1.5. Динамічні властивості елементів

Характеристики управління дозволяють оцінити властивості елементів виходячи з їх роботи в усталених режимах. Але практично елементи автоматики працюють в динамічному, тобто неусталеному режимі, оскільки на вхід елемента звичайно надходять сигнали, що неперервно змінюються за часом. Тому для будь-якого елемента важливо оцінити його динамічні властивості. Ця оцінка здійснюється за допомогою диференціальних рівнянь, які зв’язують вхідні і вихідні величини.

Рівняння, що визначає зміну в часі вихідної координати елемента за заданою зміною в часі його вхідної координати, називається рівнянням руху елемента.

Режим роботи елемента, при якому вхідна та вихідна величини є функціями часу, називають динамічним, а рівняння руху елемента в цьому режимі – рівнянням динаміки.

Зв’язок між вхідною і вихідною величинами елемента в динамічному режимі, як відмічалось, описується в загальному випадку нелінійним диференціальним рівнянням виду (1.1) і (1.2).

Вони повною мірою визначають поведінку елемента при дії збурювальних і керувальних впливів або після припинення їх дії і являють собою математичний опис фізичних процесів, які протікають в елементі.

В деяких випадках нелінійні диференціальні рівняння замінюють більш простими лінійними диференціальними рівняннями. При цьому характер зміни вихідних величин практично зберігається.

Залежність між миттєвими значеннями вхідної х ( t ) і вихідної у ( t ) величин в перехідних режимах для лінійних і лінеаризованих елементів (систем) в загальному випадку може бути описана лінійним диференціальним рівнянням n-го порядку з постійними коефіцієнтами в операторній формі:

, (1.8)

де Х( р ) i Y ( p ) - відповідно зображення вхідної х ( t ) і вихідної у ( t ) величин; n, m - цілі додатні числа (зазвичай nm) ; а₀. а₁, ..., а_n ; b₀, b_1, ...,b_m - постійні коефіцієнти, які визначаються параметрами схеми.

При відомому законі зміни вхідної величини розв’язуванням диференціального рівняння можна визначити зміну вихідної величини в процесі роботи елемента.

Для складання диференціального рівняння елемента необхідно встановити фізичний закон, який визначає його поведінку. Такими законами можуть бути: закон збереження енергії, закон збереження речовини, другий закон Ньютона, закони Ома і Кірхгофа і інші основні закони фізики.

Математичний вираз відповідного закону, що визначає процес, який проходить в елементі, і являє собою початкове диференціальне рівняння руху елемента.

Наступним етапом є визначення факторів, від яких залежать змінні початкового рівняння руху, і встановлення рівнянь зв’язку, що характеризують цю залежність. Рівняння зв’язку в більшості випадків є нелінійними і можуть бути задані графічно або аналітично. В результаті підстановки їх аналітичного виразу в початкове рівняння отримують нелінійне рівняння елемента.

Останнім етапом при складанні рівняння динаміки є лінеаризація, яка здійснюється за допомогою формули Тейлора. Умовами, які допускають застосування лінеаризації, є відсутність розривів, неоднозначностей, різких перегинів в характеристиці і справедливість рівняння на протязі всього інтервалу регулювання.

Використовуючи методику складання диференціальних рівнянь, можна скласти рівняння для будь-якого елемента автоматичної системи управління. Розв’язуючи ці рівняння, можна досліджувати динамічні і статичні властивості елементів.

Лінійні диференціальні рівняння, які використовуються для опису поведінки елементів системи, можна вирішити класичним методом або з використанням перетворення Лапласа.

Роздивимося класичний метод розв’язування рівняння, який допускає проведення розв’язування в області дійсної змінної t.

Нехай деякий елемент системи описується лінійним диференціальним рівнянням n-го порядку з постійними коефіцієнтами і правою частиною

(1.9)

де x( t ) - вхідна величина елемента; у (t) - вихідна величина елемента ; m n.

Коефіцієнти а_і і b_i, які являють собою постійні величини, визначаються фізичними параметрами елемента, наприклад, ємністю, індуктивністю, масою, коефіцієнтом демпфування. Таким чином, закон зміни вихідного сигналу y(t) визначається як вхідним сигналом, так і параметрами елемента.

Згідно з класичним методом розв’язок неоднорідного диференціального рівняння є сумою загального розв’язку однорідного рівняння без правої частини і часткового розв’язку неоднорідного рівняння

y(t) = y_заг (t) + y_част (t). (1.10)

Загальний розв’язок визначається виразом

,(1.11)

де _і (і = 1, 2, ..., )- корені однорідного рівняння без правої частини;

k_і (і = 1, 2, ..., )- їх кратність ; - довільні постійні.

В випадку, коли корені _і є ненульовими і некратними, розв’язок (1.9) набуває більш простого вигляду

, (1.12)

де r - число дійсних коренів характеристичного рівняння, відповідного до однорідного рівняння;l - число пар комплексно спряжених коренів () характеристичного рівняння.

Оскільки однорідне рівняння описує вільний рух елемента системи, тобто його рух при відсутності впливу, то складова у_заг(t) розв’язку називається вільною складовою і описує перехідний процес елементів.

Частковий розв’язок, який визначає вимушений рух елемента, знаходять з урахуванням правої частини рівняння (1.9). Отже, утворена складова у_част(t) буде залежати як від параметрів елемента, так і від закону зміни вхідного сигналу х (t).

Кожному новому закону зміни вхідної величини буде відповідати новий розв’язок, тобто диференціальне рівняння необхідно вирішувати знову при кожному новому вхідному впливі.

Розв’язання рівнянь класичним методом являє собою досить трудомісткий процес, тому часто для розв’язання використовують перетворення Лапласа. Розв’язання за цим методом здійснюється в області комплексної змінної p= +j. Зв’язок між функцією дійсної змінної f (t) і функцією комплексної змінної F (p) встановлюється за допомогою перетворення

, (1.13)

яке називається перетворенням Лапласа.

Функція f (t) називається оригіналом. Перетворення Лапласа для цієї функції називається зображенням. Співвідношення між оригіналом і зображенням записується у вигляді L{f (t) } = F (p); f (t) F (p).

Розглянемо в якості приклада розв’язування диференціального рівняння вигляду (1.9) за методом перетворення Лапласа. Знайдемо перетворення Лапласа для кожного складника, який входить в рівняння. Згідно з теоремою диференціювання оригінала при нульових початкових умовах можна записати :

; ;

; ;

....................................; ....................................; (1.14)

; ;

; .

На підставі властивості про лінійність (1.9) в формі перетворення Лапласа буде мати вигляд

(1.15)

Розв’яжемо це рівняння відносно вихідної величини Y (р):

. (1.16)