Перетворимо формулу Ейлера (13.11), підставляючи в неї замість реальної довжини стержня зведену довжину. Одержуємо формулу Ейлера для критичної сили в остаточному вигляді:

. (13.16)

На рис.13.4 наведені значення критичної сили для стержнів з різними умовами закріплення кінців при однакових вихідній довжині і жорсткості перерізу. Слід зазначити, що найбільшого значення критична сила досягає для стержня з жорстким обпиранням кінців (Рис.13.4,г). У цьому випадку критична сила виявляється в 4 рази більшою, ніж для основного випадку закріплення кінців стержня. Найменш ефективним типом закріплення кінців стержня є випадок, наведений на рис 13.4,а. Критична сила в цьому випадку виявилася в 4 рази меншою, ніж для основного випадку.

13.4. Межі застосовності формули Ейлера. Формула Ясинського

Формула Ейлера, що була отримана 250 років тому назад, довгий час була предметом дискусій. Суперечки тривали близько 100 років. Однією з головних причин суперечок було те, що формула Ейлера для деяких випадків не підтверджувалася експериментом. Пояснюється це тим, що Ейлер виводив свою формулу, використовуючи закон Гука, припускаючи, що при будь-якому значенні сили стиснутий стержень працює в межах пружних деформацій. Уперше ця обставина в 1845 році була роз'яснена Ламарлем (формула Ейлера була отримана в 1744 р.). Таким чином, сто років практикам була не ясно, чому формула Ейлера дає часто не придатні для практики результати, і тому нею уникали користуватися, віддаючи перевагу різним емпіричним або напівемпіричним формулам.

Знайдемо критичні напруження. Зважаючи на те, що при силах, менших або рівних критичній, єдиною стійкою формою рівноваги є прямолінійна, критичні напруження можна обчислити за формулою:

. (13.17)

З формули (13.17) стає ясно, що якщо прямолінійна форма стержня залишиться стійкою і при напруженнях, що перевищують границю пропорційності, то наближене диференціальне рівняння пружної лінії стержня, що припускає справедливість закону Гука, вже не буде придатне для опису згинання при втраті стійкості.

Виразимо критичні напруження в стержні, підставивши значення критичної сили (13.16):

, (13.18)

де  квадрат найменшого з головних радіусів інерції стержня;  площа брутто поперечного перерізу стержня.

Введемо безрозмірну величину

, (13.19)

яка називається гнучкістю стержня.

Перепишемо вираз для критичних напружень (13.18) у виді:

. (13.20)

Ця формула є також формулою Ейлера, але у зміненому вигляді. Відповідно до цієї формули критичні напруження стиснутого стержня залежать від пружних характеристик матеріалу (модуля пружності ) і від гнучкості стержня.

Гранична величина критичних напружень, які можна визначити за формулою Ейлера (13.20), обмежена зверху границею пропорційності для матеріалу стержня. Дорівнюючи величину критичних напружень границі пропорційності, з рівняння (13.20) знайдемо граничну гнучкість, при якій може бути застосовна формула Ейлера:

. (13.21)

Якщо , формулу Ейлера застосовувати можна, якщоформулу Ейлера застосовувати не можна. Стержні, у яких гнучкість більша за граничну () називають стержнямивеликої гнучкості. Для маловуглецевої сталі, у якої МПа і модуль пружностіМПа, гранична гнучкість дорівнює:

.

Те ж саме можна одержати і графічно. У системі координат побудуємо графік залежності критичних напружень від гнучкості стержня (Рис.13.5). Графічно ця залежність являє собою гіперболу і називаєтьсягіперболою Ейлера. Графік побудований для сталі Ст.3 і показує, що зі зростанням гнучкості стержня критичні напруження прагнуть до нуля, і навпаки, при наближенні гнучкості до нуля критичні напруження прагнуть до нескінченності.

Відкладемо на осі ординат () величину границі пропорційностіі проведемо з отриманої точки D пряму, паралельну осі абсцис. Ця пряма перетнеться з гіперболою Ейлера в точці А, абсциса якої і є. Ліворуч від точки А гіпербола Ейлера показана штриховою лінією, тому що на цьому відрізку вона дає значення критичних напружень, які значно більші за границю пропорційності, що не відповідає умовам її застосування. Якщо ж застосовувати формулу Ейлера за границею пропорційності (при), ця формула дає завищені значення критичної сили. В результаті відбувається переоцінювання дійсної стійкості стержня. Тому використання формули Ейлера для стержнів, що втрачають стійкість за границею пружності, не тільки принципово неправильно, але і вкрай небезпечно за своїми наслідками.

