КОНТРОЛЬНА РОБОТА №4.

Для виконання контрольної роботи потрібно:

1. переписати умови всіх задач даного варіанту;

2. опрацювати відповідний теоретичний матеріал посібника;

3. застосувати необхідні формули і розв’язати завдання.

Наведемо зразок контрольної роботи № 4, її виконання і оформлення.

Зразок розв’язання і оформлення контрольної роботи №4

Варіант № 31

Задача 4.1. 31. Знайти ймовірність випадкової події за допомогою правил і теорем комбінаторики.

Група з 24 студентів, серед яких 5 відмінників, довільно розбивається порівну на дві підгрупи. Знайти ймовірність того, що три відмінники будуть у першій підгрупі (подія А).

Розв’язання. Будемо випадково відбирати 12 студентів у першу підгрупу. Побудуємо класичну модель досліду, в якому кожен випадок – це один із варіантів розподілу студентів. Якщо послідовність відбору не береться до уваги, то загальне число п випадків у такій моделі дорівнює числу різних комбінацій із 24 по 12:

.

Серед знайденого числа способів комплектування першої підгрупи знайдемо число варіантів т, сприятливих події А. Це такі варіанти, у яких 3 студенти взяті серед 5 відмінників, а решта 9 – серед 19 студентів, що не вчаться на відмінно. Число т знайдемо за комбінаторним принципом добутку

.

Тоді ймовірність попадання трьох відмінників у першу підгрупу обчислюється за класичною формулою (1.1):

.

Відповідь: 0,34.

4.2.31. Обчислити ймовірності подій за допомогою теорем додавання та множення ймовірностей. Серед семи виробів знаходяться три бракованих. Знайти ймовірність події А, яка полягає в тому, що один за одним без повернення будуть вийняті три вироби у такій послідовності: бракований – не бракований – бракований.

Розв’язання. Позначимо події: А₁ – перший узятий виріб бракований; А₂ – другий виріб не бракований; А₃ – третій виріб бракований. Тоді ймовірність події А можна обчислити за теоремою множення ймовірностей:

.

Відповідь: 0,114.

4.3. Обчислити ймовірності подій за допомогою формули повної ймовірності або формули Байєса. Імовірність поразки команди ДК у матчі з командою ЮМ при дощовій погоді становить 0,5, а при відсутності дощу – 0,6. Імовірність дощу у день матчу становить 0,2. а) Знайти ймовірність уникнення поразки командою ДК. б) Команда ДК зазнала поразки. Яка ймовірність того, що матч відбувався при дощовій погоді?

Розв’язання. а) Нехай подія А – поразка команди ДК. Утворимо дві гіпотези:

Н₁ – під час матчу буде дощова погода; Н₂ – під час матчу не буде дощу.

За умовою задачі . За формулою повної ймовірності знайдемо ймовірність поразки команди ДК:

.

Тоді ймовірність уникнення поразки становить

.

б) За формулою Байєса знаходимо ймовірність того, що йшов дощ під час матчу, у якому команда ДК зазнала поразки:

.

Відповідь: а) 0,58; б) 0,17.

4.4. Знайти ймовірності подій за допомогою формули Бернуллі. Імовірність влучити в мішень при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти найімовірніше число влучень із шести пострілів і відповідну ймовірність.

Розв’язання. Знайдемо величину виразу (не ціле). Тоді найбільше ціле число, яке не перевищує 5,6, дорівнює 5. Таким чином, найбільш імовірне число влученьк =5. Імовірність п’яти влучень із шести пострілів обчислюємо за формулою Бернуллі .

Відповідь: к = 5 і .

4.5. Обчислити ймовірності подій за допомогою асимптотичних формул для схеми Бернуллі. Словник має 1500 сторінок. Імовірність друкарської помилки на одній сторінці дорівнює 0,001. Знайти ймовірність того, що в словнику: а) буде точно три помилки; б) не буде жодної помилки; в) буде хоча б одна помилка.

Розв’язання. а) Тут імовірність події в одному досліді р= 0,001<0,01, а добуток пр = 15000,001=1,5<20. Тоді за формулою Пуассона знаходимо

.

б) Імовірність того, що в словнику не буде жодної помилки, тобто к = 0, знаходимо за тією ж формулою

.

в) Подія А – у словнику буде хоча б одна помилка, є протилежною до події – у словнику немає жодної помилки. Тому .

Відповідь: а) 0,125; б) 0,223; в) 0,777.