Тема 4. Потоки платежів

4.1. Види потоків платежів і їх основні параметри

Сучасні фінансово-банківські операції часто передбачають не окремі або разові платежі, а деяку їх послідовність в часі, наприклад, погашення заборгованості в розстрочку, періодичне надходження доходів від інвестицій, виплати пенсії і т.д. Такого роду послідовність виплат, або ряд платежів, називають потоком платежів. Окремий елемент такого ряду платежів назвемо членом потоку.

Класифікація потоків. В практиці зустрічаються різноманітні потоки платежів. Причому один і той же вид потоку може бути використаний в аналізі різних фінансово-кредитних операцій.

Потоки платежів можуть бути регулярними (розміри платежів постійні або слідують встановленому правилу, що передбачає рівні інтервали між платежами) і нерегулярними. Члени потоків можуть бути як позитивними (надходження), так і негативними величинами (виплати).

Поток платежів, всі члени якого — позитивні величини, а тимчасові інтервали між платежами однакові, називають фінансовою рентою, або просто рентою. Наприклад, рентою є послідовність отримання відсотків по облігації, платежі по споживацькому кредиту, виплати в розстрочку премій страховок і т.д. Іноді подібного роду потікплатежів називають ануїтетом, що, строго кажучи, застосовно тільки до щорічних виплат.

Використовування у фінансово-банківській операції умов, що передбачає виплати у вигляді фінансової ренти, суттєвоспрощує кількісний їх аналіз, дає можливість застосовувати стандартні формули і таблиці, необхідних для фінансових розрахунків коефіцієнтів.

Рента описується наступними параметрами: член ренти— розмір окремого платежу, період ренти — часовий інтервал між двома послідовнимиплатежами, термін ренти — час від початку першогоперіоду ренти до кінця останнього, процентна ставка. Розмір ставки не завжди прямо обмовляється в умовах фінансової операції. Проте, як буде показаний далі, цей параметр надто необхідний для її аналізу. При характеристиці деяких видів рент необхідно вказати додаткові умовиі параметри. Наприклад, число платежів в році, спосіб і частота нарахувань відсотків, параметри, що характеризують закономірність зміни розмірів члена ренти в часі.

В практиці застосовують різні ренти. В основу їх класифікації може бути встановлений ряд ознак. Розглянемо деякі з таких класифікацій.

По кількості виплат членів ренти протягом року ренти діляться на річні (виплата раз в році) і р-термінові (р — кількість виплат в році). В аналізі виробничих інвестицій іноді застосовують ренти з періодами, що перевищують рік. Перерахованівиди рент називають дискретними. У фінансовій практиці зустрічаються і з такими послідовностями платежів, які проводяться так часто, що їх практично можна розглядати як безперервні.

По числу раз нарахувань відсотків протягом року розрізняють: ренти з щорічним нарахуванням, з нарахуванням т раз в році, з безперервним нарахуванням. Моменти нарахування відсотків необов'язково співпадають з моментами виплат членів ренти. Проте, як буде показано, розрахунки помітно спрощуються, якщо два вказані моменти співпадають.

По величині своїх членів ренти діляться на постійні (з однаковими розмірами члена ренти) і змінні. Члени змінних рент змінюють свої розміри в часі, слідуючи якому-небудь закону, наприклад арифметичної або геометричної прогресії, або несистематично (задаються таблицею). Постійні ренти — найпоширеніший вид ренти.

По ймовірності виплат ренти діляться на вірні і умовні. Вірні ренти підлягають безумовній сплаті, наприклад, при погашенні кредиту. Число членів такої ренти заздалегідь відоме. У свою чергу виплата умовної ренти ставиться в залежність від настання деякої випадкової події, число її членів заздалегідь невідомо. До такого роду рент відносяться ануїтети страховок — послідовні платежі в майновому і особистому страхуванні. Типовим прикладом страхового ануітета є довічна виплата пенсії.

По кількості членів розрізняють ренти з кінцевим числом членів, або обмежені ренти (їх термін заздалегідь обумовлений), і нескінченні, або вічні ренти. З вічною рентою зустрічаються на практиці у ряді довгострокових операцій, коли передбачається, що період функціонування аналізованої системи або термін операції вельми тривалий і не обмовляється конкретними датами. Як вічна рента логічно розглядати і виплати відсотків по безстрокових облігаційних позиках.

По співвідношенню початку терміну ренти і якого-небудь моменту часу, що попереджує початок ренти (наприклад, початок дії контракту або дати його висновку), ренти діляться на негайні і відкладені, або відстрочені. Приклад відстроченої ренти: погашення боргу в розстрочку після пільгового періоду.

Дуже важливою є відмінність по моменту виплат платежівв межах періоду ренти. Якщо платежі здійснюються в кінці цих періодів, то відповідні ренти називають звичайними, або, якщо ж платежі проводяться на початку періодів, то їх називають пренумерандо. Іноді контракти передбачають платежі або надходження грошей в середині періодів.

