,11
180	0,23	0,19		0,10
190	0,21	0,17		0,09
200	0,19	0,16		0,08

Якщо стержень, стиснутий силою , то в цьому випадку поздовжня силаі вираз (13.26) набуває вигляду:

. (13.27)

Місцеві послаблення практично не змінюють величину критичної сили. Тому у формулах (13.26), (13.27) вводиться повна площа поперечного перерізу.

Умова стійкості (13.27) вирішує три задачі:

1. Перевірочний розрахунок стиснутих стержнів.

2. Підбір величини стискального навантаження.

3. Проектувальний розрахунок.

Розглянемо порядок розв’язання кожної з цих задач.

Задача 1:

1. Зважаючи на те, що умови закріплення кінців стержня, довжина стержня, форма поперечного перерізу і його розміри відомі, знаходимо мінімальний осьовий момент інерції , площу, обчислюємо мінімальний радіус інерції перерізуі гнучкість стержня.

2. З таблиці 13.2 визначаємо коефіцієнт поздовжнього згинання і обчислюємо напруження в стержні за формулою:

.

3. Порівнюємо отримане напруження з допустимим:

.

Задача 2:

1. Виконуємо пункт 1, викладений у попередній задачі.

2. З таблиці 13.2 знаходимо коефіцієнт поздовжнього згинання і визначаємо допустиме значення силиза формулою:

.

Задача 3:

1. При вирішенні цієї задачі використовуємо метод послідовних наближень (метод ітерацій) шляхом варіювання величиною коефіцієнта поздовжнього згинання . З огляду на те, що в розрахунковій формулі на стійкістьє дві невідомі величини коефіцієнт і шукана площа поперечного перерізу, приймаємо в першій спробі значення для коефіцієнта поздовжнього згинання.

2. Визначаємо площу поперечного перерізу , знаходимо розміри поперечного перерізу, мінімальний осьовий момент інерції і мінімальний радіус інерції.

3. Визначаємо гнучкість стержня , і з таблиці 13.2 знаходимо коефіцієнт поздовжнього згинання. Якщозначно відрізняється від, то і напруження в стержні буде істотно відрізнятися від допустимого. У цьому випадку повторюємо розрахунок: обчислюємо середнє значенняі звертаємося до пункту 2. Якщо потрібна третя спроба, то визначаємоі т.д. Зазвичай при підборі розмірів перерізів потрібно не більше двох-трьох спроб.

Розглянемо кілька прикладів визначення величини критичної сили для стиснутого стержня і розрахунку стиснутих стержнів на стійкість.

Приклад 13.1. Визначити найменшу гнучкість стержня, при якій для обчислення критичного зусилля можна застосовувати формулу Ейлера, якщо стержень виконаний зі сталі з границею пропорційності МПа і модулем пружностіМПа.

Розв’язок:

1. Формула Ейлера може бути застосована, якщо критичні напруження, що діють у стержні, не перевищують границі пропорційності:

.

Звідси гранична величина гнучкості, при якій можна застосовувати формулу Ейлера, дорівнює:

.

Приклад 13.2.Який з двох стержнів однакової довжини, умови закріплення і навантаження яких також однакові, є більш гнучким – стержень квадратного або круглого перерізу з однаковою площею (Рис.13.6)?

Рис.13.6

Розв’язок:

1. За умовою задачі площі поперечних переріз стержня, наведені на рис.13.6, однакові: або. Звідки.

2. Відношення гнучкостей двох стержнів з однаковими умовами закріплення кінців і однаковою довжиною є зворотно-пропорційним відношенню мінімальних радіусів інерції їх поперечних перерізів або при однаковій площі поперечних перерізів є зворотно-пропорційним кореневі квадратному з відношення мінімальних моментів інерції перерізів:

.

3. Таким чином, гнучкість стержня з прямокутним перерізом складає:

або гнучкість стержня з прямокутним перерізом складає 97,7% від гнучкості стержня з круглим перерізом. Інакше, гнучкість стержня з круглим перерізом виявилася на 2,3% більшою.

Приклад.13.3. Визначити величину критичного зусилля і критичне напруження для стійки прямокутного поперечного перерізу 1220см² довжиною 7м з деревини з модулем пружності МПа. У площині найменшої жорсткості обидва кінці стійки затиснені (положення 1), а в перпендикулярному (положення 2) – обидва кінці стійки шарнірно обперті (Рис.13.7).

Розв’язок:

1. Визначимо величину критичної сили для першого положення стержня (Рис.13.7,а):

кН.

Рис.13.7

2. Визначимо величину критичної сили для другого положення стержня (Рис.13.7,б):

кН.

3. З двох значень критичної сили приймаємо менше: кН. Визначаємо критичне напруження:

МПа.

4. Визначимо правомірність застосування формули Ейлера для розв’язку цієї задачі. Для цього визначимо граничне значення гнучкості для деревини, якщо границя пропорційності для деревини МПа.

.

Гнучкість стержня для першого положення стержня дорівнює:

.

Гнучкість стержня для другого положення стержня дорівнює:

,

де см;см.

Таким чином, гнучкість стержня для обох його положень виявилася вищою за граничну для деревини і, отже, застосування формули Ейлера для визначення критичної сили було виправданим.

Приклад 13.4. Виконати перевірку стійкості стиснутої дерев'яної колони (Рис.13.8) круглого поперечного перерізу діаметром см довжиноюм, якщо основне допустиме напруженняМПа, а стискальна силакН.

Рис.13.8

Розв’язок:

1. Визначаємо площу поперечного перерізу:

см².

