КР ІЗДН _(Кадастр) / КР 3

КОНТРОЛЬНА РОБОТА №3

Для виконання контрольної роботи потрібно:

1. переписати умови всіх задач даного варіанту;

2. опрацювати відповідний теоретичний матеріал посібника;

3. застосувати необхідні формули і розв’язати завдання.

Наведемо зразок контрольної роботи № 4, її виконання і оформлення.

Зразок розв’язання і оформлення контрольної роботи №4

Варіант № 31

Завдання 3.1. Обчислити подвійний інтеграл і перевірити отриманий результат, змінивши порядок інтегрування.

Обчислити подвійний інтеграл , якщо область D обмежена прямими x=2 , y=x і гіперболою ху=1. Перевірити отриманий результат.

Розв’язання. Зобразимо задану область D на рис. 5.3.

рис. 5.3

Оскільки гіпербола ху=1 перетинається з прямою у=х в точці (1; 1), а з прямою х=2 в точці (2; 0,5), то

Перевіримо отриманий результат змінивши межі інтегрування

Відповідь:

Завдання 3.2. Обчислити потрійний інтеграл по області , обмеженій вказаними поверхнями:

Обчислити , якщо область обмежена циліндром і площинами .

Розв`язання. Перейдемо до циліндричних координат. Тоді рівняння циліндра набуде вигляду

, або ,

тобто . Отже, в області координати змінюються таким чином: . Тому,

Перехід від декартових координат до сферичних ,

пов`язаних з співвідношеннями (, , ), здійснюється за формулою

. (5.19)

Приклад. Обчислити , якщо - куля .

Розв`язання. Перейдемо до сферичних координат. В області координати і змінюються так: . Отже,

.

Завдання 3.3.31. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду

де L відрізок прямої від точки А(0; 0) до точки В(4; 3).

Розв`язання. Рівняння прямої АВ має вигляд Знаходимо . Отже,

Завдання 4.4.31. Дослідити на збіжність ряди з додатними членами:

а) ; б) в) г) .

Розв’язання. а) Застосуємо для визначення збіжності або розбіжності ряду з додатними членами ознаку порівняння рядів.

Для цього порівняємо заданий ряд із рядом Діріхле .

Перші члени заданого ряду : , а ряду Діріхле : .

Очевидно, що при будь-якому члени ряду Діріхле більше відповідних членів заданого ряду:

, , , , …, .

Оскільки ряд збіжний , то за ознакою порівняння рядів заданий ряд також буде збіжний.

б) Для перевірки збіжності або розбіжності ряду застосуємо ознаку Даламбера. Для цього запишемо -й і ()-й члени ряду:

.

Знайдемо границю відношення за формулою (6.7)

Оскільки границя відношення , то за ознакою Даламбера ряд розбіжний.

в) До ряду застосуємо радикальну ознаку Коші. За формулою (6.8) маємо:

Оскільки , то згідно з радикальною ознакою Коші ряд розбіжний.

г) До ряду застосуємо інтегральну ознаку Коші. Для цього розглянемо загальний член ряду і побудуємо функцію .

Обчислимо невласний інтеграл:

.

Таким чином, невласний інтеграл збіжний і згідно з інтегральною ознакою Коші збіжний і ряд .

Завдання 4.4.5.. Дослідити на збіжність ряди:

a) ; б) .

Розв’язання. а) Заданий ряд є знакозмінним. Побудуємо ряд із абсолютних величин членів заданого ряду:

.

Отримали ряд з додатними членами і для визначення його збіжності або розбіжності застосуємо ознаку Даламбера. Для цього запишемо

і за формулою (6.7) обчислимо границю відношення

Оскільки , то за ознакою Даламбера ряд з абсолютних величин елементів заданого ряду збіжний і за означенням ряд збіжний абсолютно.

б) Заданий ряд є знакозмінним Побудуємо ряд із абсолютних величин членів заданого ряду:

.

Отримали ряд з додатними членами і для визначення його збіжності або розбіжності застосуємо інтегральну ознаку Коші. Запишемо функцію і обчислимо невласний інтеграл

.

Невласний інтеграл збіжний і згідно з інтегральною ознакою Коші збіжний і ряд .

Отже, заданий ряд збіжний абсолютно.