Наведемо приклад. Контракт передбачає періодичне погашення заборгованості шляхом виплати в кінці кожного півріччя однакових погасительных платежів протягом фіксованого числа років, Таким чином, передбачається постійна, піврічна, вірна, обмежена рента постнумерандо

Узагальнюючі параметри потоків платежів. В переважному числі практичних випадків аналіз потоку платежів припускає розрахунок однієї з двох узагальнюючих характеристик: нарощеної суми або сучасної вартості потоку. Нарощена сума — сума всіх членів потоку платежів з нарахованими на них до кінця терміну відсотками. Під сучасною вартістю потоку платежів розуміють суму всіх його членів, дисконтованих на початок терміну ренти або деякий попереджуючий момент часу. (В старій російській фінансовій літературі аналогічний по змісту показник називався справжньою ціною платежів.) Конкретне значення цих характеристик визначається змістом його членів або їх походженням. Нарощена сума може бути загальною сумою накопиченої заборгованості до кінця терміну, підсумковий об'єм інвестицій, накопичений грошовий резерв і т.д. У свою чергу сучасна вартість характеризує приведені до початку здійснення проекту інвестиційні витрати, сумарний капіталізований дохід або чистий приведений прибуток від реалізації проекту і т.п.

Узагальнюючі характеристики потока платежів, особливо його сучасна вартість, широко застосовуються в різних фінансових розрахунках. Так, без них, наприклад, неможливо розробити план послідовного погашення заборгованості, виміряти фінансову ефективність проекту, здійснити порівняння або беззбиткову зміну умов контрактів, вирішувати багато інших практичних задачі.

Прямий метод розрахунку нарощеної суми і сучасної вартості потоку платежів. Розглянемо загальну постановку задачі. Припустимо, є ряд платежів R_t, виплачуваних через час n_tпісля деякого початкового моменту часу. Загальний термін виплат п років. Необхідно визначити нарощену на кінець терміну потоку платежів суму. Якщо відсотки нараховуються раз в році по складній ставці i, то, позначивши шукану величину через S, отримаємо за визначенням

(4.1)

Сучасну вартість такого потоку також знаходимо прямим рахунком як суму дисконтованих платежів:

(4.2)

де А — сучасна вартість потоку платежів — дисконтниймножник по ставці i.

Як вже відзначено вище, сучасна вартість потоку платежів є узагальнюючою оцінкою, приуроченою до деякого передування моменту часу (у негайної ренти — до початку терміну). Нарощена сума також є узагальненням всіх членів потоку у вигляді одного числа, проте ця оцінка приурочена до кінця терміну. Неважко знайти, що між величинами А і S існує функціональна залежність. Насправді, дисконтуємо суму S за допомогою дисконтного множника vⁿ, отримаємо

Нарощуючи суму А по тій же ставці, отримаємо

(4.3)

ПРИКЛАД 4.1. Графік передбачає наступний порядок видачі позики в часі: 1 липня 2005 р. — 5 млн грн., 1 січня 2006 р. — 15 млн грн., 1 січня 2008 р. — 18 млн грн. Необхідно визначити суму заборгованості на початок 2009 р. за умови, що відсотки нараховуються по ставці 20%. Схемно умови задачі показані на мал. 5.1.

515 18 S=?

01.07.05 01.01.06 01.01.08 01.01.09

Знаходимо

S = 5 х 1,2^3,5 + 15 х 1,2³ + 18 х 1,2 = 56,985млн грн.

За цими ж даними визначимо сучасну вартість потоку на момент виплати першої суми. При прямому рахунку отримаємо

А = 5 + 15 х 1,2^-0,5 + 18 х 1,2^-2,5 = 30,104млн грн.

а по формулі (4.3)

А = 56,985 х 1,2^-3,5 = 30,104 млн грн.

В окремому, але поширеному випадку, коли розміри членів потоку довільні, але виплати постнумерандо проводяться через рівні інтервали часу, можна для розрахунку величини А застосувати фінансову функцію ЧПС в електронних таблицях Excel 2003 (в попередніх версіях Excel ця функція позначалася як НПЗ).

Порядок дій при використовуванні функції ЧПС

1. Послідовно викликати: f_x "фінансові функції", ЧПС.

2. В рядку Ставка показати ставку відсотків, що нараховуються, за період.

3. В рядках Значення послідовно показати дані, що характеризують потік платежів, не більше 29 членів потоку.

Після виконання дій 1—3 в підсумковому рядку вікна автоматично показується розрахункова величина сучасної вартості потоку платежів. Після натиснення ОК ця величина показується у виділеному елементі таблиці Excel.

Примітка. Користувач може змінювати розміри процентної ставки та/або членів потоку платежів, не виходячи з віконця

ПРИКЛАД 4.2. Визначимо сучасну вартість потоку, члени якого 40, 50, 45, 70 виплачуються постнумерандо по півріччям. Процентна ставка 12% за півріччя. Викликавши функцію ЧПС, введемо дані:

Ставка: 12%

Значення 1: 40

Значення 2: 50

Значення 3: 45

Значення 4: 70

Відповідь: 152,09