4.2. Обчислити ймовірності подій за допомогою теорем додавання та множення ймовірностей.

4.2.1. Прилад складається з трьох незалежно працюючих вузлів. Вихід з ладу хоча б одного з них призводить до відмови всього приладу. Ймовірність безвідмовної работи протягом доби для першого вузла становить 0,9; для другого та третього вузлів ця ймовірність відповідно дорівнює 0,85, 0,75. Яка ймовірність того, що протягом доби прилад працюватиме безвідмовно?

4.2.2. В першому ящику містяться 7 стандартних і 3 бракованих деталі, а в другому  9 стандартних і 1 бракована. З кожного ящика беруть по одній деталі. Яка ймовірність того, що всі деталі виявляться стандартними або всі бракованими?

4.2.3. Відомі значення: P() = 0,2, P(А) = 0,5, P(В) = 0,4. З’ясувати, чи залежні випадкові події А і В. Обчислити P(A+B), P(А/В), P(В/А).

4.2.4. Задані дві множини цілих чисел: , . Із кожної множини навмання беруть по одному числу. Побудувати випадкові події:А  сума чисел виявиться кратною двом; В  сума чисел виявиться кратною трьом. З’ясувати, чи залежні випадкові події А і В. Обчислити Р(А+В), Р(AB).

4.2.5. При вмиканні запалювання мотор машини починає працювати з ймовірністю 0,9. Знайти ймовірність таких подій мотор машини почне працювати при другому вмиканні запалювання, мотор буде працювати при вмиканні запалювання не більше двох разів.

4.2.6. Одна й та сама монета підкидається два рази. Яка ймовірність того, що герб при цьому експерименті з’явиться при першому або при другому кидку?

4.2.7. В ящику містяться 10 червоних, 8 зелених і 12 синіх кульок однакових на дотик. Навмання вибирають дві кульки. Яка ймовірність того, що всі вони виявляться зеленого кольору, якщо відомо, що серед них відсутні сині кульки?

4.2.8. Знайти ймовірність безвідмовної роботи електричного ланцюга при вмиканні в мережу, якщо ймовірність виходу одного елементу з ладу при вмиканні є величиною сталою і дорівнює 0,1. Елементи з’єднані за схемою:

4.2.9. Ймовірність того, що стрілок при одному пострілі виб’є 10 очок, дорівнює 0,1, ймовірність вибити 9 очок  0,3, ймовірність вибити менше  0,6. Знайти ймовірність того, що при одному пострілі стрілок виб’є не менше 9 очок.

4.2.10. Деталі проходять три незалежних технологічних операції. Ймовірність одержати брак на першій операції дорівнює 0,05, на другій та третій  відповідно 0,02 і 0,01. Яка ймовірність одержати деталь без браку після проведення трьох операцій?

4.2.11. Яке значення повинна мати ймовірність випадкової подій в кожному з трьох незалежних випробувань, якщо відомо, що ймовірність появи випадкової події хоча б один раз з трьох виявилась рівною 0,999?

4.2.12. На автомобілі встановлено два охоронні пристрої, які працюють незалежно. Ймовірність того, що при спробі викрадення спрацює перший, дорівнює 0,95, другий  0,9. Знайти ймовірність того, що спрацює:

1) тільки один пристрій;

2) хоча б один.

4.2.13. Монету та гральний кубик підкидають по одному разу. Яка ймовірність того, що при цьому з’явиться число 5 на грані кубика і випаде герб на монеті, або з’явиться на грані кубика парне число і випаде герб на монеті?

4.2.14. Ймовірність влучення в мішень при кожному пострілі р = 0,9. Обчислити ймовірність того, що при здійсненні п’яти пострілів підряд буде три промахи.

4.2.15. Ймовірність влучити в мішень при одному пострілі є величиною сталою і дорівнює 0,9. Скільки необхідно спортсменові зробити пострілів, щоб ймовірність влучити в мішень хоча б один раз дорівнювала 0,9999?

4.2.16. По військовому літаку здійснено три ракетні залпи. Ймовірність влучити при першому дорівнює 0,95, при другому та третьому відповідно  0,85 та 0,7. При одному влученні в літак його буде знищено. Яка ймовірність того, що літак буде знищено?

4.2.17. На іспиті з теорії ймовірностей є 34 білети. Студент підготував лише 30 з них. Яка ймовірність того, що студент знає відповіді на питання другого білету, якщо першим він витяг білет, якого не знав?