Рис.13.5

Для випадку, коли стержень працює за границею пружності, теоретичні висновки значно ускладнюються. У зв'язку з цим зазвичай користуються емпіричними формулами, отриманими в результаті обробки великої кількості експериментальних даних. Однієї з таких формул є формула Ф.С.Ясинського:

. (13.22)

Значення коефіцієнтів ідля деяких матеріалів наведені в таблиці 13.1.

Експериментальні значення критичних напружень на рис.13.5 на ділянці АВ умовно показані точками. Ф.С.Ясинський, одержавши дані експерименту, апроксимував ці дані прямою лінією АВ (на графіку), рівняння якої записав у виді (13.22). Гнучкість стержня, що відповідає точці В на графіку, дорівнює приблизно 4050. Назвемо стержні, гнучкість яких коливається від 40 до , стержнямисередньої гнучкості.

Таблиця 13.1

Матеріал		(МПа)	(МПа)
Ст.2, Ст.3	100	310	1,14
Ст.5	100	464	3,26
Сталь 40	90	321	1,16
Кремениста сталь	100	589	3,82
Деревина (сосна)	110	293	0,194
Чавун	80	776	12

При деякому значенні гнучкості величина критичних напружень, обчислена за формулою Ф.С.Ясинського (13.22), збігається з границею текучості при стисканні пластичних матеріалівабо з границею міцності при стисканні крихких матеріалів. Стержні, у яких, називаються стержнямималої гнучкості. Такі стержні стійкості не втрачають і їх розраховують тільки на міцність. На рис.13.5 стержням малої гнучкості відповідає пряма лінія ВС.

Таким чином, на графіку (Рис.13.5), що встановлює залежність критичних напружень від гнучкості стержня, можна виділити три групи стержнів і відповідні їм зони: I група стержнів () – стержні великої гнучкості – критичні напруження для стержнів цієї групи визначаються за формулою Ейлера (13.20); II група стержнів () – стержні середньої гнучкості – критичні напруження для цієї групи стержнів визначається за формулою Ф.С.Ясинського (13.22); III – стержні малої гнучкості () – критичні напруження не визначаються зовсім. Такі стержні стійкості не втрачають, і їх розрахунок виконується тільки на міцність.

13.5. Практичні методи розрахунку стиснутих стержнів на стійкість. Коефіцієнт поздовжнього згинання

Говорячи про практичні методи розрахунку стиснутих стержнів на стійкість, слід зазначити, що критичні напруження для центрально стиснутих стержнів середньої і великої гнучкості завжди становлять велику небезпеку, ніж границя текучості або границя міцності, тому що стиснуті стержні втрачають несучу здатність від втрати стійкості раніш, ніж від втрати міцності. Виходячи з цього, при практичному рішенні питання про стійкість стержня не можна допускати в ньому виникнення критичних напружень. Знаючи величину критичних напружень, необхідно забезпечити для стержня визначений запас стійкості.

В існуючій практиці коефіцієнт запасу стійкості для стиснутих стержнів із сталі коливається в межах від 1,8 до 3,0. Цей коефіцієнт вибирається вищим за коефіцієнт запасу міцностідля сталі, який дорівнює 1,6. Це пояснюється наявністю деяких обставин, неминучих на практиці (початкова кривизна стержнів, ексцентриситет прикладення навантаження, неоднорідність матеріалу та ін.), і які майже не мають значення при інших видах деформації, таких, як кручення, згинання, розтягання. Для стиснутих стержнів, через можливість втрати стійкості, ці обставини можуть сильно знизити несучу здатність стержня. Для чавуну коефіцієнт запасу стійкості коливається від 5,0 до 5,5, для деревини – від 2,8 до 3,2.

Встановимо зв'язок між допустимим напруженням на стійкість та допустимим напруженням на міцність. Для цього візьмемо їх відношення:

або ,

де небезпечне напруження, що дорівнює або границі текучості матеріалу, або границі міцності.

Введемо позначення:

. (13.23)

Коефіцієнт у формулі (13.23) одержав назвукоефіцієнта поздовжнього згинання або коефіцієнта зменшення основного допустимого напруження для стиснутих стержнів.

Останнє визначення випливає з того, що коефіцієнт завжди буде меншим за одиницю, тому що критичне напруження, а коефіцієнт запасу міцності.

Таким чином, зв'язок між допустимими напруженнями на стійкість і на міцністьнабуває вигляду:

. (13.24)

Коефіцієнт поздовжнього згинання для кожного матеріалу можна обчислити при всіх значеннях гнучкостіі надати у вигляді графіка залежностіабо таблиці. Значення коефіцієнтадля деяких матеріалів наведені в таблиці 13.2.

Користуючись подібними таблицями, можна досить просто виконати розрахунок стержнів на стійкість.

Складемо умову стійкості стиснутих стержнів:

. (13.25)