Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

КР ІЗДН _(Кадастр) / КР 1.doc

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

2.72 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Контрольна робота № 1

Для виконання контрольної роботи потрібно:

1) переписати умови всіх задач даного варіанту (можна замість повних умов задач записати лише їх номер);

опрацювати відповідний теоретичний матеріал посібника;
застосувати необхідні формули і розв’язати завдання.

Наведемо зразок контрольної роботи № 1, її виконання і оформлення.

Зразок розв’язання і оформлення контрольної роботи № 1.

Варіант№31

Завдання 1.1.31 Знайти матрицю,

якщо ;;.

Розв’язання. Знайдемо добуток матриць і :

Помножимо знайдену матрицю на 4:

Піднесемо матрицю до квадрата і помножимо її на 3:

Знайдемо матрицю :

Завдання 1.2.31Дослідити на сумісність і розв’язати систему лінійних рівнянь, користуючись методом Гаусса, Крамера та матричним

Розв’язання. Дослідимо систему рівнянь на сумісність за допомогою теореми Кронекера-Капеллі. Запишемо розширену матрицюсистеми:

Виконаємо елементарні перетворення матриці , а саме: помножимо елементи першого рядка на (2) і додамо до другого; помножимо елементи першого рядка на (8) і додамо до третього рядка. Отримаємо

Оскільки і кількість невідомих , то система сумісна і має єдиний розв’язок.

Відповідно до останньої матриці, система набула трикутного вигляду:

Отже, розв’язком системи є:

Розв’яжемо систему рівнянь методом Крамера.

Знайдемо визначник системи рівняньта визначники,,:

Оскільки , то система рівнянь має єдиний розв’язок, який знайдемо за формулами Крамера (1.15):

Отже, розв’язком системи є: Дійсно, підставивши отриманий розв’язок в задану систему рівнянь, отримаємо тотожності.

Розв’яжемо систему рівнянь матричним методом.

Запишемо матриці тасистеми у вигляді:

; ;.

Згідно з формулою (1.16) систему лінійних рівнянь можна записати матричним рівнянням розв’язок якого задається формулою (1.17).

Знайдемо матрицю, обернену до матриці , за формулою (1.6). Для цього спочатку обчислимо визначник матриці:

Оскільки то обернена матриця існує. Обчислимо алгебраїчні доповнення елементів матриці:

Отже, обернена матриця має вигляд:

Знайдемо матрицю як добуток двох матрицьі:

Таким чином,

Завдання 1.3.31 Задані координати точок ,- вершини пірамідиЗнайти:

а) координати векторів ,,та їхні довжини;

б) кут при вершині грані ;

в) площу основи піраміди;

г) об’єм піраміди та довжину висоти, опущеної з вершинина основу.

Розв’язання.

а) Знайдемо координати векторів ,,, застосувавши формулу (2.5):

Для знаходження довжини вектора застосуємо формулу (2.4):

б) З формули (2.17) знайдемо :

За формулою (2.19) знайдемо: .

Кут при вершині грані :

в) Якщо відомі координати вершин трикутника , то його площу можна знайти за формулою

Отже, площа основи пірамідидорівнює.

г) Використаємо формулу (2.26) для знаходження об’єму піраміди :

З формули об’єму піраміди виразимо

Завдання 1.4..31Задано трикутник з вершинами. Необхідно:

а) скласти рівняння сторони , записати у відрізках на осях та у вигляді рівняння з кутовим коефіцієнтом, привести до нормального виду;

б) записати загальне рівняння медіани , висотита прямої, яка паралельна стороні;

в) знайти довжину висоти та внутрішній кут між медіаноюі стороною.

Розв’язання:

а) рівняння сторони знайдемо за формулою (3.5)

і приведемо його до вигляду рівняння з кутовим коефіцієнтом:

Зведемо рівняння сторони до вигляду рівняння прямої у відрізках на осях (3.11), деі

, а отже, ,

Підставивши у рівняння замістьіїх числові значення, отримаємо:

Загальне рівняння прямої :приведемо до нормального виду. Обидві частини загального рівняння необхідно помножити на нормуючий множник. В даному випадкуЗнак нормуючого множника береться протилежним знаку вільного члена загального рівняння. Отже,

Помножимо дане рівняння на і отримаємо нормальне рівняння прямої:

б) знайдемо точку М, як середину сторони ВС.

Складемо рівняння медіани , як рівняння прямої, що проходять через дві точки, використовуючи формулу (3.5):

;

Знайдемо рівняння висоти за формулою (3.10). Оскільки висотапроходить через точкуі має нормальний вектор, то рівняння висоти має вигляд:

, .

