Таблиця.1

Номер інтервалу, i	Межі інтервалу		Середина інтервалу, zi	Частота, ni	Накопичена частота	Відносна частота, ni/n	Середня щільність, ni/nb	Накопичена відносна частота
	нижня	верхня
1	12	19	15.5	5	5	0.1	0.016	0.1
2	19	26	22.5	13	18	0.26	0.042	0.36
3	26	33	29.5	11	29	0.22	0.035	0.58
4	33	40	36.5	12	41	0.24	0.038	0.82
5	40	47	43.5	5	46	0.1	0.016	0.92
6	47	54	50.5	2	48	0.04	0.006	0.96
7	54	61	57.5	2	50	0.04	0.006	1

Користуючись четвертим і дев’ятим стовпцями табл. 1, побудуємо емпіричну функцію розподілу (рис. 8.3) для вибірки, наведеної у прикладі 1.

Ри Користуючись значеннями (n = 50), знайдемо вибіркове середнє за формулою (8.1). Одержимо результат = 31,32. Для обчислення вибіркової дисперсії перетворимо формулу (8.2) у такий спосіб:

=

.

Таким чином, необхідно додатково знайти лише суму квадратів значень x_j. Зауважимо, що на багатьох калькуляторах можна знаходити такі суми за допомогою клавіш для статистичних розрахунків.

Користуючись значеннями (n = 50), знайдемо вибіркове середнє за формулою (8.1). Одержимо результат = 31,32. Для обчислення вибіркової дисперсії перетворимо формулу (8.2) у такий спосіб:

=

.

Таким чином, необхідно додатково знайти лише суму квадратів значень x_j. Зауважимо, що на багатьох калькуляторах можна знаходити такі суми за допомогою клавіш для статистичних розрахунків.

Виправлена вибіркова дисперсія обчислюється за формулою

=.

Отримане значення відрізняється від значення вибіркової дисперсії лише на 2% через відносно великий об’єм вибірки (n=50). Відповідне виправлене вибіркове стандартне відхилення становить S=10,56.

Відповідь. = 31,32;109,338;=10,46;= 111, 569;S=10,56.

Скористаємось точковими оцінками = 31,32 і S=10,56, отриманими у прикладі 3.

1. Користуючись додатком 3 для n =50 і =0,99, знаходимо t = 2,679 і далі . Довірчий інтервал для mx знаходимо за формулою (8.4), це є проміжок (27,34; 35,3).

2. За допомогою додатка 4 для n =50 і  = 0,99 знаходимо q = 0,3 і далі за формулою (8.5) шуканий інтервал (10,24; 10,84) для стандартного відхилення.

Відповідь. (27,34; 35,3) і (10,24; 10,84).

Перевірити за критерієм 2 гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності, представленої вибіркою, заданою у прикладі 1. Прийняти рівень значущості  рівним 0,025.

Розв’язання. Скористаємося дод. 2 для значень функції розподілу стандартного нормального закону й обчислимо їх для кінців кожного із семи інтервалів, прийнятих раніше при групуванні вибірки. Зауважимо, що аргументом функції(z) є нормоване значення змінної х, тобто . Значенняі S – це точкові оцінки, обчислені у прикладі 4. Ліва межа першого інтервалу і права межа останнього приймаються нескінченними. Далі знаходимо теоретичні ймовірності pi попадання випадкової величини в кожний інтервал:, тут zi i zi+1 – перераховані ліва і права межі інтервалів. Через знайдені значення pi знаходимо очікувані (теоретичні ) частоти попадання у кожен із семи інтервалів. Інтервали 6 і 7, для яких ці частоти малі (менші за 5), об’єднуємо в один інтервал. Далі за алгоритмом розрахунку критерію знаходимо різниці спостережених і очікуваних частот, квадрати цих різниць і самий критерій2. Результати розрахунків зведені в табл. 8.2. Отримане значення критерію 2 = 2,5339.

Таблиця 8.2

№ інтер-валу	Межі інтервалу		Спостережені частоти			Імовір-ність, pi	Очікувані частоти, npi	npi	ni – npi	(ni –npi)2/npi
	нижня	верхня
1		19	5	-0.5000	-0.3806	0.1194	5.9704	5.9704	-0.9704	0.1577
2	19	26	13	-0.3806	-0.1945	0.1861	9.3043	9.3043	3.6957	1.4679
3	26	33	11	-0.1945	0.0638	0.2583	12.9156	12.9156	-1.9156	0.2841
4	33	40	12	0.0638	0.2967	0.2329	11.6450	11.6450	0.3550	0.0108
5	40	47	5	0.2967	0.4331	0.1364	6.8191	6.8191	-1.8191	0.4853
6	47	54	2	0.4331	0.4849	0.0518	2.5925
7	54		2	0.4849	0.5000	0.0151	0.7530	3.3455	0.6545	0.1280
			50			1	50	50		2.5339

Висновок про прийняття або відхилення гіпотези робимо на основі порівняння обчисленого значення критерію 2 = 2,5339 із його граничним значенням = 11,1, знайденим за дод. 5 при = 0,025 і числі ступенів свободи к =7– 1 –2 = 4. Як бачимо, обчислене за даними вибірки значення критерію не перевищує його критичне значення, що свідчить про те, що данні вибірки не суперечать гіпотезі про нормальний розподіл генеральної сукупності з параметрами mx =31,32 і  = 10,56.