15.7. Удар, що скручує, при екстреному гальмуванні

Припустимо, що вал, зображений на рис 15.15,а, негайно зупиняється за допомогою гальмових колодок, розташованих на правому кінці вала. На лівому кінці вала розташований маховик вагою , на який у момент гальмування починають діяти сили інерції, що скручують вал. До екстреного гальмування вал обертався з кутовою швидкістю .

Розрахунок вала виконаємо безпосередньо, без обчислення динамічного коефіцієнта. Розрахункова схема вала в результаті спрацьовування гальмових колодок наведена на рис.15.15,б.

Обчислимо крутний динамічний момент, що виникає у валу при ударі, викликаному екстреним гальмуванням. Для цього скористаємося тим, що вся кінетична енергія удару переходить у потенціальну енергію пружної деформації .

До зупинки система оберталася з кутовою швидкістю і її кінетична енергія дорівнювала:

,

де  момент інерції маховика при обертанні. Масу вала при визначенні кінетичної енергії не враховуємо.

Рис.15.15

Таким чином, кінетична енергія системи дорівнює:

. (15.56)

Потенціальну енергію, що накопичується у валу, знайдемо скориставшись виразом:

. (15.57)

Дорівнюючи значення кінетичної енергії (15.56) і потенціальної енергії (15.57), визначаємо величину динамічного крутного моменту:

. (15.58)

Максимальне дотичне напруження, що виникає у валу, знайдемо з виразу:

. (15.59)

Після незначних перетворень з виразу (15.59) можна одержати величину максимального напруження у вигляді:

, (15.60)

де  площа поперечного перерізу вала;  довжина вала.

Дорівнюючи максимальне дотичне напруження величині допустимого напруження, одержимо умову міцності:

, (15.61)

звідки

. (15.62)

Розглянемо кілька прикладів розрахунку конструкцій, що зазнають удару.

Приклад 15.12. Визначити величину найбільшого нормального напруження в сталевому східчастому стержні (Рис.15.16), що зазнає удару при падінні вантажу кН з висоти мм. Площа поперечного перерізу стержня см², довжина стержня м. Яке найбільше напруження виникне в стержні, якщо на кільцевий виступ В для зм'якшення удару помістити циліндричну гвинтову пружину, яка при дії статичного навантаження, рівного 10Н, стискується на мм?

Рис.15.16

Розв’язок:

1. Визначаємо статичне подовження стержня, викликане силою :

мм.

2. Обчислюємо коефіцієнт динамічності:

.

3. Визначаємо найбільше динамічне нормальне напруження в стержні при відсутності пружини:

МПа.

4. Визначаємо статичне переміщення з урахуванням осадки пружини. Жорсткість пружини мм/Н. Осадка пружини мм.

мм.

5. Обчислюємо динамічний коефіцієнт:

.

6. Визначаємо найбільше динамічне напруження в стержні при наявності пружини:

МПа.

Приклад 15.13. Стержень, що має довжину м і площу поперечного перерізу см², зазнає дії поздовжнього розтягального удару при падінні вантажу кН. Кінетична енергія вантажу до моменту зіткнення дорівнює Нм. Знайти напруження в стержні при ударі у припущенні, що він виготовлений зі сталі.

Розв’язок:

1. Обчислюємо потенціальну енергію, що накопичується в стержні, при статичному прикладенні сили :

Нм.

3. Визначаємо динамічний коефіцієнт:

.

3. Знаходимо динамічне напруження в стержні:

МПа.

Приклад 15.14. На шарнірно обпертий на кінцях дерев'яний брус прямокутного поперечного перерізу см посередині прольоту м з висоти см падає вантаж кН. Визначити найбільше нормальне напруження і найбільший прогин бруса при згинанні в площині найбільшої жорсткості. Модуль пружності деревини МПа.

Розв’язок:

1. Визначаємо стрілу прогину при статичному прикладенні навантаження:

м.

2. Знаходимо динамічний коефіцієнт:

.

3. Визначаємо динамічне напруження в брусі:

МПа.

4. Знаходимо максимальний динамічний прогин у площині найбільшої жорсткості:

м мм.