4.2.18. Прилад складається з п’яти незалежно працюючих вузлів. Ймовірність того, що перший вузол не вийде з ладу під час роботи приладу є величиною сталою і дорівнює 0,95. Для другого, третього, четвертого та п’ятого вузлів ця ймовірність відповідно дорівнює 0,9; 0,85; 0,8; 0,7. Якщо під час роботи приладу з ладу вийде не менше ніж два вузли, то прилад стає непрацездатним. Обчислити ймовірність того, що прилад не буде працювати.

4.2.19. Знайти ймовірність безвідмовної роботи електричного ланцюга при вмиканні в мережу, якщо ймовірність виходу одного елементу з ладу при вмиканні є величиною сталою і дорівнює 0,1. Елементи з’єднані за схемою:

4.2.20. В першій урні містяться 6 червоних і 4 синіх кульки, а в другій  8 червоних і 2 синіх. Із кожної урни беруть по одній кульці. Яка ймовірність того, що кульки виявляться однакового кольору?

4.2.21. В урні містяться 3 білих і 4 чорних кульки. Два гравці по черзі навмання виймають по одній кульці із урни, без повернення. Виграє той гравець, в якого раніше з’явиться біла кулька. Для якого гравця ймовірність виграти більше  для першого чи другого?

4.2.22. В майстерні працюють три станки. Протягом зміни перший станок потребує наладки з ймовірністю 0,2 (і після цього не потребує наладки до кінця зміни). Для другого станка ця ймовірність дорівнює 0,15, а для третього  0,1. Враховуючи те, що станки потребують наладки незалежно один від одного, знайти ймовірність того, що протягом зміни хоча б один станок потребуватиме наладки.

4.2.23. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі для першого стрільця дорівнює 0,7, для другого  0,9. Кожен із стрільців здійснив по одному пострілу. Яка ймовірність того, що в мішені буде два влучення або жодного?

4.2.24. В розіграші першості з баскетболу бере участь 16 команд. Серед них 4 команди екстракласу. Випадково з 16 команд формують дві групи по 8 команд. Яка ймовірність того, що всі команди екстракласу опиняться в одній групі?

4.2.25. Знайти ймовірність безвідмовної роботи електричного ланцюга при вмиканні в мережу, якщо ймовірність виходу одного елементу з ладу при вмиканні є величиною сталою і дорівнює 0,2. Елементи з’єднані за схемою:

4.2.26.Три стрільця роблять по мішені по одному пострілу. Ймовірності влучення для першого стрільця  0,5, для другого  0,7 і для третього  0,8. Знайти ймовірність того, що в мішені буде одна чи дві пробоїни.

4.2.27. Знайти ймовірність безвідмовної роботи електричного ланцюга при вмиканні в мережу, якщо ймовірність виходу одного елементу з ладу при вмиканні є величиною сталою і дорівнює 0,2. Елементи з’єднані за схемою:

4.2.28. Деталь послідовно обробляється чотирма робітниками незалежно один від одного. Ймовірність припуститися браку першим робітником дорівнює 0,01. Для другого, третього та четвертого робітників ця ймовірність відповідно дорівнює 0,02, 0,08 та 0,05. Яка ймовірність того, що після обробки чотирма робітниками деталь виявиться придатною?

4.2.29. Задані дві множини цілих чисел ,. Із кожної множини навмання беруть по одному числу. Випадкові події:А  добуток чисел виявиться кратним 3, В  добуток чисел виявиться кратним 7. З’ясувати, чи залежні випадкові події А і В. Обчислити Р(А+В), Р(АB).

4.2.30. В урні міститься 3 білих і 4 чорних кульки. Два гравці по черзі навмання виймають по одній кульці з урни, без повернення. Виграє той гравець, в якого раніше з’явиться біла кулька. Яка ймовірність того, що виграє:

1) перший гравець;

2) другий гравець?

4.3. Обчислити ймовірності подій за допомогою формули повної ймовірності або формули Байєса.

4.3.1. В першому ящику міститься 4 стандартних і 3 бракованих деталі, а в другому  одна стандартна деталь. Із першого ящика навмання беруть три деталі і перекладають у другий ящик. Після цього навмання взята деталь із другого ящика виявилась стандартною. Яка ймовірність того, що з першого ящика в другий було перекладено три браковані деталі?

4.3.2. Маємо чотири урни. В трьох урнах міститься по 8 білих і 2 чорних кульки, а четверта урна порожня. Із кожної урни навмання беруть по одній кульці і перекладають в четверту урну. Яка ймовірність того, що навмання взята кулька з четвертої урни виявиться білою?

4.3.3. Є чотири групи. В першій групі відмінники складають 50%, в другій  30%, в третій  10%, а в четвертій немає відмінників. Із чотирьох груп навмання вибирають одну. З цієї групи викликали учня, який виявився відмінником. Яка ймовірність того, що цей учень був з першої групи?

