15.2.2. Урахування сил інерції при рівномірному обертанні

Прикладом конструкції, у якій при рівномірному обертанні виникають сили інерції, є обід маховика. У першому наближенні обід маховика можна розглядати як тонке (у радіальному напрямі) кільце, що обертається рівномірно навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю . Кільце обертається в горизонтальній площині. На рис.15.2,а показаний вид зверху на кільце, що обертається.

Рис.15.2

Виконаємо розрахунок ободу на міцність без урахування впливу спиць. Сили ваги малі і ними нехтуємо. Основні сили – сили інерції, викликані рівномірним обертанням кільця.

Двома радіальними перерізами, проведеними з центра кільця під взаємним кутом виріжемо нескінченно малий елемент довжиною і розглянемо сили і прискорення, що на нього діють.

При рівномірному обертанні кільця із сталою кутовою швидкістю в нескінченно малому елементі виникне доцентрове прискорення , спрямоване уздовж радіуса усередину кільця. У протилежному напрямку, тобто від центра кільця на вирізаний елемент буде діяти сила інерції (Рис.15.2,а):

, (15.1)

де  площа поперечного перерізу кільця;  густина матеріалу;  радіус серединної поверхні кільця.

Завдяки симетрії навантаження в кожній точці кільця виникне така ж сама за величиною сила, але спрямована в іншому напрямку – уздовж радіуса від центра кільця. Інтенсивність цього навантаження знайдемо, розділивши силу інерції, прикладену до нескінченно малого елемента на довжину дуги, на якій ця сила діє:

. (15.2)

Таким чином, кільце при рівномірному обертанні зазнає рівномірного розподіленого навантаження у виді сил інерції інтенсивністю (Рис.15.2,б).

Очевидно, що крім сил інерції на нескінченно малий елемент діятимуть ще сили, зокрема, спрямовані в коловому напрямку. Знайдемо ці сили. Для цього розглянемо кільце, як деякий замкнутий контур, що не має проміжних шарнірів. Як відомо, такий контур три рази статично невизначуваний. Зважаючи на те, що кільце тонке, можна знехтувати нерівномірністю розподілу напружень за його товщиною. Якщо напруження у всіх точках поперечного перерізу кільця будуть однакові, то це означає, що в кільці відсутні згинальні моменти . Відсутність згинальних моментів виключає наявність деформації згинання у кільці. Отже, поперечна сила також буде відсутньою у кільці.

Виходить, що з трьох внутрішніх зусиль у кільці ( і ) два ( і ) дорівнюють нулю. Залишається тільки одне зусилля – поздовжня сила . Таким чином, кільце працює на розтягання.

Знайдемо значення поздовжньої сили, що діє у кільці. Для цього двома радіальними перерізами виріжемо нескінченно малий елемент довжиною з серединної лінії кільця і прикладемо до нього розподілене навантаження інтенсивності і рівнодіючі нормальних зусиль , розподілених по площі поперечного перерізу кільця (Рис.15.3).

Спроектуємо сили, що діють на вирізаний елемент, на вісь . Одержимо:

. (15.3)

З огляду на малість кута замінимо його синус кутом: і підставимо його в (15.3). Вирішуємо рівняння (15.3) щодо поздовжньої сили і одержуємо:

, (15.4)

де  величина колової швидкості на ободі.

Рис.15.3

Максимальні напруження в ободі одержимо, розділивши поздовжню силу на площу поперечного перерізу кільця :

. (15.5)

З огляду на те, що густина , де  питома вага матеріалу, і вводячи величину допустимого напруження, одержимо умову міцності у вигляді:

. (15.6)

З формул (15.5) і (15.6) видно, що напруження в ободі не залежать від площі поперечного перерізу. Тому збільшення площі поперечного перерізу обода не призводить до зниження напруження в ньому. Очевидно, щоб зменшити напруження в ободі, потрібно знизити швидкість обертання обода, або застосовувати більш міцні матеріали з високим значенням . Граничну швидкість на ободі можна визначити з умови міцності:

.

Зазвичай швидкість обертання маховиків обмежують. Для литих маховиків швидкість на ободі не повинна перевищувати 25м/с. Оскільки небезпека руйнування маховиків навіть при цьому залишається високою, маховики огороджують міцною металевою сіткою.

Розглянемо деформації обода в коловому і радіальному напрямах. Відносне подовження по колу кільця у відповідністю з законом Гука і з урахуванням виразу (15.5) дорівнює:

. (15.7)

Неважко переконатися в тому, що при збільшенні радіуса на величину абсолютної деформації , відносне колове подовження дорівнюватиме відносному радіальному подовженню . Дійсно, якщо радіус кільця після деформації стане рівним , то відносну колову деформацію можна буде знайти за формулою:

. (15.8)

З виразу (15.8) знайдемо переміщення точок осі кільця в радіальному напрямку:

. (15.9)