4.5. Нарощені суми і сучасні вартості інших видів постійних рент

Стисло розглянемо методики розрахунку нарощених сум і сучасних вартостей для деяких різновидів дискретних постійних рент.

Ренти пренумерандо і ренти з виплатами в середині періодів.

Нагадаємо, що під рентою пренумерандо розуміється рента з платежами на початку періодів. Легко зрозуміти, що кожний член такої ренти "працює" на один період більше, ніж в ренті постнумерандо. Звідси нарощена сума ренти пренумерандо, позначимо її тут як , більше в (1 + i) раз аналогічної ренти постнумерандо:

= S(1 + i)

Коефіцієнт нарощування річної ренти пренумерандо

. (4.30)

Аналогічним шляхом отримаємо для річної ренти з нарахуванням відсотків т раз в році

= S(1 +j/m)^m (4.31)

Для p-термінових рент, у яких т = 1 і т ≠ р, отримаємо:

= S(1 + i)^1/p (4.32)

= S(1 +j/m)^m/p (4.33)

Точно така ж залежність спостерігається і між сучасними вартостями і коефіцієнтами приведення рент постнумерандо і пренумерандо:

; и т.д.

Важливою для практики є рента з платежами в середині періодів. Наприклад, у випадках, коли надходження від виробничих інвестицій розподіляються більш менш рівномірно, застосування рент пренумерандо або постнумерандо для опису таких потоків може привести до деяких зсувів в значенні одержуваних показників. В таких ситуаціях для зменшення погрішності рекомендується суми надходжень за період відносити до середини періодів. Нарощені суми і сучасні вартості таких рент знаходимо множенням відповідних узагальнюючих характеристик рент постнумерандо на множник нарощування за половину періоду. Так, для сучасних вартостей знаходимо наступні співвідношення:

A_1/2= А(1 + i)^1/2 при р = 1, т = 1, (4.34)

А_1/2 = А(1 + i)^l/2p при р > 1, т = 1, (4.35)

А_1/2 = А(1 + j/m)^m/2 при р=1,т>1, (4.36)

А_1/2 = А(1 + j/m)^m/2p при р > 1, т > 1. (4.37)

ПРИКЛАД 4.13. Визначимо поправочний множник, необхідний для розрахунку сучасної вартості ренти з платежами в середині періодів. Умови ренти постнумерандо: р = 12, т = 1, i= 10%. Шуканий множник 1,11/2х12 = 1,00398.

Відкладені ренти. Початок виплат у відкладеної (відстроченої) ренти зсунутий вперед щодо деякого моменту часу. Наприклад, погашення заборгованості планується почати через обумовлений термін (пільговий період). Очевидно, що зсув в часі ніяк не відображається на величині нарощеної суми. Інша справа сучасна вартість ренти.

Нехай рента виплачується через t років після деякого початкового моменту часу. Сучасна вартість ренти на початок виплат (сучасна вартість негайної ренти) дорівнює А. Сучасна вартість на початок періоду відстрочення в t років очевидно дорівнює дисконтованій на цей термін величині сучасної вартості негайної ренти. Для річної ренти знаходимо

. (4.38)

де _t А — сучасна вартість відкладеної на t років ренти.

ПРИКЛАД 4.14. Нехай в прикладі 4.3 рента виплачується не відразу, а через 1,5 роки після моменту оцінки. Сучасна вартість відкладеної ренти складе

12,368 х 1,185^-1,5 = 9,588 млн грн.

Сучасна вартість відкладеної ренти використовується при рішенні цілого ряду задач, частіше всього в розрахунках, пов'язаних з виплатами різного роду накопичень. Для ілюстрації обговоримо одну з подібних задач. Нехай річна обмежена рента постнумерандо ділиться в часі між двома учасниками (наприклад, йдеться про передачу власності). Рента має параметри: R, п. Умови розподілу: а) кожний учасник одержує 50% капіталізованій вартості ренти; б) рента виплачується послідовно — спочатку першому учаснику, потім другому.

Рішення задачі зводиться до розрахунку терміну отримання ренти першим учасником, позначимо його як n₁. В термін, що залишився, гроші одержує другий учасник. Таким чином, перший учасник одержує негайну ренту, другий — відкладену. З прийнятих умов розподілу ренти виходить:

;

Враховуючи, що n₂ = п – n₁, знаходимо:

. (4.39)

Після ряду перетворень отримаємо

. (4.40)

Результат залежить тільки від загального терміну ренти і процентної ставки, яка враховується в розрахунку.

