7.7. Теоремы о взаимности работ и взаимности перемещений

Установим зависимость между деформациями в различных сечениях балки, пользуясь понятием потенциальной энергии.

Если к балке, нагруженной силой в сечении №1 (Рис.7.15), приложить затем статически силув сечении №2, то к прогибу точки приложения силыот этой же силыприбавится прогиб от силы, равный. Порядок индексации у перемещений описан выше.

Рис.7.15

Полная работа внешних сил будет состоять из трех частей: работы силы на вызванном ею перемещении, т.е.; работы силына вызванном ею перемещении, т.е.; работы силына перемещение точки ее приложения от силы, т.е..

Таким образом, накопленная в балке при действии обеих сил энергия будет равна:

. (7.38)

Как отмечалось выше, количество энергии деформации зависит лишь от конечных значений сил и прогибов и не зависит от порядка нагружения.

Если теперь к балке, нагруженной силой , приложить силу, то повторив цепь вычислений, получим:

. (7.39)

Сравнивая оба значения потенциальной энергии , имеем:

. (7.40)

Выражение (7.40) представляет собой теорему о взаимности работ, была выведена итальянским ученым Энрико Бетти и формулируется следующим образом: работа силы (или первой группы сил) на перемещениях, вызванных силой(второй группой сил), равна работе силына перемещениях, вызванных силой.

Эта теорема имеет важное практическое применение. Если , то. Пользуясь этим свойством взаимности, можно упростить выполнение опытов по определению перемещений. Пусть мы хотим экспериментальным путем найти прогибы в сечениях №1, №2, №3, №4 балки, защемленной одним концом А и нагруженной на другом конце В силой(Рис.7.16).

Рис.7.16

Вместо того, чтобы ставить для каждой точки свой прибор для измерения перемещений (прогибомер) (Рис.7.16,а) или переносить прибор, что всегда неудобно и может привести к ошибкам измерения, можно поступить иначе. Поставим прогибомер в точке В, а силу будем последовательно прикладывать в сечениях №1, №2, №3, №4 (Рис.7.16,б). Измеренные в точке В прогибы и будут по теореме Бетти равны прогибам точек №1, №2, №3, №4 от силы, приложенной в точке В.

Применяя теорему Бетти к частному случаю нагружения, когда в обоих состояниях приложено по одной обобщенной силе ив точках №1 и №2 (Рис.7.15). На основании формулы (7.40)

,

а так как , то

. (7.41)

Выражение (7.41) теоремы о взаимности перемещений (теоремы Джеймса Клерка Максвелла) и формулируется следующим образом: перемещение точки приложения первой единичной силы по ее направлению, вызванное действием второй единичной силы, равно перемещению точки приложения второй единичной силы по ее направлению, вызванному действием первой единичной силы.

Теоремы о взаимности работ и перемещений имеют большое значение в общей теории исследования напряженного и деформированного состояния стержней, пластинок, оболочек и других конструкций. Их применение существенно упрощает решение многих задач строительной механики, а также, как уже отмечалось выше, производство опытов по определению перемещений.