7.3. Вычисление потенциальной энергии деформации. Определение перемещений при непосредственном использовании потенциальной энергии

Из выражения (7.3) следует, что потенциальная энергия деформации численно равняется работе внешних сил на вызванных ими перемещениях и, следовательно, может быть вычислена с учетом теоремы Клапейрона из выражения:

, (7.9)

где  обобщенная сила;  соответствующая ей обобщенная координата.

Вычислим потенциальную энергию для некоторых видов деформации, используя выражение (7.9).

При статическом растяжении и сжатии стержня силами величина работы, а, следовательно, и величина потенциальной энергииравняется:

. (7.10)

Здесь:  продольная сила;  абсолютное удлинение стержня;  модуль упругости первого рода;  площадь поперечного сечения стержня;  длина стержня.

В случае сдвига

. (7.11)

Здесь:  поперечная сила;  размер поперечного сечения;  величина абсолютного сдвига;  модуль упругости второго рода, модуль сдвига;  площадь поперечного сечения.

При кручении

. (7.12)

Здесь:  крутящий момент;  угол закручивания;  полярный момент инерции;  длина скручиваемого стержня.

При чистом изгибе концевые сечения балки (Рис.7.3) под действием изгибающих моментов повернутся на угол , где центральный угол изогнувшейся по дуге радиусом оси балки.

Рис.7.3

Тогда

(7.13)

При плоском поперечном изгибе работу на вызванных внешними силами перемещениях совершает также и поперечная сила . Вычислим эту работу.

Как отмечалось ранее, поперечные силы являются равнодействующими распределенных в точках сечения касательных напряжений (Рис.7.4,а). Последние в любой элементарной площадке, параллельной нейтральной линии сечения (Рис.7.4,б), согласно формуле Д.И.Журавского таковы:

,

где  статический момент площади отсеченной части сечения относительно нейтральной линии .

На основании закона Гука взаимный сдвиг двух соответствующих площадок , взятых на торцахи(Рис.7.4,в),

.

Рис.7.4

Следовательно, работа внутренних элементарных сил при их нарастании от нуля до окончательного значения

.

Интегрируя в пределах сечения , получим работу поперечных сил:

, (7.14)

где  коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения;  жесткость поперечного сечения стержня при сдвиге.

Для прямоугольного сечения ; для кругового ; для прокатных профилей приближенно, где площадь стенки.

В случае чистого сдвига касательные напряжения распределяются равномерно по сечению:

.

Следовательно

. (7.15)

Полученное выражение с точностью до знака совпадает с выражением для потенциальной энергии при чистом сдвиге (7.11).

Используя численное равенство потенциальной энергии деформации абсолютной величине работы внутренних сил, можно записать величину элементарной работы при осевом растяжении и сжатии:

; (7.16)

при кручении:

; (7.17)