Напрямний вектор прямої . Оскільки прямапаралельна стороні, і враховуючи, що прямапроходить через точку, за формулою (3.6) запишемо шукане рівняння прямої:

в) довжину висоти знаходимо як відстаньвід точкидо сторониза формулою (3.22):

Запишемо рівняння прямої як рівняння прямої, що проходять через дві точки, використовуючи формулу (3.5) і приведемо його до загального вигляду:

Кут між медіаною і стороноюзнайдемо за формулою (3.13). Для цього визначимо кутові коефіцієнти прямихі:

, .

Завдання 1.5.31. Обчислити границі, не користуючись правилом Лопіталя:

а); б) ; в);

г) ; д); е) ; є).

Розв’язання:

а) розкладемо чисельник і знаменник дробу на множники, а потім скоротимо дріб на :

б) помножимо чисельник і знаменник дробу на вираз , а потім скоротимо дріб на:

в) користуючись таблицею еквівалентних нескінченно малих величин, замінимо нескінченно малі величини в чисельнику і знаменнику еквівалентними: ;

г) скористаємось другою важливою границею(4.2):

;

д) поділимо чисельник і знаменник дробу на в найбільшому степені, тобто на:

;

е)поділимо чисельник і знаменник дробу на в найбільшому степені, тобто на:

є) помножимо чисельник і знаменник дробу на вираз , виконаємо тригонометричні перетворення та замінимо в чисельнику нескінченно малі величиниіеквівалентними, потім скоротимо дріб на:

Завдання 1.7.31. Знайти похідні функцій:

а) ; б) ; в); г).

Розв’язання:

а)скористаємось правилом диференціювання складеної функції (5.9):

б) скористаємось формулою похідної добутку двох функцій (5.7) та правилом диференціювання складеної функції (5.9):

;

в) прологарифмуємо обидві частини рівності, а потім продиференціюємо отриману рівність, використовуючи правило диференціювання складеної функції (5.9): , звідси:

;

г) продиференціюємо обидві частини рівності по , вважаючи функцією від: ;;; .

Завдання 1.8..31 Знайти похідну функції, заданої параметрично:

Розв’язання. Знайдемо похідну:.

Завдання 1.9..31 Знайти похідну другого порядку функції .

Розв’язання. Знайдемо спочатку похідну першого порядку даної функції: , потім знайдемо похідну другого порядку:.

Завдання 1.10..31 Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в точці з абсцисою.

Розв’язання. Знайдемо похідну даної функції та її значення в точці :

Знайдемо :. Підставимо отримані значення в рівняння дотичної (5.5) та нормалі (5.6):

Отже, рівняння дотичної до даної кривої:

або ;

рівняння нормалі: або.

Завдання 1.11..31 Знайти диференціал та наближене значення функції в точці .

Розв’язання. Знайдемо диференціал функції за формулою (5.13): .

Знайдемо наближене значення функції в точці за формулою (5.14), де

Завдання 1.12..31 Знайти границі за правилом Лопіталя: а) ; б).

Розв’язання: а) подамо добуток функцій у вигляді частки, а потім застосуємо правило Лопіталя (5.15):

б) запишемо функцію у вигляді степеня з натуральною основою і, користуючись властивістю логарифмів, подамо показник степеня у вигляді частки, що дасть можливість використати правило Лопіталя (5.15):

Завдання 1.13..31 Дослідити функції та побудувати їх графіки:

а) ; б) .

Розв’язання: а) Область визначення даної функції . В точці функція має розрив. Знайдемо односторонні границі функції:

отже, — точка розриву другого роду.

Пряма є вертикальною асимптотою кривої.

Функція ні парна, ні непарна, неперіодична.

Знайдемо екстремуми та інтервали монотонності функції:

в точці , яка є критичною,

не існує в точці , але це не критична точка, тому що вона є точкою розриву .

— функція зростає при

—функція спадає при .Отже, — точкамінімуму: .

Знайдемо інтервали опуклості та вгнутості, точки перегину:

, не існує при , але ця точка не може бути точкою перегину, тому що є точкою розриву.

Отже, графік функції не має точок перегину, причому на всій області визначення, тому графік функції всюди вгнутий.

Знайдемо асимптоти:

— вертикальна асимптота;

отже, пряма — похила асимптота.

Графік функції перетинає вісь Ox в точці (1;0) і не перетинає вісь Oy.

За результатами досліджень будуємо графік функції:

б) Область визначення даної функції .В точці функція має розрив. Використовуючи правило Лопіталя (5.15), знайдемо односторонні границі функції:

аналогічно,

отже, — точка розриву другого роду.

Пряма є вертикальною асимптотою кривої.

Функція ні парна, ні непарна, неперіодична.

Знайдемо екстремуми та інтервали монотонності функції:

в точці , яка є критичною,

не існує в точці , але це не критична точка, тому що вона є точкою розриву .

— функція зростає при ,

—функція спадає при .Отже, — точкамінімуму: .

Знайдемо інтервали опуклості та вгнутості, точки перегину:

, , існує на всій області визначення функції. Отже, графік функції не має точок перегину, причому на всій області визначення, тому графік функції всюди вгнутий.