7.9. Теорема о минимуме потенциальной энергии

Рассмотрим три раза статически неопределимую систему (Рис.7.20,а), усилия в элементах которой определить только из уравнений равновесия нельзя. Превратим систему в статически определимую, удалив соответствующее число связей. В данном примере (Рис.7.20,б) отброшены три связи – шарнирно подвижные опоры В, С и D. Действие отброшенных связей заменим соответствующими реакциями, которые будем рассматривать как независимые друг от друга внешние нагрузки.

Рис.7.20

Вычислим с помощью метода Кастильяно перемещения точек приложения силпо направлению их действия:

; ;,

где потенциальная энергия деформации системы.

Так как эти перемещения равны нулю, то

; ;. (7.49)

Уравнение (7.49) является необходимым условием экстремума функции . Легко видеть, что этот экстремум является минимумом, так как согласно формуле (7.46) вторые производные функциипоравны:

; ;. (7.50)

Перемещения существенно положительные величины, а положительный знак вторых производных свидетельствует о том, что условия задачи (7.49) являются условиями минимума функции.

Таким образом, приходим к теореме о минимуме потенциальной энергии: в статически неопределимых системах лишние неизвестные усилия принимают такие значения, при которых потенциальная энергия деформации имеет наименьшее значение.

Эта теорема была установлена итальянским математиком, механиком и военным инженером Луиджи Федериго Менабреа и носит его имя. Теорема известна также как теорема о наименьшей работе, так как вместо потенциальной энергии можно говорить о численно равной ей работе внешних сил.

На основании приведенной теоремы можно заключить, что при добавлении каких-либо связей потенциальная энергия тела всегда уменьшается.

7.10. Тесты к теме №7 “Общие теоремы об упругих системах. Общие методы определения перемещений”

№	Вопрос	Время на ответ, сек
1	На каких двух фундаментальных принципах механики основан общий метод определения перемещений?	20
	1. Принцип Сен-Венана и закон Гука.
	2. Принцип суперпозиции и закон всемирного тяготения.
	3. Принцип возможных перемещений и закон сохранения энергии.
	4. Прицип Даламбера и третий закон Ньютона.
2	Как называются группы постоянных сил и соответствующих перемещений, на которых эти силы совершают работу?	20
	1. Сосредоточенные силы и линейные перемещения.
	2. Сосредоточенные моменты и угловые перемещения.
	3. Крутящие моменты и углы закручивания.
	4. Обобщенные силы и обобщенные координаты.
3	Какой вид имеет теорема о работе внешних сил (теорема Бетти)?	30
	1.
	2.
	3.
	4.
4	Что из себя представляет выражение:	20
	1. Работа внешних сил.
	2. Потенциальная энергия деформации.
	3. Работа внутренних сил.
	4. Полная работа.
5	В каком случае сумма работ внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях точек системы равна нулю?	20
	1. Если система состоит из независимых тел, свободно перемещающихся одно по отношению к другому.
	2. Если система находится под действием неуравновешенных сил.
	3. Если система тел находится в равновесии.
	4. Если система дел испытывает динамическое деформирование.
6	Что выражает теорема Бетти?	30
	1. Равенство взаимных деформаций.
	2. Равенство взаимных напряжений.
	3. Равенство взаимных работ.
	4. Равенство взаимных перемещений.
7	Что выражает теорема Максвелла?	20
	1. Равенство взаимных деформаций.
	2. Равенство взаимных напряжений.
	3. Равенство взаимных работ.
	4. Равенство взаимных перемещений.
8	Какой из общих методов определения перемещений при плоском изгибе представлен формулой:	20
	1. Метод Максвелла.
	2. Метод Лагранжа.
	3. Метод Кастильяно.
	4. Метод Мора.
9	Какой из методов определения перемещений при расчете шарнирных ферм представлен формулой:
	1. Метод Мора.
	2. Метод Кастильяно.
	3. Метод Лагранжа.
	4. Метод Максвелла.
10	Определить с помощью метода Мора стрелу прогиба (в мм) для балки, изображенной на рисунке, если жесткость поперечного сечения балки равна кНм².	180
11	Используя формулу Максвелла, найти вертикальное перемещение узла В (в мм) фермы, изображенной на рисунке, если жесткости стержней фермы одинаковы кН.	300
12	Определить потенциальную энергию деформаций (в Нм) для изгибаемой балки, изображенной на рисунке при жесткости поперечного сечения кНм².	240
13	Используя выражение для потенциальной энергии деформации и теорему Клапейрона, определить стрелу прогиба (в мм) для балки, изображенной на рисунке, если жесткость поперечного сечения балки кНм².	240
14	Содержание какой из теорем выражает уравнение: , где U – потенциальная энергия деформации, – обобщенная сила.	30
	1. Теорема Максвелла.
	2. Теорема Кастильяно.
	3. Теорема Бетти.
	4.. Теорема Лагранжа.
15	Используя теорему Кастильяно, определить стрелу прогиба (в мм) для балки, изображенной на рисунке, если жесткость поперечного сечения балки кНм². .	240
16	Содержание какой из теорем выражает уравнение: , где – потенциальная энергия деформации,– обобщенная координата.	30
	1. Теорема Максвелла.
	2. Теорема Кастильяно.	30
	3. Теорема Бетти.
	4. Теорема Лагранжа.
17	Какой должна быть потенциальная энергия деформаций конструкции в соответствии с теоремой Менабреа?	30
	1. Принимает максимальное значение.
	2. Принимает минимальное значение.
	3. Равняется нулю.
	4. Принимает отрицательное значение.
18	Как называется графо-аналитический метод определения перемещений, представленный формулой:	20
	1. Метод Мора.
	2. Метод Кастильяно.
	3. Метод Мора-Симпсона.
	4. Метод Лагранжа.
19	Какое из единичных состояний балки следует принять при определении угла поворота в сечении А по методу Мора-Симпсона для балки, изображенной на рисунке?	30
	1.
	2.
	3.
	4.
20	Используя метод Мора-Симпсона, определить прогиб в сечении А (в мм) изображенной на рисунке балки, если жесткость поперечного сечения балки кНм².	300
21	Определить с помощью метода Мора-Симсона угол поворота сечения А (в рад) изображенной на рисунке балки, если жесткость поперечного сечения балки кНм².	240