КР ІЗДН _(Кадастр) / КР 2

КОНТРОЛЬНА РОБОТА №2

Для виконання контрольної роботи потрібно:

1) переписати умови всіх задач даного варіанту (можна замість повних умов задач записати лише їх номер);

2. опрацювати відповідний теоретичний матеріал посібника;

3. застосувати необхідні формули і розв’язати завдання.

Наведемо зразок контрольної роботи № 1, її виконання і оформлення.

Зразок розв’язання і оформлення контрольної роботи № 1.

Варіант №31

Завдання 2.1. а) Обчислити невизначений інтеграл

Розв’язання. Для обчислення інтеграла застосуємо формулу заміни змінної для невизначеного інтеграла ( 2.1), а саме:

Таким чином,

;

б) обчислити невизначений інтеграл

.

Розв’язання. Для обчислення інтеграла застосуємо формулу інтегрування частинами.

Використовуючи зауваження до неї, тобто позначаючи через саме обернену тригонометричну функцію

Таким чином,

;

в) обчислити невизначений інтеграл

.

Розв’язання. В цьому прикладі підінтегральна функція виявляється правильною раціональною функцією. Розкладемо знаменник дробу на добуток лінійного множника та неповного квадрата різниці

.

Далі розкладаємо підінтегральну функцію на два доданки з невизначеними поки що коефіцієнтами

(1)

Для визначення коефіцієнтів А, В, С праву частину рівності (1) зводимо до спільного знаменника і групуємо члени чисельника

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях у правій і лівій частинах чисельників дробів, дістанемо систему лінійних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів :

Розв’язок цієї системи такий:

Таким чином, підінтегральна функція дорівнює

і

.

Кожний з інтегралів обчислюємо окремо.

1. тому, що підінтегральній функції в чисельнику міститься точна похідна знаменника.

2.

Таким чином,

;

г) обчислити невизначений інтеграл

^.

Розв’язання. В цьому інтегралі підінтегральна функція виявляється ірраціональною і тому для інтегрування можна використати зауваження: для перетворення цього інтеграла в інтеграл від раціональної функції зробимо таку заміну:

(де=Н.С.К. (2) = 2).

Таким чином,

.

;

;

Завдання 2.2.31.

а) Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язання.

Застосуємо до інтеграла спочатку формулу заміни змінної під знаком визначеного інтеграла

Таким чином,

б) Обчислити визначений інтеграл

Розв’язання.

Застосуємо до інтеграла спочатку формулу інтегрування частинами тому, що підінтегральна функція є добутком степеневої функції і тригонометричної

.

Таким чином,

.

Завдання 2.3.31.

а) Визначити, чи буде збіжним (або розбіжним) такий невласний інтеграл:

.

Розв’язання.

Цей інтеграл є невласним інтегралом першого роду і, за означенням, дорівнює

,

Таким чином,

,

Тобто цей невласний інтеграл виявляється збіжним і його величина дорівнює числу .

б) Визначити, чи буде збіжним (або розбіжним) такий невласний інтеграл:

.

Розв’язання.

Цей інтеграл є невласним інтегралом другого роду і, за означенням, дорівнює

Таким чином,

Тобто цей невласний інтеграл виявляється розбіжним і його величина дорівнює .

Завдання 2.4.31. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями .

Розв’язання. По-перше, в системі координат ХОУ зробимо рисунок фігури, для чого за даними рівняннями нарисуємо відповідні лінії: - парабола, - пряма.

Між параболою і прямою утворюється фігура, яку можна розглядати як різницю двох криволінійних трапецій АВСД і АВОСД.

Основою обох трапецій є відрізок початок А і кінець Д якого виявляються абсцисами точок перетину параболи і прямої. Знайдемо абсциси точок перетину даних ліній. Розв’язуючи систему рівнянь знаходимо межі інтегрування.

.

За формулою знаходимо площу

Таким чином,

кв. од.

Завдання 2.5..31. Знайти екстремум функції

Розв’язання. Знайдемо спочатку критичні точки, тобто точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю, або не існують (саме в цих точках може міститися екстремум функції)

; .

Розв’язуємо систему

і отримуємо координати критичні точки

.