ПРИКЛАД 4.15. Термін річної ренти постнумерандо 10 років, i = 20%. Нехай рента ділиться між двома учасниками на тих умовах, які були вище прийняті при висновку формули. Тоді

роки

Частка другого учасника — наступні 7 років.

Вічна рента. Нагадаємо, що під вічною рентою розуміється ряд платежів, кількість яких не обмежена — теоретично вона виплачується протягом нескінченного числа років. В практиці іноді стикаються з випадками, коли є значення вдатися до такої абстракції, наприклад, коли передбачається, що термін потоку платежів дуже великий і конкретно не обмовляється.

Очевидно, що нарощена сума вічної ренти дорівнює нескінченно великій величині. На перший погляд представляється беззмістовним і визначення сучасної вартості такої ренти. Проте це далеко не так. Сучасна величина вічної ренти є кінцева величина, яка визначається вельми просто. Вище показано, що при п → ∞ межею для коефіцієнта приведення є а_∞;i = 1/i. Звідки для вічної ренти знаходимо

. (4.41)

Таким чином, сучасна вартість вічної ренти залежить тільки від розміру члена ренти і процентної ставки. З (4.41) слідує

. (4.42)

тобто член вічної ренти дорівнює відсотку від її капіталізованої вартості.

Неважко переконатися в тому, що віддалені платежі роблять вельми малий вплив на величину коефіцієнта приведення. Із зростанням п приріст цього показника зменшується. Через сказане при великих термінах ренти і високому рівні ставки для визначення сучасної вартості можна скористатися формулою (4.41) без помітної втрати точності. Наприклад, для обмеженої ренти при i = 20%, п = 100 і R = 1 отримаємо точне значення: А = 4,999999, а по формулі (4.41) знаходимо А_х= 5.

Для інших видів рент отримаємо:

при p>1, m = 1;

при p= m >1;

ПРИКЛАД 4.16. Вимагається викупити вічну ренту, член якої дорівнює 5 млн грн., виплачуваних в кінці кожного півріччя. Капіталізована вартість такої ренти за умови, що для її визначення застосована річна ставка 25%, складе:

= 42,361 млн грн.

Рента з періодом платежів, що перевищує рік. В аналізі виробничих інвестиційних проектів іноді зустрічаються з рентами, члени яких виплачуються з інтервалами, що перевищують рік. Визначимо нарощену суму і сучасну вартість таких рент.

Нехай r — часовий інтервал між двома членами ренти, відсотки нараховуються раз в році. В цьому випадку сучасна вартість першого платежу складе на початок ренти величину Tv^r, другого — Tv^2r, останнього члена — Tvⁿ, де Т — величина члена ренти, п — термін ренти, кратний r. Послідовність дисконтованих платежів є геометричною прогресією з першим членом Tv^r, знаменником v^rі числом членів п/r.Сума членів такої прогресії за умови, що Т= 1, дорівнює:

(4.43)

Зрозуміло, вказане у формулі співвідношення коефіцієнтів приведення і нарощування можна використовувати у випадках, коли r — ціле число років.

ПРИКЛАД 4.16. Порівнюються два варіанти будівництва деякого об'єкту. Перший вимагає разових вкладень в сумі 6 млн грн. і капітального ремонту вартістю 0,8 млн грн. кожні 5 років. Для другого витрати на створення рівні 7 млн грн., на капітальний ремонт — 0,4 млн грн. кожні 10 років. Часовий горизонт, що враховується в розрахунку, — 50 років.

Капіталізована сума витрат за умови, що i = 10 %, оцінюється для кожного варіанту в наступних розмірах:

млн грн.

млн грн.

Таким чином, у фінансовому відношенні варіанти виявляються рівноцінними при прийнятому рівні процентної ставки. Чим ставка вище, тим менше впливають на результат витрати на ремонт. Так, якщо порівняння проводиться при ставці 20%, то отримаємо A₁ = 6,39, А₂ = 7,05.

Змінна процентна ставка. На практиці іноді мають справу з потоками платежів, що передбачають застосування змінних в часі процентних ставок, наприклад, при реструктуруванні заборгованості. Так, в останньому випадку для полегшення положення боржника застосовуються низькі ставки в перші роки виплат процентних платежів і більш високі в подальшому.

Зміни розмірів ставок можуть бути якими завгодно. Якщо ж ці зміни "східчасті", то при визначенні нарощеної суми і сучасної вартості постійної ренти резонно застосувати стандартні формули. Нехай для постійної ренти постнумерандо з терміном 10 років передбачаються дві рівні процентні ставки, вживані по п'ятиріччях. В цьому випадку

23