15.6. Урахування власної ваги при ударі

Якщо вантаж падає на балку, що має значну вагу, якою не можна нехтувати (Рис.15.11,а), то розв’язок задачі значно ускладнюється. У цьому випадку застосовують наближений розв’язок, що зводиться до заміни реальної балки системою з одним ступенем вільності. Розподілена уздовж балки маса замінюється зведеною масою, зосередженою в місці удару (Рис.15.11,б).

Літерою позначена зведена вага. Зведеною вона називається тому, що прогин від рівнодіючої зосередженої сили, що замінює розподілене навантаження, буде більший. Тому всю вагу посередині балки прикладати не можна. Величину зведеної ваги знайдемо, використовуючи динамічну еквівалентність двох систем: вихідної системи (Рис.15.11,а) і динамічно еквівалентної (Рис.15.11,б).

Рис.15.11

Дві системи називаються динамічно еквівалентними, якщо їх кінетичні енергії однакові. Знайдемо значення коефіцієнтів зведення для деяких окремих випадків.

1. Поздовжній удар. Визначимо величину коефіцієнта для випадку поздовжнього удару по стержневі сталого перерізу, затисненого одним кінцем (Рис.15.12,а). Вага стержня рівномірно розподілена уздовж стержня у вигляді інтенсивності розподіленого навантаження . Стержень зазнає удару вантажем , який у початковий момент часу займає верхнє положення в місці затиснення.

Помістимо початок координат у жорсткому затисненні, вісь направимо униз. Виділимо на відстані від початку координат нескінченно малий елемент довжиною . Маса цього елемента . Припустимо, що швидкість падіння вантажу пропорційна переміщенню розглянутого перерізу, яке у свою чергу пропорційне координаті (Рис.15.12,б). Максимального значення швидкість падіння вантажу досягає в нижній точці падіння на нижньому кінці стержня, де розташований упор. Тоді .

Рис.15.12

Кінетична енергія для вихідної системи з розподіленою масою має вигляд:

.

Кінетична енергія динамічно еквівалентної системи (Рис.15.11,в) дорівнює:

.

Прирівнюючи знайдені кінетичні енергії ( ) на підставі принципу динамічної еквівалентності двох систем, одержимо:

.

Звідки: .

2. Поперечний удар. Розглянемо балку сталого перерізу, шарнірно закріплену на двох опорах. Маса балки розподілена рівномірно уздовж балки, інтенсивність розподіленого навантаження складає . Для визначення кінетичної енергії системи припустимо, що швидкість елемента балки, що відстоїть від лівої опори на відстані (Рис.15.13,а), пропорційна переміщенню цього перерізу від статичного навантаження, прикладеного у виді сили в точці удару. Цю умову пропорційності можна виразити наступною пропорцією:

,

де і  відповідно швидкість і прогин у середині прольоту.

Припустимо, що, точка удару розташована посередині довжини балки (Рис.15.13,б), і одержимо наступне рівняння для прогинів:

.

Отже,

; .

Рис.15.13

Кінетичну енергію з урахуванням розаоділеної маси знайдемо з рівняння:

.

Визначимо тепер кінетичну енергію для балки, у якої посередині прольоту прикріплена зведена маса. Вважаючи, що швидкість руху цієї маси дорівнюватиме , одержимо:

.

Дорівнюючи отримані кінетичні енергії ( ) на підставі принципу динамічної еквівалентності двох систем, одержуємо значення коефіцієнта :

.

Для випадку, зображеному на рис.15.14, коефіцієнт .

Рис.15.14

Для інших випадків навантаження балок можна брати значення для коефіцієнта зведення маси у відповідних довідниках з опору матеріалів, наприклад, у [4].

Таким чином, динамічний коефіцієнт при ударі з урахуванням розподіленої маси набуває вигляду:

. (15.53)

Динамічний коефіцієнт при ударі можна також виразити через значення кінетичної енергії тіла Т, що вдаряє, і потенціальну енергію тіла, яке зазнає удару, при статичній деформації :

. (15.54)

При поздовжньому ударі силою потенціальна енергія стержня має вигляд:

. (15.55)

Для обчислення динамічного коефіцієнта при цьому може бути обраний один з виразів:

.

При поперечному ударі величина статичної деформації , що представляє собою статичний прогин балки в місці удару, залежить від схеми навантаження й умов обпирання балки.

Так, наприклад, для балки прольотом , шарнірно закріпленої на кінцях і підданої посередині прольоту ударові від падаючого з висоти вантажу , одержуємо:

; ; .

Динамічний коефіцієнт при цьому приймає вид:

.

Для консолі, що зазнає удару від вантажу , що падає на вільний кінець консолі:

; ; .

Динамічний коефіцієнт для консольної балки має вигляд:

.

Максимальне динамічне напруження для балки на двох опорах набуває вигляду:

.