Далі перевіряємо за допомогою достатньої умови існування екстремуму чи буде в точці екстремум. З цією метою обчислюємо похідні другого порядку

,

,

,

.

Складаємо визначник другого порядку з цих похідних в точці . В нашому випадку частинні похідні другого порядку виявляються сталими величинами і тому

.

Таким чином, в критичній точці функція має мінімум, тому що

Обчислимо мінімальне значення функції

.

Завдання 2.6..31. Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння. Розв’язати задачу Коші (в).

:

а) , б) .

Розв’язання. а) Рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними (5.3).

Для відокремлення змінних, поділимо обидві частини рівняння на добуток , в результаті чого отримаємо диференціальне рівняння

.

Інтегруємо останнє рівняння

, ,

- загальний інтеграл заданого рівняння.

б) Рівняння записане в загальній формі. Виразимо з нього і отримаємо рівняння в нормальній формі

.

Це рівняння є однорідним диференціальним рівнянням. Дійсно,

.

Для розв’язання однорідного рівняння введемо заміну , тоді

; ,

, , ,

,

.

Повертаючись до змінної , знаходимо загальний інтеграл заданого рівняння:

або .

в).

Розв’язання. Задача Коші полягає в тому, щоб визначити частинний розв’язок диференціального рівняння, використовуючи для цього початкову умову. Для цього спочатку знаходимо загальний розв’язок диференціального рівняння.

Задане рівняння є лінійним ( і містяться в рівнянні лише в перших степенях). Розв’язуємо його методом Бернуллі. За формулою маємо

, .

, .

Складаємо систему двох рівнянь:

Розв’язуємо перше з рівнянь системи:

, .

Підставляємо отримане значення функції в друге рівняння системи і розв’язуємо його:

, .

Запишемо загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Для розв’язання задачі Коші застосуємо початкову умову і знайдемо значення сталої , для чого підставимо в загальний розв’язок значення , :

.

Отже, частинний розв’язок диференціального рівняння має вигляд

.

Завдання 2.7.31.. Знайти загальний розв’язок для диференціальних рівнянь вищих порядків.

А)..

Розв’язання. Рівняння другого порядку є диференціальним рівнянням, яке не містить шуканої функції .

Покладемо . Тоді і задане рівняння набуває вигляду

або .

Отримане рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними. Відокремлюючи змінні, отримаємо рівняння

,

проінтегрувавши яке маємо:

або .

Розв’язуємо останнє рівняння та отримуємо загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Б).

Розв’язання. Задане рівняння є лінійним неоднорідним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами (5.26). Згідно з формулою (5.19) загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння складається із загального розв’язку відповідного однорідного рівняння і деякого частинного розв’язку лінійного неоднорідного рівняння:

.

Знайдемо спочатку . Для цього складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:

, .

Загальний розв’язок однорідного рівняння знаходимо за формулою :

.

Далі визначаємо . В нашому випадку права частина диференціального рівняння має вигляд

,

де , тобто число є двократним коренем характеристичного рівняння. Отже, частинний розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати у вигляді

,

де - невідомий коефіцієнт. Знайдемо

,

Підставимо знайденні похідні в рівняння :

Тотожно прирівнявши ліву і праву частини останнього рівняння, знайдемо

.

Таким чином, - частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння, а його загальний розв’язок має вигляд

,

.

Завдання 2.1. Знайти невизначені інтеграли (в завданнях а)-в)).

2.1.1. а) б)

в) г)

д) е)

2.1.2. а) б)

в) г)

д) е)

2.1.3. а) б) в)

г) д) е)

2.1.4. а) б) в)

г) д)

е)

2.1.5. а) б) в)

г) д) е)

2.1.6. а) б)

в) г)

д) е)

2.1.7. а) б) в)

г) д)

е)

2.1.8. а) б)

в) г) д) е)

2.1.9. а) б)

в) г) д) е)

2.1.10 а) б)

в) г)

д) е)

2.1.11. а) б)

в) г)

д) е)

2.1.12. а) б) в)

г) д) е)

2.1.13. а) б) в)

г) д) е)

2.1.14. а) б)

в) г)

д) е)

2.1.15. а) б) в)

г) д)

е)

2.1.16. а) б)