4.3.4. Для збірки радіоприймачів надходять деталі, виготовлені трьома цехами заводу. Із них 45% від цеху №1; 45%  від цеху №2; 30%  від цеху №3. Відомо, що брак першого цеху складає 0,3%, другого  0,5%, третього  0,9%. Деталь, яка надійшла на збірку, виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що її виготовив цех №2?

4.3.5. Троє робітників виготовляють однотипні деталі. При цьому їх продуктивності співвідносяться, як 10:8:12. Ймовірність допустити брак при виготовленні однієї деталі для кожного з робітників відповідно дорівнює 0,02; 0,07 та 0,01. Яка ймовірність того, що навмання взята одна деталь виявиться стандартною?

4.3.6. Перший робітник за зміну виготовив 80 деталей, а другий  60. Брак для першого робітника в середньому складає 5% виготовленого, а для другого  8%. Після зміни виготовлені деталі складають в один контейнер. Навмання взята одна деталь із контейнера виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що її виготовив перший робітник?

4.3.7. Кількість вантажних автомашин, що проїжджають по шосе повз бензоколонки, відноситься до числа легкових як 5:9. Ймовірність того, що до бензоколонки під’їде вантажна машина для заправки, дорівнює 0,25, для легкової ця ймовірність дорівнює 0,157. До бензоколонки для заправки під’їхала машина. Яка ймовірність того, що вона виявиться вантажною?

4.3.8. Маємо два контейнери. В першому міститься 10 однотипних виробів, з яких 7 відповідають стандарту, а в другому 12, з яких 8 відповідають стандарту. Яка ймовірність того, що навмання вибрані три вироби з довільного контейнера будуть відповідати стандарту?

4.3.9.Колгосп заготував для посіву насіння пшениці, серед якої виявилось 85% першого сорту, 10%  другого і 5%  третього сорту. Ймовірність того, що з зернини І сорту виросте колосок, в якому буде не менше 30 зернин, дорівнює 0,65, для ІІ та ІІІ сортів  відповідно 0,15 та 0,1. Яка ймовірність того, що навмання взятий колосок нового врожаю буде мати не менше 30 зернин?

4.10. В маршрутному таксі знаходиться три пасажири. На наступній зупинці кожен з них може залишити таксі з ймовірністю 0,1, а зайде в таксі новий пасажир із ймовірністю 0,2. Яка ймовірність того, що коли таксі знову вирушить по маршруту після зупинки, в салоні таксі буде три пасажири?

4.3.11. В першому ящику містяться 10 білих і 3 чорних кульки, а другий ящик  порожній. З першого ящика навмання беруть чотири кульки і перекладають у другий ящик. Яка ймовірність тепер вийняти з другого ящика білу кульку?

4.3.12. Маємо три партії однотипних деталей. В першій партії стандартні складають 90%, в другій  80%, а в третій  95%. Із навмання обраної партії взято одну довільну деталь, яка виявилась стандартною. Яка ймовірність того, що ця деталь належить третій партії?

4.3.13. В спеціалізовану лікарню надходять в середньому 55% хворих із захворюванням типу А, 30%  із захворюванням типу Б і 15% хворих із захворюванням типу В. Ймовірність повного вилікування від захворювання А дорівнює 0,8, для захворювань Б і В ця ймовірність відповідно дорівнює 0,9 та 0,7. Хворий, який надійшов у лікарню, був виписаний здоровим. Яка ймовірність того, що він лікувався від захворювання типу А?

4.3.14. В першій урні 10 кульок, з яких 8 білих, у другій урні  20 кульок, з яких 4 білих. З кожної урни навмання витягли по одній, потім з двох, не дивлячись, обрано одну кульку. Яка ймовірність, що вона біла?

4.3.15. На склад надійшли однотипні вироби. Із них 40% надійшло з фабрики №1, 35%  з фабрики №2 і 25%  від фабрики №3. Брак при виготовленні цих виробів в середньому відповідно дорівнює: 2%, 5%, 9%. Яка ймовірність того, що навмання взятий виріб зі складу виявиться придатним?

4.3.16. До складального цеху надходять деталі від трьох інших цехів. Від першого надходить 40% усіх деталей, від другого 10% і від третього  решта деталей. Перший цех допускає в середньому 0,1 браку, другий  0,2 і третій  0,4. Яка ймовірність того, що отриману стандартну деталь виготовлено третім цехом?

4.3.17. Три станки виготовляють однотипні деталі. Ймовірність браку для першого, другого та третього станків відповідно дорівнює: 0,09; 0,01 та 0,05. Продуктивність першого станка втричі більше за продуктивність другого станка, а продуктивність другого в два рази менше від третього. Яка ймовірність того, що навмання вибрана для перевірки деталь виявиться стандартною?