Приклад 15.15. Двотаврова балка №24 довжиною м закріплена за допомогою шарнірних опор. Вантаж кН падає посередині прольоту з швидкістю м/с у момент удару (Рис.15.17,а). Визначити найбільше нормальне напруження і найбільший прогин в результаті удару, припускаючи, що: а) опори балки абсолютно жорсткі; б) опори балки представляють пружні конструкції; зміщення кожної з них на одиницю прикладеного до неї навантаження дорівнює м/Н; в) опори балки абсолютно жорсткі, але посередині прольоту знаходиться вантаж кН. Масою балки у всіх випадках нехтувати. Момент інерції двотавру №24 см⁴, момент опору см³.

Рис.15.17

Розв’язок:

1. Опори абсолютно жорсткі (Рис.15.17,а). Визначаємо стрілу прогину:

м.

Знаходимо коефіцієнт динамічності:

.

Визначаємо найбільше динамічне напруження в балці і максимальний прогин:

МПа;

м мм.

2. Опори балки – пружні конструкції (Рис.15.17,б). Визначаємо осадку пружини на опорі від статичного прикладення навантаження:

м.

Знаходимо переміщення перерізу посередині балки з урахуванням осадки пружин:

м.

Визначаємо коефіцієнт динамічності:

.

Обчислюємо максимальне динамічне напруження в балці і динамічну стрілу прогину:

МПа;

м мм.

3. Опори жорсткі, вантаж падає на вантаж , розташований посередині балки (Рис.15.17,в). Визначаємо динамічний коефіцієнт:

.

Знаходимо найбільше динамічне напруження і динамічну стрілу прогину:

МПа;

м мм.

Приклад 15.16. Крижина, що пливе з швидкістю м/сек, вдаряється об дерев'яну палю круглого поперечного перерізу (Рис.15.18). Визначити найбільше нормальне напруження і найбільший прогин палі при ударі, якщо модуль пружності деревини МПа. Палю в нижньому перерізі вважати затисненою.

Рис.15.18

Розв’язок:

1. У момент удару паля зазнає дії динамічної сили з боку крижини. Знайдемо цю силу. Кінетична енергія удару дорівнює потенціальній енергії деформації, що накопичується в палі від дії динамічної сили :

.

Потенціальну енергію знайдемо, виражаючи її через динамічну силу:

.

Дорівнюючи кінетичну і потенціальну енергії, маємо:

,

звідки

Н.

2. Визначаємо найбільший прогин палі:

м см.

3. Обчислюємо найбільше напруження в палі:

МПа.

Приклад 15.17. Дерев'яна балка круглого поперечного перерізу і довжиною м, шарнірно обперта на кінцях, посередині прольоту зазнає удару тілом, що рухається горизонтально. Тіло має в початковий момент удару кінетичну енергію Нм. Визначити діаметр поперечного перерізу балки так, щоб найбільше нормальне напруження в ній не перевищувало 10МПа, а максимальний прогин був не більший за 1 см.

Розв’язок:

1. Визначимо величину динамічної сили, з якою тіло, що рухається горизонтально, вдаряє по балці. Будемо виходити з того, що кінетична енергія удару цілком переходить у потенціальну енергію деформації тіла, що зазнає удару:

.

Звідки

кН.

1. Обчислюємо максимальний згинальний момент у балці:

кНм.

3. Записуємо умову міцності при згинанні і визначаємо діаметр поперечного перерізу балки:

,

звідки

м.

Приклад 15.18. Диск діаметром см і вагою кН, насаджений на вал АВ довжиною м і діаметром см (Рис.15.19,а), обертається з постійною кутовою швидкістю, яка відповідає об/хв. Визначити величину найбільших дотичних напружень у валу в той момент, коли кінець вала А раптово зупиняється. Масою вала знехтувати. Модуль зсуву для матеріалу вала прийняти МПа.

Рис.15.19

Розв’язок:

1. Розрахункова схема вала наведена на рис.15.19,б. Обчислимо кінетичну енергію системи, що обертається:

Нм.

2. Визначаємо площу поперечного перерізу вала:

см².

3. Знаходимо максимальне дотичне напруження у валу:

МПа.