Завдання 4.6.31. Знайти радіус, інтервал і область збіжності степеневих рядів:

а) ; б) .

Розв’язання. а) Радіус збіжності знайдемо за формулою (6.16):

, ,

.

Радіус збіжності степеневого ряду дорівнює , а інтервал збіжності .

Для отримання області збіжності степеневого ряду дослідити збіжність ряду на кінцях інтервалу збіжності в точках ,.

При степеневий ряд перетворюється в знакопочережний числовий ряд

,

в якому його члени, монотонно спадаючи, прямують до нуля

,

Отже, за ознакою Лейбніца ряд збігається і точку додамо до області збіжності.

При степеневий ряд перетворюється в знакододатний числовий ряд

.

Для будь-яких значень виконується нерівність

.

За ознакою порівняння рядів ряд збіжний, оскільки збіжний ряд з більшими членами (як ряд Діріхле, де ). Таким чином, точка належить області збіжності.

Отже, областю збіжності степеневого ряду є відрізок .

б) Обчислюємо радіус збіжності степеневого ряду за формулою (6.16):

; ;

.

Радіус збіжності , а інтервал збіжності .

Дослідимо поведінку степеневого ряду на кінцях інтервалу збіжності в точках , .

При маємо знакододатний числовий ряд

.

Порівняємо його з рядом Діріхле (), який є розбіжним, а це означає, що і досліджуваний ряд розбіжний. Отже, точка не належить області збіжності.

При маємо знакопочережний числовий ряд

,

який задовольняє умовам ознаки Лейбніца:

, ,

тому є збіжним і точка належить області збіжності.

Отже, областю збіжності степеневого ряду є півінтервал .

Завдання 4.7.31. Розкласти в ряд Маклорена функцію

.

Розв’язання. Застосуємо розкладання в ряд Маклорена (6.19) функції

.

Нехай . Тоді

, або

.

Отже,

.

Маємо розклад функції в ряд Маклорена:

.

Ряд в правій частині рівності має областю збіжності всю числову вісь і його сумою є функція.

3.1. Обчислити подвійний інтеграл і перевірити отриманий результат, змінивши порядок інтегрування. Тут область D обмежена вказаними лініями.

3.1.1 .

3.1.2 .

3.1.3 .

3.1.4 .

3.1.5 .

3.1.6 .

3.1.7 .

3.1.8 .

3.1.9 .

3.1.10 .

3.1.11 .

3.1.12 .

3.1.13 .

3.1.14 .

3.1.15 .

3.1.16 .

3.1.17 .

3.1.18 .

3.1.19 .

3.1.20 .

3.1.21 .

3.1.22 .

3.1.23 .

3.1.24 .

3.1.25 .

3.1.26 .

3.1.27 .

3.1.28 .

3.1.29 .

3.1.30 .

Завдання 3.2

Обчислити потрійний інтеграл по області , обмеженій вказаними поверхнями:

3.2.1

3.2.2

3.2.3

3.2.4

3.2.5

3.2.6

3.2.7

3.2.8

3.2.9

3.2.10

3.2.11

3.2.12

3.2.13

3.2.14

3.2.15

3.2.16

3.2.17

3.2.18

3.2.19

3.2.20

3.2.21

3.2.22

3.2.23

3.2.24

3.2.25

3.2.26

3.2.27

3.2.28

3.2.29

3.2.30

Завдання 3.3. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду.

3.3.1. , L - відрізок прямої між точками , .

3.3.2. ; L - дуга кривої між точками та .

3.3.3. ; L - дуга кривої між точками ; .

3.3.4. ; L - дуга кривої між точками ; .

3.3.5. ; L - дуга кривої між точками ; .

3.3.6.; L - дуга синусоїди , .

3.3.7. ; L - дуга косинусоїди , .

3.3.8. ; L - дуга тангенсоїди ,

3.3.9. L - дуга кривої , .

3.3.10. ;L - дуга кривої ,

3.3.11. ; L - верхне півколо

3.3.12. ; L - дуга кривої , , ,

3.3.13. ; L - арка циклоїди , , .

3.3.14. ; L - дуга кривої

3.3.15 ; L - дуга кривої , , .

3.3.16 ; L - коло

Обчислити довжину дуги вказаної кривої.

3.3.17. ,