4.3.18. В ящику містяться 8 стандартних і 4 браковані деталі. Навмання з ящика беруть чотири деталі і в нього їх не повертають. Яка ймовірність після цього вийняти з ящика одну стандартну деталь?

4.3.19. З трьох незалежно працюючих елементів пристрою два відмовили. Знайти ймовірність того, що відмовили перший і другий елементи, якщо ймовірності відмови першого, другого та третього елементів пристрою відповідно дорівнюють 0,2; 0,4 і 0,3.

4.3.20. Три друкарки працюють разом. Їх продуктивність відноситься як 6:2:2. Ймовірність припуститися помилки для першої, другої та третьої друкарки відповідно дорівнює 0,1; 0,2 і 0,4. Помилку зроблено. Знайти ймовірність, що її припустилася третя друкарка.

4.3.21. В першому ящику містяться 5 стандартних і 3 браковані однотипні деталі, в другому  8 стандартних і 2 браковані, а третій ящик є порожнім. Із першого ящика навмання беруть дві деталі, а з другого одну і перекладають у в третій. Яка ймовірність тепер з третього ящика навмання вийняти стандартну деталь?

4.3.22. Перший станок-автомат виготовляє 45% деталей, а другий і третій  відповідно 25% і 30%. Серед деталей, виготовлених першим станком, 4% бракованих, другим  1%, третім  8%. На збірку надійшла деталь, яка виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що її виготовив третій станок-автомат?

4.3.23.В групі з 25 стрільців маємо 6, які стріляють відмінно, 10  добре, 9  посередньо. Ймовірність влучити в ціль для відмінника дорівнює 0,95, для того, хто влучає добре  0,75, для посереднього  0,45. Яка ймовірність, що навмання обраний стрілець влучить в ціль?

4.3.24. Два станки-автомати працюють незалежно один від одного. Ймовірність того, що перший станок потребує уваги робітника протягом зміни дорівнює 0,1, а для другого ця ймовірність дорівнює 0,15. Яка ймовірність того, що за зміну обидва станки потребуватимуть уваги робітника або жоден з них не потребуватиме цієї уваги?

4.3.25. До складального цеху надходять деталі від чотирьох інших цехів. Від першого надходить 40% усіх деталей, від другого 30%, від третього 20%, від четвертого  решта деталей. Перший цех допускає в середньому 0,1 браку, другий  0,2, третій  0,3 і четвертій  0,4. Яка ймовірність того, що до В спартакіаді приймає участь 6 студентів із першої групи, 8  із другої, 4  з третьої. Студент першої групи буде зарахований до збірної інституту з ймовірністю 0,9, другої групи  із ймовірністю 0,85 і третьої  0,95. Навмання вибраний студент був зарахований в команду інституту. Яка ймовірність того, що цей студент із третьої групи?

складального цеху надійде стандартна деталь?

4.3.26. Маємо два ящики. В першому містяться 7 стандартних і 3 бракованих вироби, у другому  5 стандартних і 5 бракованих. Монета підкидається один раз. Якщо випаде герб, то навмання беруть дві деталі з першого ящика, а якщо на монеті випаде число, то дві деталі беруть з другого ящика. Обчислити ймовірність появи двох стандартних деталей при проведенні цього експерименту.

4.3.27. В спартакіаді приймає участь 6 студентів із першої групи, 8  із другої, 4  з третьої. Студент першої групи буде зарахований до збірної інституту з ймовірністю 0,9, другої групи  із ймовірністю 0,85 і третьої  0,95. Навмання вибраний студент був зарахований в команду інституту. Яка ймовірність того, що цей студент із третьої групи

4.3.28. Відомо, що 92% виготовлених заводом виробів відповідають вимогам стандарту. Спрощена схема контролю визнає придатним стандартний виріб із ймовірністю 0,99, а нестандартний із ймовірністю 0,01. Визначити ймовірність того, що виріб, який пройшов спрощену схему контролю, відповідає вимогам стандарту?

4.3.29. Прилад складається із двох вузлів. Робота кожного вузла є необхідною умовою для роботи приладу в цілому. Надійність роботи першого вузла 0,9, другого 0,8. Прилад під час випробування відмовив. Яка ймовірність того, що відмовили в работі два вузли, якщо відомо, що перший вузол відмовив?

4.3.30. Годинники виготовляються на трьох заводах. Перший завод виготовляє 45% всієї продукції, що надходить в магазин; другий  35%; третій  20%. На першому заводі 80% продукції вищого сорту, для другого та третього заводів  90%, 75%. Наздогад куплений годинник в магазині виявився першого сорту. Яка ймовірність того, що його виготовив другий завод?