2. Визначаємо радіус інерції перерізу:

см.

4. Визначаємо гнучкість стержня:

.

5. З таблиці 13.2 знаходимо за допомогою лінійної інтерполяції:

.

6. Визначаємо величину допустимого напруження на стійкість:

МПа.

7. Обчислюємо нормальні напруження в перерізі від стискання:

МПа.

8. Порівнюючи з, одержуємо: 4,405МПа < 4,565МПа, з чого випливає, що стійкість колони забезпечена.

Приклад 13.5. Для попередньої задачі знайти величину критичної сили, допустиме значення навантаження і величину коефіцієнта запасу стійкості, якщо для деревини модуль пружності МПа, границя пропорційностіМПа.

Розв’язок:

1. Визначаємо граничну гнучкість для деревини:

.

2. Визначаємо величину критичної сили. Гнучкість колони в попередньому прикладі склала . Отже, для визначення критичної сили можна застосовувати формулу Ейлера:

кН.

3. Знаходимо допустиме значення для стискальної сили. Значення для коефіцієнта поздовжнього згинання беремо з попереднього прикладу :

кН.

4. Визначаємо коефіцієнт запасу стійкості:

.

Приклад 13.6.Як зміняться величини критичної і допустимої сили і коефіцієнт запасу стійкості, якщо довжину стержня зменшити вдвічі. Для рішення задачі взяти дані з прикладу 13.5.

Розв’язок:

1. Якщо довжину колони зменшити вдвічі до м, зберігши при цьому умови закріплення кінців колони, гнучкість колони також зменшиться в два рази:

.

Це значення гнучкості менше за граничне, яке дорівнює . Отже, формулу Ейлера для визначення критичної сили використовувати не можна, а необхідно використовувати формулу Ф.С.Ясинського.

2. Визначаємо величину коефіцієнта поздовжнього згинання:

.

3. З таблиці 13.1 беремо значення емпіричних коефіцієнтів для деревини МПа,МПа й обчислюємо величину критичної сили:

кН.

3. Визначаємо значення допустимої стискальної сили:

кН.

4. Знаходимо коефіцієнт запасу стійкості:

.

Таким чином, із зменшенням довжини колони вдвічі значення для критичної і допустимої сили збільшилися, коефіцієнт запасу стійкості став меншим.

Приклад 13.7. Підібрати з сортаменту двотавровий поперечний переріз стержня довжиною м, стиснутий центрально прикладеною силоюкН. Обидва кінці стержня затиснені. Матеріал – Ст.3. Основне допустиме напруженняМПа.

Розв’язок:

1. Приймаємо і знаходимо площу поперечного перерізу:

см².

З сортаменту прокатної сталі вибираємо двотавр №22а з площею см² і мінімальним радіусом інерції см.

Знаходимо гнучкість стержня:

.

З таблиці 13.2 визначаємо коефіцієнт поздовжнього згинання: . Зважаючи на те, що міжіє значна різниця, переходимо до другої спроби.

2. Приймаємо і знаходимо площу поперечного перерізу двотавру:

см².

З сортаменту прокатної сталі вибираємо двотавр №18а з площею см² і мінімальним радіусом інерції см.

Знаходимо гнучкість стержня:

.

Визначаємо коефіцієнт поздовжнього згинання, використовуючи дані з таблиці 13.2:

.

Оскільки різниця між іне дуже велика, знайдемо напруження, що виникають у стержні:

МПа.

Стержень недовантажений. Визначаємо відносну величину недовантаження:

.

Зазвичай відносна величина недовантаження або перевантаження має складати ~ 3% за абсолютною величиною. Тому переходимо до третьої спроби.

2.Приймаємо і знаходимо площу поперечного перерізу двотавру:

см².

У сортаменті прокатної сталі є двотавр №18 з площею см² і мінімальним радіусом інерції см.

Площа цього двотавру менша за необхідну. Перевіримо цей двотавр. Знаходимо гнучкість стержня:

.

Визначаємо коефіцієнт поздовжнього згинання:

.

Знаходимо напруження в стержні:

МПа.

Стержень виявився перевантаженим. Відносна величина перевантаження складає:

.

Таке перенапруження неприпустиме. Тому остаточно приймаємо двотавр №18а.

Приклад 13.8. Водонапірний бак АВСD вагою кН підтримується стержнями DK, CK, CG і зазнає дії вітрового навантаження(Рис.13.9,а). У вузлах C, D, K, G кріплення стержнів шарнірні. Поперечні перерізи усіх стержнів однакові. При якому найменшому значенні вітрового навантаженнястержень №1 не слід перевіряти на стійкість?

Розв’язок:

1. Будемо виходити з того, що перевіряти стержень №1 на стійкість не треба, якщо цей стержень буде або розтягнутий, або не навантажений зовсім. Найменше значення сили , при якому стержень №1 не слід перевіряти на стійкість, буде таким, при якому зусилля в стержні №1 дорівнюватиме нулю. У всіх інших випадках при більшому значенні силистержень №1 буде розтягнутий.

Рис.13.9

2. Розсічемо стержні №1, №2, №3 горизонтальним перерізом (Рис.13.9,б) і розглянемо рівновагу верхньої частини конструкції. Для визначення зусиль у стержнях застосуємо метод моментних точок. Виберемо в якості моментної точки для стержня №1 точку С і складемо відносно неї суму моментів сил, що діють на верхню частину конструкції. Одержимо:

.

Приймаючи , з рівняння рівноваги знаходимокН.